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专题06 三角形综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：全等三角形的判定和性质 题型二：相似三角形的判定和性质 题型三：与等腰三角有关的问题 题型四：与直角三角有关的问题 题型五：解直角三角有关的计算
必备知识 知识1 全等三角形的判定和性质 知识2 相似三角形的判定和性质 知识3 特殊三角形中的判定和性质 知识4 解直角三角形
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，三角形综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第20-24题中后部位置，常与四边形、相似、旋转变换等结合考查，难度分布广泛，压轴题出现频率高。 命题内容： 1. 全等与相似：考查全等三角形、相似三角形的判定与性质，常结合中点、角平分线、垂直平分线进行综合证明与计算。 2. 特殊三角形与变换：包括等腰三角形、直角三角形的性质应用，以及与轴对称、旋转变换结合的动态几何问题，侧重分类讨论与数形结合思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
全等三角形的判定与性质 T18：全等三角形与菱形综合 T17：全等三角形判定（SAS） T12：全等三角形判定与性质 T4：全等三角形判定（SAS） T17：全等三角形综合应用
相似三角形的判定与性质 T20：相似三角形与四边形综合 T18：相似三角形与三角形综合 T15：相似三角形与正方形综合 T16：相似三角形与反比例函数综合 T15：相似三角形与几何综合
等腰三角形的性质与判定 T16：等腰三角形与菱形综合 T15：等腰三角形性质应用 T10：等腰三角形判定与角度计算 T6：等腰三角形三线合一性质 T14：等腰三角形综合问题
直角三角形的性质与应用 T14：直角三角形与勾股定理 T12：含30°角的直角三角形性质 T9：直角三角形与元叠问题 T12：直角三角形与勾股定理 T9：直角三角形斜边中线性质
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位延续：将继续作为几何压轴题的核心载体，与四边形、圆或函数综合命题。 2. 动态探究深化：动点问题、图形变换类试题将持续出现，考查学生的探究能力与分类讨论思想。 3. 情境创新：可能融入新定义阅读、真实背景问题，考查即时学习与知识迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握三角形内角和、四边关系、全等与相似的判定定理，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对等腰三角形分类讨论、全等模型进行专项训练，掌握通性通法。 3. 强化综合：练习与四边形、旋转变换结合的综合性题目，提升几何直观与逻辑推理能力。 4. 关注创新：适应新定义、项目化试题，培养从复杂图形中提炼基本模型的能力。
题型一 全等三角形的判定和性质
1. 判定定理：熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL五种判定方法，根据已知条件选择合适定理。 2. 隐含条件：善于发现公共边、公共角、对顶角及等边减等边等隐含相等关系。 3. 性质应用：全等三角形对应边、对应角相等，常结合平行线、中点或角平分线进行推理证明。
1．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
2．（2021·浙江杭州·中考真题）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若______，求证：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：选择条件①的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以．
选择条件②的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以．
选择条件③的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以
3．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，据此可利用证明；
（2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型二 相似三角形的判定和性质
1. 判定定理：熟练掌握两角对应相等、两边成比例且夹角相等、四边成比例三种判定方法，灵活选择。 2. 基本图形：识别“A”型、“X”型、母子相似及一线三等角等常见相似模型，快速寻找对应关系。 3. 性质应用：相似三角形对应边成比例、对应角相等，常用于求线段长、证明比例式及面积比计算。
1．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)．见解析
【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：；．
（2）解：．
证明：∵在的正方形方格中，
，，
∴．
∵，，，，
∴．
∴，
∴．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最小面积为_____．（不计三角尺的厚度）
如图，三角形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻元，点落在点处．已知，连结．
当时，___________；
当为直角三角形时，___________．
【答案】 或
【分析】四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最小图形，过点作于点，于点，延长交CA于点，把穿过圆洞的四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，利用锐角三角函数分别求出、、的长度，根据求出穿过圆洞的最小面积；
点与点重合，过点作，可得，利用相似三角形的性质把各边用含的代数式表示出来，再利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长度；
当为直角三角形时，分两种情况：一种情况是当时，另一种情况是当时，分别利用勾股定理列方程求解．
【详解】解：如下图所示，四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最小图形，
圆洞的最小直径为，
，，，，
过点作于点，于点，延长交CA于点，
则有，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
如下图所示，当时，点与点重合，过点作，
，点为的中点，
，
四边形是三角形，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：或(舍去)，
当时，，，
，
，
故答案为：；
如下图所示，当时， 过点作，

则有，
，
，，
，
过点作，则四边形为三角形，，
，，，
在中，，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，，
点、、在一条线上，
则，，
在中，，
在中，，
，
在中，，
，
整理得：，
解得：，
综上所述当或时为直角三角形．
题型三 与等腰三角形有关的问题
1. 分类讨论：遇等腰三角形未明确顶角或腰时，需按角、边或高位置分类讨论，避免漏解。 2. 性质运用：熟练运用“等边对等角”“三线合一”性质进行角度计算、线段证明或构造全等。 3. 方程思想：设未知数，利用等腰三角形的边角关系列方程求解，结合几何直观检验合理性。
1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命题；
若，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，
∴，
∴，故D是真命题；
．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，由，，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，求出的长度以及证明全等找出，设，则，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出x以及的值，此题得解．
【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，如图所示：
过点A作于点N，如图，
∵，，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
设，则，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________

【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
4．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．

（1）若四边形的圆长与的圆长相等，则之间的等量关系为________．
（2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________．
【答案】
【分析】由题意可得：为等边三角形，四边形为平行四边形，，（1）分别求得四边形的圆长与的圆长，根据题意，求解即可；（2）分别求得四边形的面积与的面积，根据题意，求解即可．
【详解】解：等边三角形与等边三角形中，，
∴和为等边三角形，，
∴，四边形为平行四边形，
又∵等边三角形与等边三角形
∴，，，
∴，
（1）平行四边形的圆长为：，
的圆长为：
由题意可得：
即：；
（2）过点作，过点作，如下图：

在中，，，，
∴
则平行四边形的面积为
在中，，，，
∴
则的面积为：
由题意可得：
化简可得：
故答案为：；
题型四 与直角三角形有关的问题
1. 勾股定理：在直角三角形中，利用a2+b2=c2求边长或证明边的关系。 2. 特殊角运用：含30°角直角三角形四边比为1::2，含45°角四边比为1:1:，快速计算。 3. 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于构造等腰三角形或求线段长。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿元叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理与元叠，直角三角形的性质，由元叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵将沿元叠，使点A落在边上的点F处，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________．
【答案】10
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴AB＝2EF＝20，
∵∠ACB＝70°，点D为AB的中点，
∴，
故答案为：10．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最小值可求的最小值．
【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点、、三点共线时有最小值，．
故答案为： ．
题型五 解直角三角形有关的计算
1. 定义法：熟记sin、cos、tan的定义，根据已知边角选择合适三角函数建立方程。 2. 特殊角：掌握30°、45°、90°的三角函数值，可直接代入计算。 3. 模型应用：常结合仰角俯角、坡度方向角等实际背景，构造直角三角形求解，注意单位统一。
1．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝70°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】BC=4，sinA=
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝70°，AB＝5，BC＝3，
∴．
．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=70°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=70°，点M为边AB的中点，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
（2）解：∵AB=4，
∴CE=CM=AB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴FC=CE cos30°=．
知识1 一次函数的图象和性质全等三角形的判定和性质
1. 五种判定： SSS（四边对应相等）、SAS（两边及其夹角）、ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及对边）、HL（直角边斜边，仅直角三角形）。
2. 核心性质： 全等三角形对应边相等、对应角相等；对应中线、高、角平分线也相等。
3. 常见模型： 平移型、对称型、旋转型、一线三等角模型，快速识别图形中的全等关系。
知识2 相似三角形的判定和性质
1. 四种判定： 两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；四边对应成比例；平行线截得相似（A字型、X字型）。
2. 核心性质： 对应角相等；对应边成比例；圆长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
3. 应用关键： 识别基本模型（A字、8字、一线三等角），设未知数列比例方程求解。
知识3 特殊三角形的判定和性质
1. 等腰三角形： 等边对等角，三线合一（中线、高、角平分线重合）；判定：两边相等或两角相等。
2. 等边三角形： 四边相等，三角均为90°，四心合一；判定：等腰且有一角90°或三角相等。
3. 直角三角形： 勾股定理（a2+b2=c2），斜边中线等于斜边一半；判定：勾股逆定理或一角为直角。
知识4 解直角三角形
1. 锐角三角函数：in A = ，cos A =，tan A = ，熟记30°、45°、90°特殊角函数值。
2. 核心关系： 同角sin2A + cos2 A = 1，tan A = ；互余角sin A = cos(70°-A)。
3. 应用模型： 仰角俯角、坡度坡角、方位角问题，常构造直角三角形，利用三角函数列方程求解。
1．（2026·浙江·模拟预测）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形外角的性质，对顶角相等进行解答即可．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
2．（2026·浙江·二模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以小于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可证明为等边三角形，则，然后根据三角形内角和可计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
3．（2026·浙江·模拟预测）如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否错误（ ）

A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错
【答案】B
【分析】对于甲同学的作法，先证明进而得到，然后利用平行线内错角相等即可得出结论；对于乙同学的作法，先证明，然后通过构造，即可得出结论．
【详解】解：设每个单元格的边长为，
根据甲同学的作法，．
在中，
．
．
．
，
．
，故甲同学的作法是对的；
对于乙同学的作法，如图，
，
，
，
，
．
．
连接，对于和，
，
．
．
乙同学的作法也是对的．
4．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，点是内部一点，且，延长交于点．已知，则______．
【答案】
【分析】过点作交于点，证明，设，则，求出，设，则，再证明，得到，即可求解．
【详解】解：过点作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________．
【答案】
【分析】首先根据高的定义得到，结合证明是等腰直角三角形，从而求出的长；然后在中，利用求出的长；最后根据角平分线定义得到，在中利用三角函数求出的长．
【详解】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
6．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，交于点G，交于点F，则_______．
【答案】
【分析】过点E作于点H，过点A作于点T，可证，可得，再证，可得，，设，在中，运用勾股定理可得的长，根据等面积法，可求出的值，在 中，可求出的值，再根据正切值的计算方法计算即可．
【详解】解：如图，过点E作于点H，过点A作于点T，
∵将绕点A逆时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
7．（2026·浙江·模拟预测）如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（，，），某同学想知道该杯子最小盛水高度（即C到的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，．请帮该同学计算：
(1)杯子最小盛水高度：
(2)内底面的直径（的长度）
【答案】(1)杯子最小盛水高度为；
(2)内底面的直径为；
【分析】（1）过C作，过A作，根据等腰三角形性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据求解即可得到答案；
（2）根据求出即可得到答案；
【详解】（1）解：过C作，过A作，
∵，，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
，
∵，，
，
杯子最小盛水高度为，内底面的直径为．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理及等腰三角形底边三线合一，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正弦与余弦的公式．
8．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，用尺规作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
（1）先证明，再得到比例式，再由两边对应成比例且夹角相等证明；
（2）由得到，即可求解．
【详解】（1）证明：由题意得，，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴．
9．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，小于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法和解直角三角形．
（1）根据直角三角形两锐角互余可得，由作图得是的平分线，即可得结论；
（2）由角平分线性质定理得，由求出，从而得．
【详解】（1）解：在中，， ，
∵，
由作图得是的平分线，
∴；
（2）解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
10．（2026·浙江·模拟预测）如图1，中，，为中点，点在上（不与重合），过点作，垂足为，连结，过的中点．作，垂足为．
(1)若，当为中点时，求的长．
(2)求的值．
(3)如图2，连结，过点作交于点，连结，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可；
（2）设，求出，即可求出答案；
（3）根据全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质进行证明即可．
【详解】（1）解：连结，如图．
因为为中点，
所以．
因为为中点，
所以，
所以．
（2）连结，由（1）知，
同理得．
设，
则，，
所以，
所以．
（3）证明：连结，延长至点，使，连结，分别过点作于点，于点，在上取点，使．
因为，
所以．
因为为中点，，
所以，
所以，，
所以．
由，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
则，
所以，
所以，
所以，
所以．
11．（2025·浙江台州·三模）如图1，在四边形中，，连接为的中点，连接，交于点．
(1)求证：．
(2)如图2，若，求的值．
(3)如图3，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用互余关系、等腰三角形的性质以及三角形的内角和关系即可证明；
（2）由已知证明为等边三角形，可得．设，则，故，作交于点，再计算得到，通过，得到，从而．
（3）作于点，设，则．可得，由中位线定理可得．设，则，根据射影定理可得，从而得．再证明，从而有，从而有，即，解得，故．
【详解】（1）证明：设，则，
，
，
，
即．
（2）解：如图2所示，
，
∴为等边三角形，
，
，
∵为中点，
∴，
设，则，
故，
作交于点，
，
，
，
∵，
∴，
．
（3）解：作于点，如图3所示，
设，则，
∵为中点，，
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
又 ∵，
故，
∴，
即，
故．
∵，
∴，
从而有，
∴，即．
解得：，
故．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，构造平行线证明三角形相似，三角形的中位线，勾股定理，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题关键．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 三角形综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：全等三角形的判定和性质 题型二：相似三角形的判定和性质 题型三：与等腰三角有关的问题 题型四：与直角三角有关的问题 题型五：解直角三角有关的计算
必备知识 知识1 全等三角形的判定和性质 知识2 相似三角形的判定和性质 知识3 特殊三角形中的判定和性质 知识4 解直角三角形
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，三角形综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第20-24题中后部位置，常与四边形、相似、旋转变换等结合考查，难度分布广泛，压轴题出现频率高。 命题内容： 1. 全等与相似：考查全等三角形、相似三角形的判定与性质，常结合中点、角平分线、垂直平分线进行综合证明与计算。 2. 特殊三角形与变换：包括等腰三角形、直角三角形的性质应用，以及与轴对称、旋转变换结合的动态几何问题，侧重分类讨论与数形结合思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
全等三角形的判定与性质 T18：全等三角形与菱形综合 T17：全等三角形判定（SAS） T12：全等三角形判定与性质 T4：全等三角形判定（SAS） T17：全等三角形综合应用
相似三角形的判定与性质 T20：相似三角形与四边形综合 T18：相似三角形与三角形综合 T15：相似三角形与正方形综合 T16：相似三角形与反比例函数综合 T15：相似三角形与几何综合
等腰三角形的性质与判定 T16：等腰三角形与菱形综合 T15：等腰三角形性质应用 T10：等腰三角形判定与角度计算 T6：等腰三角形三线合一性质 T14：等腰三角形综合问题
直角三角形的性质与应用 T14：直角三角形与勾股定理 T12：含30°角的直角三角形性质 T9：直角三角形与元叠问题 T12：直角三角形与勾股定理 T9：直角三角形斜边中线性质
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位延续：将继续作为几何压轴题的核心载体，与四边形、圆或函数综合命题。 2. 动态探究深化：动点问题、图形变换类试题将持续出现，考查学生的探究能力与分类讨论思想。 3. 情境创新：可能融入新定义阅读、真实背景问题，考查即时学习与知识迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握三角形内角和、四边关系、全等与相似的判定定理，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对等腰三角形分类讨论、全等模型进行专项训练，掌握通性通法。 3. 强化综合：练习与四边形、旋转变换结合的综合性题目，提升几何直观与逻辑推理能力。 4. 关注创新：适应新定义、项目化试题，培养从复杂图形中提炼基本模型的能力。
题型一 全等三角形的判定和性质
1. 判定定理：熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL五种判定方法，根据已知条件选择合适定理。 2. 隐含条件：善于发现公共边、公共角、对顶角及等边减等边等隐含相等关系。 3. 性质应用：全等三角形对应边、对应角相等，常结合平行线、中点或角平分线进行推理证明。
1．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
2．（2021·浙江杭州·中考真题）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若______，求证：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
3．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
题型二 相似三角形的判定和性质
1. 判定定理：熟练掌握两角对应相等、两边成比例且夹角相等、四边成比例三种判定方法，灵活选择。 2. 基本图形：识别“A”型、“X”型、母子相似及一线三等角等常见相似模型，快速寻找对应关系。 3. 性质应用：相似三角形对应边成比例、对应角相等，常用于求线段长、证明比例式及面积比计算。
1．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最小面积为_____．（不计三角尺的厚度）
如图，三角形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻元，点落在点处．已知，连结．
当时，___________；
当为直角三角形时，___________．
题型三 与等腰三角形有关的问题
1. 分类讨论：遇等腰三角形未明确顶角或腰时，需按角、边或高位置分类讨论，避免漏解。 2. 性质运用：熟练运用“等边对等角”“三线合一”性质进行角度计算、线段证明或构造全等。 3. 方程思想：设未知数，利用等腰三角形的边角关系列方程求解，结合几何直观检验合理性。
1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________

4．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．

（1）若四边形的圆长与的圆长相等，则之间的等量关系为________．
（2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________．
题型四 与直角三角形有关的问题
1. 勾股定理：在直角三角形中，利用a2+b2=c2求边长或证明边的关系。 2. 特殊角运用：含30°角直角三角形四边比为1::2，含45°角四边比为1:1:，快速计算。 3. 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于构造等腰三角形或求线段长。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿元叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最小值为________．
题型五 解直角三角形有关的计算
1. 定义法：熟记sin、cos、tan的定义，根据已知边角选择合适三角函数建立方程。 2. 特殊角：掌握30°、45°、90°的三角函数值，可直接代入计算。 3. 模型应用：常结合仰角俯角、坡度方向角等实际背景，构造直角三角形求解，注意单位统一。
1．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝70°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，．
(1)求的长；
(2)求的值．
3．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=70°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
知识1 一次函数的图象和性质全等三角形的判定和性质
1. 五种判定： SSS（四边对应相等）、SAS（两边及其夹角）、ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及对边）、HL（直角边斜边，仅直角三角形）。
2. 核心性质： 全等三角形对应边相等、对应角相等；对应中线、高、角平分线也相等。
3. 常见模型： 平移型、对称型、旋转型、一线三等角模型，快速识别图形中的全等关系。
知识2 相似三角形的判定和性质
1. 四种判定： 两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；四边对应成比例；平行线截得相似（A字型、X字型）。
2. 核心性质： 对应角相等；对应边成比例；圆长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
3. 应用关键： 识别基本模型（A字、8字、一线三等角），设未知数列比例方程求解。
知识3 特殊三角形的判定和性质
1. 等腰三角形： 等边对等角，三线合一（中线、高、角平分线重合）；判定：两边相等或两角相等。
2. 等边三角形： 四边相等，三角均为90°，四心合一；判定：等腰且有一角90°或三角相等。
3. 直角三角形： 勾股定理（a2+b2=c2），斜边中线等于斜边一半；判定：勾股逆定理或一角为直角。
知识4 解直角三角形
1. 锐角三角函数：in A = ，cos A =，tan A = ，熟记30°、45°、90°特殊角函数值。
2. 核心关系： 同角sin2A + cos2 A = 1，tan A = ；互余角sin A = cos(70°-A)。
3. 应用模型： 仰角俯角、坡度坡角、方位角问题，常构造直角三角形，利用三角函数列方程求解。
1．（2026·浙江·模拟预测）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江·二模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以小于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江·模拟预测）如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否错误（ ）

A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错
4．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，点是内部一点，且，延长交于点．已知，则______．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________．
6．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，交于点G，交于点F，则_______．
(2)若，，求的长．
10．（2026·浙江·模拟预测）如图1，中，，为中点，点在上（不与重合），过点作，垂足为，连结，过的中点．作，垂足为．
(1)若，当为中点时，求的长．
(2)求的值．
(3)如图2，连结，过点作交于点，连结，求证：．
11．（2025·浙江台州·三模）如图1，在四边形中，，连接为的中点，连接，交于点．
(1)求证：．
(2)如图2，若，求的值．
(3)如图3，若，求的值．
12．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，．
(1)如图1，求的面积．
(2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合．
①连接．求的面积．
②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值．
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