资源简介

专题08 圆的综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：弧长、扇形的面积 题型二：圆周角定理 题型三：切线的性质定理 题型四：圆与三角形相似的综合
必备知识 知识1 圆的基本性质与垂径定理 知识2 切线的判定与性质 知识3 与圆有关的位置关系 知识4 圆中计算与综合应用
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，圆的综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第21-24题压轴位置，常与相似三角形、四边形、锐角三角函数及函数结合考查，难度较高。 命题内容： 1. 圆的基本性质：考查垂径定理、圆周角定理及其推论、切线的判定与性质，结合弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算。 2. 综合应用：包括圆与相似三角形、勾股定理、三角函数结合求线段长或角度，以及与四边形、函数融合的动态几何问题，侧重几何直观与逻辑推理。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
圆周角定理与圆心角 T5：圆周角定理 T7：圆周角与圆心角 T9：圆周角定理推论
垂径定理及其应用 T16：垂径定理与圆内接三角形 T12：垂径定理与弦长计算 T13：垂径定理与圆内接四边形 T11：垂径定理与三角形
切线的判定与性质 T19：切线的性质计算 T18：切线的性质与三角形全等 T17：切线的判定与四边形 T21：切线的性质综合
圆与相似三角形综合 T24：圆与相似三角形 T20：圆与相似综合 T19：圆与相似、全等 T18：圆与相似三角形
圆与锐角三角函数综合 T22：圆与三角函数 T16：圆与三角函数 T24：圆与三角函数 T15：圆与三角函数
弧长与扇形面积 T9：弧长计算 T13：扇形面积计算 T10：弧长计算 T11：圆锥侧面展开图 T10：扇形面积与旋转
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位稳固：将继续作为解答题压轴题出现，与相似、四边形综合命题，分值约10-12分。 2. 思维含量提升：中档题占比增减，圆综合题将更注重逻辑推理与代数运算的融合考查。 3. 情境创新：可能融入新定义阅读或项目化学习背景，考查即时学习与知识迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握垂径定理、圆周角定理及切线判定，确保基础概念清晰。 2. 突破中档：针对圆中相似求边长、切线证明进行专项训练，掌握通性通法。 3. 强化综合：练习与四边形、三角函数结合的综合性题目，提升几何直观与推理能力。 4. 关注创新：适应新定义试题，培养从复杂图形中提炼基本模型并合理添减辅助线的能力。
题型一 弧长、扇形面积
1. 熟记公式：弧长l =，扇形面积S = = lR，根据已知条件灵活选用。 2. 找对圆心角：准确找出扇形所对圆心角度数，注意结合圆内特殊角（如直径所对圆周角70°）或等边三角形辅助计算。 3. 转化法：不规则阴影面积常转化为规则图形面积（如扇形、三角形、正方形）的和差关系求解。
1．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，
∴，
∴，
∴的长为；
故选B．
2．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【答案】
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，
∴它的弧长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留）

【答案】
【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，
烟囱帽的侧面积（），
故答案为：．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．

(1)求证：；
(2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)①2；②
【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论；
（2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解；
②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，点D为切点，
∴，
∵，，，
∴，
∴；

（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半圆O的半径为2；
②在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的一点，，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
【详解】（1）证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝90°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝90°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
题型二 圆周角定理
1. 圆心角与圆周角关系：同弧所对圆周角是圆心角的一半，常用于求角度大小。 2. 直径对直角：直径所对圆周角为70°，常构造直角三角形利用勾股定理或三角函数求解。 3. 等弧推等角：在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，常用于证明角相等或相似三角形。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵，
∴；
.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.
2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
半径互相垂直，
，
所对的圆心角为，
所对的圆周角，
又，
，
故选D．
3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】A
【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作于点E，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________．

【答案】/度
【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，

∵，分别与相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
题型三 切线的性质定理
1. 垂直关系：圆的切线垂直于过切点的半径，常用来构造直角三角形进行角度计算或勾股定理求线段长。 2. 连接圆心：已知切线时，通常连接圆心与切点，得到垂直关系，再结合其他已知条件解决问题。 3. 结合圆周角：切线与弦所夹的角等于弦所对的圆周角，常用于角度转化与相似三角形判定。
1．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________

【答案】/40度
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________．

【答案】或
【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．
【详解】解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，
∴，，
∴
设，则，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵为等腰三角形，
当时，，
当时，
∵，
∴点与点重合，
∴，

不存在的情况；
综上：的长为或．
故答案为：或．
3．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直；
（2）先得到是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解．
【详解】（1）证明：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．

(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；
（2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案.
【详解】（1）如图，连结，

∵半圆O与相切于点D，
∴．
∵，
∴.
∵，，
∴．
∴．
（2）如图，∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，
在中，，
∴.
在中，，
∴．
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解．
（2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
∴．

（2）∵是的切线，是的半径，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴
∴，即，
∴．
6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为三角形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是三角形判定即可．
（2）根据三角形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是三角形．
（2）如图，连接．
四边形是三角形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
题型四 圆与三角形相似的综合
1. 找等角：利用同弧或等弧所对圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角及直径所对圆周角70°等性质，寻找相似三角形中的相等角。 2. 利用切线：切线与弦所夹的角等于弦所对的圆周角，结合垂直关系构造相似三角形。 3. 列比例式：根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求线段长或证明等积式。
1．（2025·浙江·中考真题）如图，三角形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，三角形的性质；
根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可．
【详解】解：∵为三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
在中，，
连接，
∵为直径，
∴，
在中，，
∴在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴解得：，
∴，
的直径为：，
故答案为：．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故；
②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．

(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得；
（2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；
（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．
【详解】（1）解：直径垂直弦，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
由（1）知，
，
又，
；
（3）解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
又，
，
，
设，，
则，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
，
．
4．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②；③的长为或．
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，

∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①连接，

∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
5．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上一点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．

(1)如图1，当，的长为时，求的长．
(2)如图2，当，时，求的值．
(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长．
（2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案．
（3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案
【详解】（1）解：如图1，连接，设的度数为．
，的长为，
．
，即．
．
直线是的切线，
．
∴．
（2）解：如图2，连接，过点作于点，
为直径，
．
．
，
．
，，
．
，，
．
．
（3）解：，理由如下：
如图3，连接BQ，
，，
，，
，
，
．
，
，
．①
，，
，
．②
，
得，．
，
．
6．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．

(1)求的长和关于的函数表达式．
(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．
(3)延长交半圆于点，当时，求的长．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)
【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得；
（2）根据四边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解．
（3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接．

∵切半圆于点，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
如图2，，
∴．

∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，四边之比为（如图2），
∴可分为三种情况．
i）当时，
，，
解得，
∴．
ii）当时，
，，
解得，
∴．
iii）当时，
，，
解得，
∴．
（3）如图3，连接，，过点作于点，

则，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的长为．
知识1 圆的基本性质与垂径定理
1. 圆心角与圆周角： 同弧所对圆周角是圆心角的一半；直径所对圆周角为70°，常用于构造直角三角形。
2. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦及其所对弧，常与勾股定理结合求弦长或半径。
3. 弦、弧、圆心角关系： 在同圆或等圆中，弦相等、弧相等、圆心角相等，知一推二。
知识2 切线的判定与性质
1. 判定方法： 过半径外端且垂直于半径的直线是切线；圆心到直线距离等于半径则直线为切线。
2. 性质定理： 切线与过切点的半径垂直；从圆外一点引两条切线，切线长相等。
3. 核心模型： 连接圆心与切点得垂直，构造直角三角形；利用切线长定理证线段相等或角相等。
知识3 与圆有关的位置关系
1. 点与圆： 比较点到圆心距离d与半径r大小：dr点在圆外。
2. 直线与圆： 圆心到直线距离d与r比较：相离（d>r）、相切（d=r）、相交（d3. 圆与圆： 圆心距与两圆半径和、差比较，判定外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。
知识4 圆中计算与综合应用
1. 弧长与扇形面积：弧长l =，扇形面积S = = lR，圆锥侧面积πrl。
2. 阴影面积： 常用割补法、等积变形法、整体减空白法，转化为规则图形面积和差。
3. 与相似、三角函数结合： 圆中常构造直角三角形，利用圆周角定理导角，结合相似比例或三角函数列方程求解。
一、单选题
1．（2026·浙江舟山·一模）如图，点，，在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，，
∴．
2．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查垂径定理、圆的切线的性质、相似三角形的性质及判定圆周角定理的推论等，根据垂径定理容易求，然后证明，可求得．
【详解】如图所示，连接．
因为是的直径，，
所以垂直平分线段，．
所以，．
所以．
因为是的切线，
所以．
所以．
又因为．
所以．
所以．
所以．
二、填空题
3．（2026·浙江衢州·一模）半径为，圆心角的扇形面积为________．
【答案】345π
【分析】根据扇形的面积公式解答，即．
【详解】解：，
所以扇形的面积是．
4．（2026·浙江杭州·一模）如图，四边形内接于，，，则________ ．
【答案】
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，计算即可．
【详解】解：如图，连接、，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2026·浙江衢州·一模）如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________．
【答案】
【分析】连接，延长交于点，证明四边形是三角形，得，，求出，设，则，由勾股定理列方程可求出．
【详解】解：连接，延长交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，点F是切点，
∴，即,
∴四边形是三角形，
∴，，即,
∴,
∵点是的中点，
∴，
∴，
设，则，
在中，,
∴,
解得：．
6．（2026·浙江湖州·一模）如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________
【答案】
【分析】连接，过点B作于点G，设，则，，证明，可得，再由，可得， 从而得到，，在中， 根据勾股定理可得，，在中，，再由，可得，在中，可得
，联立解方程组，即可求解．
【详解】解：连接，过点B作于点G，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
在中， ，
∴，
在中，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
联立得：，
解得：，
∴．
三、解答题
7．（2026·浙江杭州·一模）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案．
【详解】（1）证明：是直径，
，
，
∴，
，
∵为半径，
；
（2）解：，，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
8．（2026·浙江湖州·一模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若，求该圆的直径．
【答案】(1)见详解；
(2)
【分析】（1）根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证；
（2）设半径，证，根据相似比求解即可．
【详解】（1）证明：∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设半径，
∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即直径．
9．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，连接．已知．
(1)如图，求证：．
(2)如图，经过圆心，，．
① 求的值； ② 若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）①连接，，利用全等三角形的判定与性质得到，利用圆的有关性质，等腰三角形的性质和平行线的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，利用（2）①的结论得到，利用三角形的中位线定理得到，再利用勾股定理列出关于的方程解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
．
，
；
（2）解：①连接，，如图，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
∵，
，
为圆的直径，
，
．
，
；
②连接，，延长交于点，如图，
设的半径为，则，
由（2）①知：，
，
由（2）①知：，
，
，，
，
为的中位线，
，
，
，，
，
解得，
，
．
答：的半径为．
10．（2026·浙江杭州·一模）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接OC，证明，，由即可得到结论；
（2）连接OC，证明，即可证明结论；
（3）取的中点，连接，求出，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由（1）知：，，
是的直径，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，，
，
；
（3）解：如图，取的中点，连接，
是的中点，
，，
，
由（2）知：，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
11．（2026·浙江宁波·一模）如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，连接，，当时，求的值；
(3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求：
①的直径；
②的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由垂径定理可得，再由圆周角定理得出，即可得证；
（2）连接交于点，由垂径定理可得，，证明为的中位线，得出，再由垂径定理可得，由圆周角定理可得，证明，得出，求出，由勾股定理可得，即可得出，最后由正切的定义计算即可得出结果；
（3）①延长交于点，由题意可得，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果；
②设，则，证明，求出，，由勾股定理可得，，求出，由①可得，，过点作于点，设，则，，求出，，，由勾股定理可得，，则，连接，则，证明，得出，代入计算即可得出结果
【详解】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∴．
∴．
②连结，
∵，经过点O，
∴．
∴垂直平分，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴在中，．
∴．
令，则．．
∴在中，．
解得．
（2）解：①当点E靠近点D时，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴和均为等腰直角三角形．
∴．
由①得．
∵，
∴．
∴，
设，则，
∴．
∴．
∴．
∴．
②当点E靠近点B时，
同理可证和均为等腰直角三角形，
令，
∴，，
∴，
∴．
∴综合所述可得：或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08 圆的综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：弧长、扇形的面积 题型二：圆周角定理 题型三：切线的性质定理 题型四：圆与三角形相似的综合
必备知识 知识1 圆的基本性质与垂径定理 知识2 切线的判定与性质 知识3 与圆有关的位置关系 知识4 圆中计算与综合应用
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，圆的综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第21-24题压轴位置，常与相似三角形、四边形、锐角三角函数及函数结合考查，难度较高。 命题内容： 1. 圆的基本性质：考查垂径定理、圆周角定理及其推论、切线的判定与性质，结合弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算。 2. 综合应用：包括圆与相似三角形、勾股定理、三角函数结合求线段长或角度，以及与四边形、函数融合的动态几何问题，侧重几何直观与逻辑推理。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
圆周角定理与圆心角 T5：圆周角定理 T7：圆周角与圆心角 T9：圆周角定理推论
垂径定理及其应用 T16：垂径定理与圆内接三角形 T12：垂径定理与弦长计算 T13：垂径定理与圆内接四边形 T11：垂径定理与三角形
切线的判定与性质 T19：切线的性质计算 T18：切线的性质与三角形全等 T17：切线的判定与四边形 T21：切线的性质综合
圆与相似三角形综合 T24：圆与相似三角形 T20：圆与相似综合 T19：圆与相似、全等 T18：圆与相似三角形
圆与锐角三角函数综合 T22：圆与三角函数 T16：圆与三角函数 T24：圆与三角函数 T15：圆与三角函数
弧长与扇形面积 T9：弧长计算 T13：扇形面积计算 T10：弧长计算 T11：圆锥侧面展开图 T10：扇形面积与旋转
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位稳固：将继续作为解答题压轴题出现，与相似、四边形综合命题，分值约10-12分。 2. 思维含量提升：中档题占比增减，圆综合题将更注重逻辑推理与代数运算的融合考查。 3. 情境创新：可能融入新定义阅读或项目化学习背景，考查即时学习与知识迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握垂径定理、圆周角定理及切线判定，确保基础概念清晰。 2. 突破中档：针对圆中相似求边长、切线证明进行专项训练，掌握通性通法。 3. 强化综合：练习与四边形、三角函数结合的综合性题目，提升几何直观与推理能力。 4. 关注创新：适应新定义试题，培养从复杂图形中提炼基本模型并合理添减辅助线的能力。
题型一 弧长、扇形面积
1. 熟记公式：弧长l =，扇形面积S = = lR，根据已知条件灵活选用。 2. 找对圆心角：准确找出扇形所对圆心角度数，注意结合圆内特殊角（如直径所对圆周角70°）或等边三角形辅助计算。 3. 转化法：不规则阴影面积常转化为规则图形面积（如扇形、三角形、正方形）的和差关系求解。
1．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留）

4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．

(1)求证：；
(2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．
5．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的一点，，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
题型二 圆周角定理
1. 圆心角与圆周角关系：同弧所对圆周角是圆心角的一半，常用于求角度大小。 2. 直径对直角：直径所对圆周角为70°，常构造直角三角形利用勾股定理或三角函数求解。 3. 等弧推等角：在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，常用于证明角相等或相似三角形。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________．

题型三 切线的性质定理
1. 垂直关系：圆的切线垂直于过切点的半径，常用来构造直角三角形进行角度计算或勾股定理求线段长。 2. 连接圆心：已知切线时，通常连接圆心与切点，得到垂直关系，再结合其他已知条件解决问题。 3. 结合圆周角：切线与弦所夹的角等于弦所对的圆周角，常用于角度转化与相似三角形判定。
1．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________

2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________．

3．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．

(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为三角形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
题型四 圆与三角形相似的综合
1. 找等角：利用同弧或等弧所对圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角及直径所对圆周角70°等性质，寻找相似三角形中的相等角。 2. 利用切线：切线与弦所夹的角等于弦所对的圆周角，结合垂直关系构造相似三角形。 3. 列比例式：根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求线段长或证明等积式。
1．（2025·浙江·中考真题）如图，三角形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．

(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
4．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
5．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上一点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．

(1)如图1，当，的长为时，求的长．
(2)如图2，当，时，求的值．
(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
6．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．

(1)求的长和关于的函数表达式．
(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．
(3)延长交半圆于点，当时，求的长．
知识1 圆的基本性质与垂径定理
1. 圆心角与圆周角： 同弧所对圆周角是圆心角的一半；直径所对圆周角为70°，常用于构造直角三角形。
2. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦及其所对弧，常与勾股定理结合求弦长或半径。
3. 弦、弧、圆心角关系： 在同圆或等圆中，弦相等、弧相等、圆心角相等，知一推二。
知识2 切线的判定与性质
1. 判定方法： 过半径外端且垂直于半径的直线是切线；圆心到直线距离等于半径则直线为切线。
2. 性质定理： 切线与过切点的半径垂直；从圆外一点引两条切线，切线长相等。
3. 核心模型： 连接圆心与切点得垂直，构造直角三角形；利用切线长定理证线段相等或角相等。
知识3 与圆有关的位置关系
1. 点与圆： 比较点到圆心距离d与半径r大小：dr点在圆外。
2. 直线与圆： 圆心到直线距离d与r比较：相离（d>r）、相切（d=r）、相交（d3. 圆与圆： 圆心距与两圆半径和、差比较，判定外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。
知识4 圆中计算与综合应用
1. 弧长与扇形面积：弧长l =，扇形面积S = = lR，圆锥侧面积πrl。
2. 阴影面积： 常用割补法、等积变形法、整体减空白法，转化为规则图形面积和差。
3. 与相似、三角函数结合： 圆中常构造直角三角形，利用圆周角定理导角，结合相似比例或三角函数列方程求解。
一、单选题
1．（2026·浙江舟山·一模）如图，点，，在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江舟山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2026·浙江衢州·一模）半径为，圆心角的扇形面积为________．
4．（2026·浙江杭州·一模）如图，四边形内接于，，，则________ ．
5．（2026·浙江衢州·一模）如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________．
6．（2026·浙江湖州·一模）如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长．
11．（2026·浙江宁波·一模）如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，连接，，当时，求的值；
(3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求：
①的直径；
②的长．
12．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G．
(1)如图2，若经过点O．
①求证：．
②若，，求的半径．
(2)若，，，求y关于x的函数表达式．
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