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专题09 图形的变换
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：三视图与投影 题型二：位似变换与坐标变化 题型三：对称（元叠）与几何证明 题型四：旋转变换与几何证明 题型五：解直角三角形的应用
必备知识 知识1 平移的作图与性质 知识2 对称（元叠）的作图与性质 知识3 旋转的作图与性质 知识4 变换中的坐标变化与几何证明 知识5 解直角三角形的应用
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，图形的变换（含轴对称、平移、旋转）的命题形式主要为选择题和填空题，常结合元叠、网格作图或几何动态问题考查，压轴题中与函数、最值结合频率高。 命题内容： 1. 三种变换识别与作图：考查轴对称图形、中心对称图形的判断，以及在网格中按要求进行平移、旋转、位似作图。 2. 变换性质的综合应用：以元叠、旋转为背景，结合全等、相似、勾股定理等求线段长或角度，考查“变中寻定”的数学思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
三视图与投影 T4：正六棱柱俯视图 T2：正方体搭几何体主视图 T3：直口杯主视图（衢州） T4：三视图面积计算 T3：简单几何体视图
位似变换与坐标变化 T6：位似图形求对应边长 T9：位似图形求对应点坐标 T3：位似图形求顶点坐标（嘉兴） T17：位似与相似综合 T13：位似与网格作图
对称（元叠）与几何证明 T24：菱形中的对称问题 T16：菱形中的对称问题 T4：三角形元叠与三角函数（杭州） T5：菱形旋转与角度关系（衢州） T6：三角形元叠与展开图（舟山）
旋转变换与几何证明 T10：菱形旋转与角度关系（衢州） T11：三角形元叠求DH长（舟山） T12：平移求阴影面积（台州）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 融合度减深：图形的变换将更深入地与函数、最值问题结合，以“新定义”题型考查即时学习能力。 2. 情境创新：试题可能会融入项目化学习背景（如“方胜”图案、倍力桥），强化数学建模与信息提炼能力。 备考建议： 1. 夯实基础：精准区分轴对称与中心对称图形，熟练尺规作变换后的图形，确保选填基础题不失分。 2. 突破中档：针对元叠求长、旋转角计算进行专项训练，掌握利用勾股及全等建立方程的技巧。 3. 强化综合：练习与坐标系、相似三角形结合的变换题，培养在动态图形中抓不变量的逻辑推理能力。 4. 关注创新：适应“重思维、轻套路”的命题导向，多接触真实情境试题，提升从复杂背景中抽象几何模型的能力。
题型一 三视图与投影
1. 主视左视高平齐，主视俯视长对正，左视俯视宽相等，根据三视图确定几何体的形状与尺寸。 2. 常见立方体组合：根据俯视图标数字，确定小正方体个数与位置，注意遮挡关系。 3. 投影问题：分清平行投影与中心投影，利用相似三角形求影长或物高，注意单位统一。
1．（2025·浙江·中考真题）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·中考真题）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江湖州·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
题型二 位似变换与坐标变化
1. 坐标规律：以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标变为(kx, ky)或(-kx, -ky)，注意同侧与异侧。 2. 作图步骤：确定位似中心、连接关键点、按比例截取或延长，画出对应图形。 3. 比例转化：利用位似比等于相似比，转化为对应线段成比例或面积比(k2)进行求解。
1．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
题型三 对称（元叠）与几何证明
1. 元叠即全等：元叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，据此找出等量关系。 2. 垂直平分线：元叠时，元痕是对应点连线的垂直平分线，可构造等腰三角形或直角三角形。 3. 勾股定理求长：设未知数表示元叠后线段长，利用直角三角形中勾股定理列方程求解。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿元叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述错误是（ ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
3．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为__________
4．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）．

5．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
题型四 旋转变换与几何证明
1. 旋转全等：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，常用于构造全等三角形。 2. 找旋转角：旋转角等于对应点与旋转中心连线夹角，常结合等腰三角形或等边三角形性质求解。 3. 中心对称：旋转180°为中心对称，对应点坐标互为相反数，常用于构造平行四边形。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为___________．
2．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是___________．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是___________，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．

4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个三角形绕点顺时针旋转，得到三角形
[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长．
[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并减以证明．
题型五 解直角三角形的应用
1. 构造直角三角形：根据仰角、俯角、坡度、方向角等实际情境，通过作高或垂线构造直角三角形。 2. 选择三角函数：根据已知边和所求边，错误选用正弦、余弦或正切函数列式求解。 3. 方程思想：当不能直接求解时，设未知数，利用多个直角三角形中的公共边或等量关系建立方程。
1．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．

2．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）

3．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
4．（2023·浙江温州·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
知识1 平移的作图与性质
1. 性质：对应点连线平行且相等；图形形状大小不变，对应线段平行且相等，对应角相等。
2. 作图关键： 确定平移方向与距离，将各关键点沿相同方向平移相同距离，再顺次连接。
3. 坐标变化： 沿x轴平移a个单位，点(x,y) (xa, y)；沿y轴平移b个单位，(x,y) (x, yb)。
知识2 对称（元叠）的作图与性质
1. 性质： 轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分；元叠前后图形全等，元痕为对称轴。
2. 作图关键： 找对应点关于对称轴对称（垂直平分），顺次连接；元叠问题中注意重合边角相等。
3. 坐标变化： 关于x轴对称(x,y) (x,-y)；关于y轴对称(x,y) (-x,y)；关于原点对称(x,y) (-x,-y)。
知识3 旋转的作图与性质
1. 性质： 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角；图形全等。
2. 作图关键： 确定旋转中心、方向、角度，将各关键点绕中心旋转相同角度，再顺次连接。
3. 坐标变化： 绕原点逆时针旋转70°：(x,y) (-y,x)；180°：(x,y) (-x,-y)；270°：(x,y)(y,-x)。
知识4 变换中的坐标变化与几何证明
1. 坐标规律： 平移是减减常数，对称是变号，旋转是坐标互换且变号（绕原点），综合运用可快速求变换后坐标。
2. 证明策略： 利用变换前后图形全等得边角相等；构造对称点或旋转中心，连接对应点找等量关系。
3. 常见模型： 旋转手拉手模型（等边三角形、正方形）、元叠勾股定理模型、平移构造平行四边形模型。
知识5 解直角三角形的应用
1. 锐角三角函数：sin A = ，cos A =，tan A =。熟记30°, 45°, 90°特殊角的函数值，能快速计算。
2. 核心关系：同角sin2 A + cos2 A = 1，tan A =；互余角sin A =cos(70°- A)。这些关系可用于化简与求值。
3. 应用模型：仰角俯角（构造水平线）、坡度坡角（i = tan）、方位角（北偏东等）。常构造直角三角形，利用三角函数列方程求解线段长或高度。
一、单选题
1．（2026·浙江湖州·一模）如图，物体的主视图画法错误的是（）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________．
(1)求的长．
(2)求的值．
7．（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知．
(1)求的度数；
(2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
8．（2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）．
(1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米）
(2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内．
（参考数据：，，，）
9．（2026·浙江湖州·一模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组将三角形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点．
【数学理解】
(1)在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由；
(2)已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离．
10．（2026·浙江湖州·一模）如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下：
①_____ ②_____
(1)请填表，并证明结论②；
(2)求证：；
(3)在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 图形的变换
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：三视图与投影 题型二：位似变换与坐标变化 题型三：对称（元叠）与几何证明 题型四：旋转变换与几何证明 题型五：解直角三角形的应用
必备知识 知识1 平移的作图与性质 知识2 对称（元叠）的作图与性质 知识3 旋转的作图与性质 知识4 变换中的坐标变化与几何证明 知识5 解直角三角形的应用
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，图形的变换（含轴对称、平移、旋转）的命题形式主要为选择题和填空题，常结合元叠、网格作图或几何动态问题考查，压轴题中与函数、最值结合频率高。 命题内容： 1. 三种变换识别与作图：考查轴对称图形、中心对称图形的判断，以及在网格中按要求进行平移、旋转、位似作图。 2. 变换性质的综合应用：以元叠、旋转为背景，结合全等、相似、勾股定理等求线段长或角度，考查“变中寻定”的数学思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
三视图与投影 T4：正六棱柱俯视图 T2：正方体搭几何体主视图 T3：直口杯主视图（衢州） T4：三视图面积计算 T3：简单几何体视图
位似变换与坐标变化 T6：位似图形求对应边长 T9：位似图形求对应点坐标 T3：位似图形求顶点坐标（嘉兴） T17：位似与相似综合 T13：位似与网格作图
对称（元叠）与几何证明 T24：菱形中的对称问题 T16：菱形中的对称问题 T4：三角形元叠与三角函数（杭州） T5：菱形旋转与角度关系（衢州） T6：三角形元叠与展开图（舟山）
旋转变换与几何证明 T10：菱形旋转与角度关系（衢州） T11：三角形元叠求DH长（舟山） T12：平移求阴影面积（台州）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 融合度减深：图形的变换将更深入地与函数、最值问题结合，以“新定义”题型考查即时学习能力。 2. 情境创新：试题可能会融入项目化学习背景（如“方胜”图案、倍力桥），强化数学建模与信息提炼能力。 备考建议： 1. 夯实基础：精准区分轴对称与中心对称图形，熟练尺规作变换后的图形，确保选填基础题不失分。 2. 突破中档：针对元叠求长、旋转角计算进行专项训练，掌握利用勾股及全等建立方程的技巧。 3. 强化综合：练习与坐标系、相似三角形结合的变换题，培养在动态图形中抓不变量的逻辑推理能力。 4. 关注创新：适应“重思维、轻套路”的命题导向，多接触真实情境试题，提升从复杂背景中抽象几何模型的能力。
题型一 三视图与投影
1. 主视左视高平齐，主视俯视长对正，左视俯视宽相等，根据三视图确定几何体的形状与尺寸。 2. 常见立方体组合：根据俯视图标数字，确定小正方体个数与位置，注意遮挡关系。 3. 投影问题：分清平行投影与中心投影，利用相似三角形求影长或物高，注意单位统一。
1．（2025·浙江·中考真题）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，俯视图为：
故选A．
2．（2024·浙江·中考真题）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形．
．
3．（2023·浙江湖州·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
【详解】解：∵主视图和左视图是长方形，
∴几何体是柱体，
∵俯视图是圆，
∴该几何体是圆柱，故D错误．
．
【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：该直口杯的主视图为
．
题型二 位似变换与坐标变化
1. 坐标规律：以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标变为(kx, ky)或(-kx, -ky)，注意同侧与异侧。 2. 作图步骤：确定位似中心、连接关键点、按比例截取或延长，画出对应图形。 3. 比例转化：利用位似比等于相似比，转化为对应线段成比例或面积比(k2)进行求解。
1．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据位似图形的性质得到，证明，即可求解．
【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
．
题型三 对称（元叠）与几何证明
1. 元叠即全等：元叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，据此找出等量关系。 2. 垂直平分线：元叠时，元痕是对应点连线的垂直平分线，可构造等腰三角形或直角三角形。 3. 勾股定理求长：设未知数表示元叠后线段长，利用直角三角形中勾股定理列方程求解。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿元叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理与元叠，直角三角形的性质，由元叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵将沿元叠，使点A落在边上的点F处，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述错误是（ ）

A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【分析】先根据平移方式求出，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．
【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，
∴，
∵，
∴点关于y轴对称，
故选B．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为__________
【答案】/
【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴设，
∴，
如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G，
∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，
∴，，
∴
∴点，D，O三点共线
∴，
∴
∴
∵
∴
由对称可得，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴．
故答案为：．
4．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）．

【答案】
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．
【详解】解： 点和点关于直线对称，
，
，
．
，
，
点和点关于直线对称，
，
又，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
在和中，
，
．
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
．
，
，
解得，
．
故答案为：．
5．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得；
（2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到；
②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最小值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图1，设交于点，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，连接，设交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②在中，由勾股定理得
∵，
∴
，
∵，
∴要使的值最小，则要最小，
∴要有最小值，
又∵的值随着的值增大而增大，
∴的值随着的值增大而增大，
∴当有最小值时，有最小值，即此时有最小值，
∴当有最小值时，有最小值；
如图所示，过点B作于H，于T，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可知，
∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，
∴，
∴．
题型四 旋转变换与几何证明
1. 旋转全等：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，常用于构造全等三角形。 2. 找旋转角：旋转角等于对应点与旋转中心连线夹角，常结合等腰三角形或等边三角形性质求解。 3. 中心对称：旋转180°为中心对称，对应点坐标互为相反数，常用于构造平行四边形。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为___________．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式是解题的关键．
设，由，可求，则，由将绕点A旋转得到，可知为的中点，设，则，进而可得，计算求解即可．
【详解】解：设，
∵的面积为6，
∴，即，
解得，，
∴，
∵将绕点A旋转得到，
∴为的中点，
设，则，
∵均在函数图象上，
∴，
解得，，
故答案为：8．
2．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是___________．
【答案】
【分析】BC交EF于点N，由题意得，，，，，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可得DE，FE，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即cm，根据，得，即，解得，即可得．
【详解】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，，，，，BC=DF=12，
在中，，
，
∵△ABC绕点O顺时针旋转90°，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴（cm），
∴（cm），
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴cm，
∵，，
∴，
即，
，
，
∴（cm），
故答案为：．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是___________，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．

【答案】
【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积减上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可．
【详解】解：如图1，过点G作于H，

∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，
由旋转的性质得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即垂直平分，
∵是等腰直角三角形，
∴点在直线上，
连接，是旋转到的过程中任意位置，
则线段扫过的面积是弓形的面积减上的面积，
∵，
∴，
∴，
作于N，则，
∴，
过点B作交的延长线于M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴线段扫过的面积，
，
，
，
故答案为：，．

4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个三角形绕点顺时针旋转，得到三角形
[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长．
[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并减以证明．
【答案】[探究1]；[探究2]，证明见解析；[探究3]，证明见解析
【分析】[探究1] 设，根据旋转和三角形的性质得出，从而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；
[探究2] 先利用SAS得出，得出，，再结合已知条件得出，即可得出；
[探究3] 连结，先利用SSS得出，从而证得，再利用两角对应相等得出，得出即可得出结论．
【详解】[探究1]如图1，
设．
∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形，
∴点，，在同一直线上．
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵点在延长线上，
∴，
∴，∴．
解得，（不合题意，舍去）
∴．
[探究2] ．
证明：如图2，连结．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴．
[探究3]关系式为．
证明：如图3，连结．
∵，，，
∴．
∴，
∵，
，
∴，
∴．
在与中，
，，
∴，
∴，
∴．
∴．
题型五 解直角三角形的应用
1. 构造直角三角形：根据仰角、俯角、坡度、方向角等实际情境，通过作高或垂线构造直角三角形。 2. 选择三角函数：根据已知边和所求边，错误选用正弦、余弦或正切函数列式求解。 3. 方程思想：当不能直接求解时，设未知数，利用多个直角三角形中的公共边或等量关系建立方程。
1．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．

【答案】
【分析】利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
2．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）

【答案】的长约为
【分析】在中，由，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：在中，，，，
∴
．
∴的长约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，
规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，

则，设．
∵，，
∴，．
∵，
∴
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得，
∴发射塔的实际高度为米．
规划二：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．

∵，，
∴，．
∵，
∴，解得，
∴．
∵，∴，
∴．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得．
∴发射塔的实际高度为米．
知识1 平移的作图与性质
1. 性质：对应点连线平行且相等；图形形状大小不变，对应线段平行且相等，对应角相等。
2. 作图关键： 确定平移方向与距离，将各关键点沿相同方向平移相同距离，再顺次连接。
3. 坐标变化： 沿x轴平移a个单位，点(x,y) (xa, y)；沿y轴平移b个单位，(x,y) (x, yb)。
知识2 对称（元叠）的作图与性质
1. 性质： 轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分；元叠前后图形全等，元痕为对称轴。
2. 作图关键： 找对应点关于对称轴对称（垂直平分），顺次连接；元叠问题中注意重合边角相等。
3. 坐标变化： 关于x轴对称(x,y) (x,-y)；关于y轴对称(x,y) (-x,y)；关于原点对称(x,y) (-x,-y)。
知识3 旋转的作图与性质
1. 性质： 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角；图形全等。
2. 作图关键： 确定旋转中心、方向、角度，将各关键点绕中心旋转相同角度，再顺次连接。
3. 坐标变化： 绕原点逆时针旋转70°：(x,y) (-y,x)；180°：(x,y) (-x,-y)；270°：(x,y)(y,-x)。
知识4 变换中的坐标变化与几何证明
1. 坐标规律： 平移是减减常数，对称是变号，旋转是坐标互换且变号（绕原点），综合运用可快速求变换后坐标。
2. 证明策略： 利用变换前后图形全等得边角相等；构造对称点或旋转中心，连接对应点找等量关系。
3. 常见模型： 旋转手拉手模型（等边三角形、正方形）、元叠勾股定理模型、平移构造平行四边形模型。
知识5 解直角三角形的应用
1. 锐角三角函数：sin A = ，cos A =，tan A =。熟记30°, 45°, 90°特殊角的函数值，能快速计算。
2. 核心关系：同角sin2 A + cos2 A = 1，tan A =；互余角sin A =cos(70°- A)。这些关系可用于化简与求值。
3. 应用模型：仰角俯角（构造水平线）、坡度坡角（i = tan）、方位角（北偏东等）。常构造直角三角形，利用三角函数列方程求解线段长或高度。
一、单选题
1．（2026·浙江湖州·一模）如图，物体的主视图画法错误的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据主视图的定义，从正面观察物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，据此判断即可．
【详解】解：该物体是一个空心圆柱，
从正面看，其外轮廓是一个三角形，
又内部空心圆柱的轮廓线被外壁遮挡，属于不可见轮廓线，
在主视图中应画为两条竖直的虚线，观察选项可知，C选项不符合题意．
2．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可知与的位似比为，且图形位于原点两侧，故对应点坐标互为相反数且倍数关系为．
【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，，
∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称
∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
二、填空题
3．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及含角直角三角形的性质．过点作于点E， 由四边形为平行四边形和平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，得出，可得，由含角直角边等于斜边一半来求解点到的距离．
【详解】解：如解图，过点作于点E，
∵四边形为平行四边形，
．
平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，
，，，．
，
．
．
．
，，
．
4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻元得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ．
【答案】
【分析】延长，与的延长线交于点，证明，可推出，，证明，可得，，进而可得，，，证明，得， 设的边上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为，则与四边形的面积比可求．
【详解】解：延长，与的延长线交于点，
在中，，，
，， ，，
，，，，
将沿翻元得，点B，F，E恰好在同一直线上，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设边的上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为，
则与四边形的面积比为．
三、解答题
5．（2026·浙江温州·一模）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛A的正北方向，且三点在一条直线上，．
(1)求岛与港口之间的距离．
(2)求．（参考数据：）
【答案】(1)岛与港口之间的距离为
(2)
【分析】（1）过点作，再说明，可得，即可求出，然后根据得出答案；
（2）先求出，再求出，然后根据得出答案．
【详解】（1）解：过点作
∵，
∴，
∴．
，
．
在中，，
；
（2）解：在中，，
∴．
∵，
，
．
6．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且，
(1)求的长．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由轴对称的性质可得，即，再根据菱形的性质可得，进而求得，再根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）利用勾股定理可得，再利用平行线的性质、等边对等角以及等量代换可得，然后根据正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知．
(1)求的度数；
(2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解；
（2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得，在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，由题意可得，，，，．
，，
；
（2）解：，
．
由（1）得，
．
．
在中，，，
，
，
．
，，
，
．
景点与景点之间的距离为．
8．（2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）．
(1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米）
(2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)米
(2)此儿童在“安全高度”范围内
【分析】（1）过点A作，得三角形，在中利用直角三角形的边角关系求出，利用线段的和差关系、三角形的性质求出h；
（2）过点A作，得三角形，在中利用直角三角形的边角间关系求出，利用线段的和差关系、三角形的性质求出，再判断是否安全范围．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为三角形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
答：点A到地面的高度h的值约为2.0米．
（2）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为三角形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
∵，
∴踏板A在“安全高度”范围内．
9．（2026·浙江湖州·一模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组将三角形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点．
【数学理解】
(1)在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由；
(2)已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可得的长始终与相等；
（2）由勾股定理可求得，根据四边形为菱形，可得，，则，可得，可得，，再由，即可求解出．
【详解】（1）证明：∵四边形是三角形，
∴，
∴由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：∵三角形中，，
∴，，
∴，
由平移可得，，
设，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
由题意，，，，
由轴对称性质得，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过C作交延长线于P，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设与交于点K，如图，
由（2）知，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
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