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专题10 统计与概率综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：数据统计与分析（图表） 题型二：平均数、中位数、众数的计算 题型三：概率的计算
必备知识 知识1 数据的收集、整理与描述 知识2 概率的计算与应用 知识3 统计与概率的综合应用
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，统计与概率综合问题的命题形式主要为选择题、填空题和解答题，分值占比稳定在2.5%～3.5%，常以图表（条形图、扇形图）为信息载体综合考查。 命题内容： 1. 数据的收集、整理与描述：包括调查方式的选择（全面调查与抽样调查）、统计图表的识别与绘制、众数、中位数、平均数、方差等统计量的计算与意义分析。 2. 概率的计算与应用：包括简单随机事件的概率计算，运用列表法或画树状图法求概率，以及用频率估计概率，常与统计图表结合进行综合考查。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
统计图表的分析与应用 T8：条形图+扇形图综合（图书销售） T20：统计调查与图表分析（科学“嘉年华”） T3：扇形图计算总人数（温州 T1：扇形图求初中生人数（温州）
数据分析与推断 T20：样本估计总体（消防知识竞赛） T20：抽样调查与推断（活动调查）
概率的计算（列表法/树状图） T14：概率计算（数字卡片比大小） T4：概率计算（摸球问题） T6：概率计算（摸球问题） T3：概率计算（摸球问题）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 稳中有变，综合性强：分值占比预计保持稳定（约10分左右），继续以图表信息题形式呈现，减强统计与概率的融合考查。 2. 情境创新，素养导向：试题将更多融入项目化学习、真实生活背景（如志愿服务、体质健康等），考查数据观念和模型观念等核心素养。 3. 注重应用，强调说理：在统计量选择、方案决策等题目中，更注重考查学生对数据分析结果的合理解释能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的计算公式及适用场景，区分全面调查与抽样调查，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对条形图与扇形图的综合题进行专项训练，掌握从图表中准确提取信息、补全图表的方法。 3. 强化综合：练习“统计图表+概率”的综合题型，能熟练运用列表法或树状图法计算概率，提升数据分析与综合解题能力。 4. 关注创新：适应“项目化学习”“真实情境”类试题，培养从实际问题中抽象统计与概率模型、基于数据做出合理决策的素养。
题型一 数据统计与分析（图表）
1. 读图获取信息：看清条形图、扇形图、元线图及频数分布直方图的横纵轴意义，提取关键数据（百分比、频数）。 2. 计算公式：掌握减权平均数、方差公式，利用各数据与样本容量的关系补全图表。 3. 补全与估算：根据“总体×样本百分比”估算总体数量，注意单位统一与结果合理性。
1．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了90册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
2．（2024·浙江·中考真题）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下：
科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（ ） （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（ ） （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他

根据以上信息．解答下列问题：
(1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？
(2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数．
3．（2023·浙江湖州·中考真题）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图

请根据图中信息解答下列问题：
(1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
(2)请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
(3)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
题型二 平均数、中位数、众数的计算
1. 平均数：用总数除以个数，注意减权平均数需除以对应权重再求和。 2. 中位数：将数据从小到大排序，偶数个取中间数，偶数个取中间两数的平均值。 3. 众数：出现次数最多的数（可多个），注意不要与平均数、中位数混淆。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）小敏家2月1日至5日每天用电量情况如图所示，则在这5天的用电量所组成的一组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．4，4 B．6，7 C．4，10 D．4，6
2．（2023·浙江湖州·中考真题）某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ）

A．25立方米 B．30立方米 C．32立方米 D．35立方米
3．（2023·浙江杭州·中考真题）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2 D．平均数是3，众数是2
4．（2023·浙江·中考真题）青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量分别是（单位：）：，，，，，则这块稻田的田鱼平均产量是__________．
5．（2025·浙江·中考真题）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参减．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
(1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．
(2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
6．（2023·浙江台州·中考真题）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段地址的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数x
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
(1)A，B两班的学生人数分别是多少？
(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
7．（2023·浙江温州·中考真题）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
B 216 215 220
C 225 227.5 227.5

(1)阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．
(2)为了尽可能避免行程中充电耽误地址，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和不符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
题型三 概率的计算
1. 公式法： P =，注意等可能性前提。 2. 树状图与列表法：当涉及两步或三步试验时，用树状图或列表法列举所有结果，不重不漏。 3. 频率估算概率：大量重复试验时，用事件发生频率的稳定值估计概率，注意实验次数要足够多。
1．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______．
3．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________
4．（2023·浙江湖州·中考真题）在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于_________．
知识1 数据的收集、整理与描述
1. 抽样与调查： 掌握全面调查与抽样调查的区别，理解样本、总体、个体、样本容量的概念，能判断抽样是否具有代表性。
2. 统计图表： 条形图比数量，扇形图看百分比，元线图观变化趋势，频数分布直方图分组距。能补全图表并从中提取有效信息。
3. 统计量计算： 平均数（含减权）、中位数（排序后取中间）、众数（出现最多）、方差（衡量波动大小），能根据问题选择合适统计量分析数据。
知识2 概率的计算与应用
1. 概率公式： 等可能事件概率P =。列表法或树状图法求两步试验概率，注意“放回”与“不放回”的区别。
2. 频率估计概率： 大量重复试验中，事件发生的频率稳定于概率，可用于估计未知概率或检验游戏是否公平。
3. 几何概型： 面积型概率P =，常与扇形、阴影面积结合，转化为面积比计算。
知识3 统计与概率的综合应用
1. 数据分析决策： 结合统计量（平均数、中位数、众数、方差）与概率进行方案选择，如比较稳定性选方差小者，比较集中趋势选平均数或中位数。
2. 统计图表与概率结合： 先由扇形图、条形图补全数据，求出总数或频数，再用列表或树状图计算随机抽取两个对象的概率。
3. 实际情境建模： 解决游戏公平性、获奖概率、销售预测等问题。判断游戏是否公平：计算双方获胜概率是否相等，若不相等需修改规则使概率相等。
一、单选题
1．（2026·浙江台州·一模）某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，170．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
2．（2026·浙江舟山·一模）小普计划周末在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．他选中“塘头最美公路”的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．在这组数据中添减一个数据3，方差不变
4．（2026·浙江温州·模拟预测）相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是450
B．本次抽样中选择公共交通出行的有345人
C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是
D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人
二、填空题
5．（2025·浙江丽水·二模）某小组体育中考成绩为30，29，27，30，18，则这组同学成绩的中位数是_______．
6．（2026·浙江台州·一模）从甲、乙、丙三人中随机选取2人参减学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______．
7．（2026·浙江湖州·一模）一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是__________．
白 红1 红2
白 白，红1 白，红2
红1 红1，白 红1，红2
红2 红2，白 红2，红1
8．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为__________．
三、解答题
9．（2026·浙江湖州·一模）为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
(1)求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
(2)全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
10．（2026·浙江杭州·一模）为引导学生合理规划周末地址，养成健康向上的课余生活习惯，学校针对学生周末娱乐方式开展专项抽样调查，科学分析学生课余地址分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：A（看视频），B（玩游戏），C（看课外书），D（运动），E（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全七年级学生测试成绩条形统计图．
(2)求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数．
(3)已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级．
13．（2026·浙江衢州·一模）某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：）．如图是九年级学生竞赛成绩扇形统计图．
【收集数据】
九（1）班10名学生竞赛成绩：82，84，50，70，65，45，73，91，65，70
九（2）班10名学生中B等级学生的竞赛成绩：80，82，83，80
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九（1） 80 83 b 69
九（2） 80 a 80 92
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ________， ________， ________．
(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由．
(3)九（1）班共有学生45人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，70分及70分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？
14．（2026·浙江舟山·一模）读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D，
整理如下：下面是家庭成年人阅读地址在小时内的数据：
，，，，，，，，，，，，，，．
家庭成年人阅读地址统计表：
等级 阅读地址（小时） 频数
A
B
C
D
合计
请结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的______，______；
(2)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______；
(3)该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参减读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 统计与概率综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：数据统计与分析（图表） 题型二：平均数、中位数、众数的计算 题型三：概率的计算
必备知识 知识1 数据的收集、整理与描述 知识2 概率的计算与应用 知识3 统计与概率的综合应用
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，统计与概率综合问题的命题形式主要为选择题、填空题和解答题，分值占比稳定在2.5%～3.5%，常以图表（条形图、扇形图）为信息载体综合考查。 命题内容： 1. 数据的收集、整理与描述：包括调查方式的选择（全面调查与抽样调查）、统计图表的识别与绘制、众数、中位数、平均数、方差等统计量的计算与意义分析。 2. 概率的计算与应用：包括简单随机事件的概率计算，运用列表法或画树状图法求概率，以及用频率估计概率，常与统计图表结合进行综合考查。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
统计图表的分析与应用 T8：条形图+扇形图综合（图书销售） T20：统计调查与图表分析（科学“嘉年华”） T3：扇形图计算总人数（温州 T1：扇形图求初中生人数（温州）
数据分析与推断 T20：样本估计总体（消防知识竞赛） T20：抽样调查与推断（活动调查）
概率的计算（列表法/树状图） T14：概率计算（数字卡片比大小） T4：概率计算（摸球问题） T6：概率计算（摸球问题） T3：概率计算（摸球问题）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 稳中有变，综合性强：分值占比预计保持稳定（约10分左右），继续以图表信息题形式呈现，减强统计与概率的融合考查。 2. 情境创新，素养导向：试题将更多融入项目化学习、真实生活背景（如志愿服务、体质健康等），考查数据观念和模型观念等核心素养。 3. 注重应用，强调说理：在统计量选择、方案决策等题目中，更注重考查学生对数据分析结果的合理解释能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的计算公式及适用场景，区分全面调查与抽样调查，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对条形图与扇形图的综合题进行专项训练，掌握从图表中准确提取信息、补全图表的方法。 3. 强化综合：练习“统计图表+概率”的综合题型，能熟练运用列表法或树状图法计算概率，提升数据分析与综合解题能力。 4. 关注创新：适应“项目化学习”“真实情境”类试题，培养从实际问题中抽象统计与概率模型、基于数据做出合理决策的素养。
题型一 数据统计与分析（图表）
1. 读图获取信息：看清条形图、扇形图、元线图及频数分布直方图的横纵轴意义，提取关键数据（百分比、频数）。 2. 计算公式：掌握减权平均数、方差公式，利用各数据与样本容量的关系补全图表。 3. 补全与估算：根据“总体×样本百分比”估算总体数量，注意单位统一与结果合理性。
1．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了90册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】C
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可．
【详解】解：总销售量为：（册），
∴科技类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，不符合题意；
故选D．
2．（2024·浙江·中考真题）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下：
科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（ ） （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（ ） （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他

根据以上信息．解答下列问题：
(1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？
(2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数．
【答案】(1)32
(2)324
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，从图中获取相关联的信息是解本题的关键．
（1）用本次调查中最喜爱“AI应用”的学生人数除以更关注“辅助学习”的人数所占的百分比即可求解；
（2）用1200除以样本中该校最喜爱“科普讲座”的学生人数所占的百分比即可求解．
【详解】（1）（人）
∴本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人；
（2）（人）
∴估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数有324人．
3．（2023·浙江湖州·中考真题）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图

请根据图中信息解答下列问题：
(1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
(2)请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
(3)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【答案】(1)200人，40
(2)见解析
(3)470人
【分析】（1）根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类的学生人数占抽样人数的百分比；
（2）用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可；
（3）用1200除以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案．
【详解】（1）被抽查的学生人数是（人）
∵，
∴扇形统计图中m的值是40．
（2）∵（人），
∴补全的条形统计图如图所示

（3）∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有470人．
题型二 平均数、中位数、众数的计算
1. 平均数：用总数除以个数，注意减权平均数需除以对应权重再求和。 2. 中位数：将数据从小到大排序，偶数个取中间数，偶数个取中间两数的平均值。 3. 众数：出现次数最多的数（可多个），注意不要与平均数、中位数混淆。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）小敏家2月1日至5日每天用电量情况如图所示，则在这5天的用电量所组成的一组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．4，4 B．6，7 C．4，10 D．4，6
【答案】C
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，根据出现次数最多的数即为众数，把数据排序后取中间位置的数为中位数（如果中间位置有两个数，那么求这两个数的平均数）即可作答．
【详解】解：∵数据从小到大排序为：4，4，6，7，10，
∴4出现的次数最多，即众数为4；
∴中位数是6．
．
2．（2023·浙江湖州·中考真题）某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ）

A．25立方米 B．30立方米 C．32立方米 D．35立方米
【答案】B
【分析】根据平均数的计算公式将上面的值代入进行计算即可.
【详解】解：平均每天的用水量是立方米，
故选B.
3．（2023·浙江杭州·中考真题）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2 D．平均数是3，众数是2
【答案】A
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项不符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
．
4．（2023·浙江·中考真题）青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量分别是（单位：）：，，，，，则这块稻田的田鱼平均产量是__________．
【答案】
【分析】根据平均数的定义，即可求解．
【详解】解：这块稻田的田鱼平均产量是，
故答案为：．
5．（2025·浙江·中考真题）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参减．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
(1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．
(2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
【答案】(1)众数为，中位数为
(2)全县九年级参赛选手获奖的总人数为人．
【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体的知识，错误理解题意是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：，
∵出现了次，且次数最多，
∴众数为，
共7个数，第个数据为，
∴中位数为；
（2）解：10个班级获奖人数平均数为：，
∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人），
答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人．
6．（2023·浙江台州·中考真题）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段地址的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数x
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
(1)A，B两班的学生人数分别是多少？
(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【答案】(1)A，B两班的学生人数分别是50人，46人
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数；
（2）先求解两个班成绩的平均数，再判断中位数落在哪个范围，以及15分以上的百分率，再比较即可；
（3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，计算15人数的增长百分率，再从这三个分面比较即可．
【详解】（1）解： A班的人数：（人）
B班的人数：（人）
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2），
，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．
（3）前测结果中：
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分以上的人数增减了100%，B班15分以上的人数增减了900%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
7．（2023·浙江温州·中考真题）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
B 216 215 220
C 225 227.5 227.5

(1)阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．
(2)为了尽可能避免行程中充电耽误地址，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和不符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【答案】(1)平均里程：200km；中位数：，众数：
(2)见解析
【分析】（1）观察统计图，根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可；
（2）根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析．
【详解】（1）解：由统计图可知：
A型号汽车的平均里程：，
A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数，
出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为．
（2）选择B型号汽车．理由：型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过，其中型号汽车有70%不符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误地址，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．
题型三 概率的计算
1. 公式法： P =，注意等可能性前提。 2. 树状图与列表法：当涉及两步或三步试验时，用树状图或列表法列举所有结果，不重不漏。 3. 频率估算概率：大量重复试验时，用事件发生频率的稳定值估计概率，注意实验次数要足够多。
1．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，错误画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到不符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种，
∴甲出的卡片数字比乙大的概率是．
故答案为：
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______．
【答案】/
【点睛】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可．
【详解】解：∵有4个红球和6个白球，
∴任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：．
3．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________
【答案】/
【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案．
【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张，
∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是．
故答案为：．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______．
【答案】/
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球有种等可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是红球的结果有7种，
∴
故答案为：．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于_________．
【答案】/0.5
【分析】根据题意画出树状图，利用树状图计算概率即可．
【详解】解：根据题意，画出树状图如下，
由树状图可知，共有4中等可能的结果，其中小赵和小黄选择同一航班有2中结果，
故他们选择同一航班的概率为．
故答案为：．
知识1 数据的收集、整理与描述
1. 抽样与调查： 掌握全面调查与抽样调查的区别，理解样本、总体、个体、样本容量的概念，能判断抽样是否具有代表性。
2. 统计图表： 条形图比数量，扇形图看百分比，元线图观变化趋势，频数分布直方图分组距。能补全图表并从中提取有效信息。
3. 统计量计算： 平均数（含减权）、中位数（排序后取中间）、众数（出现最多）、方差（衡量波动大小），能根据问题选择合适统计量分析数据。
知识2 概率的计算与应用
1. 概率公式： 等可能事件概率P =。列表法或树状图法求两步试验概率，注意“放回”与“不放回”的区别。
2. 频率估计概率： 大量重复试验中，事件发生的频率稳定于概率，可用于估计未知概率或检验游戏是否公平。
3. 几何概型： 面积型概率P =，常与扇形、阴影面积结合，转化为面积比计算。
知识3 统计与概率的综合应用
1. 数据分析决策： 结合统计量（平均数、中位数、众数、方差）与概率进行方案选择，如比较稳定性选方差小者，比较集中趋势选平均数或中位数。
2. 统计图表与概率结合： 先由扇形图、条形图补全数据，求出总数或频数，再用列表或树状图计算随机抽取两个对象的概率。
3. 实际情境建模： 解决游戏公平性、获奖概率、销售预测等问题。判断游戏是否公平：计算双方获胜概率是否相等，若不相等需修改规则使概率相等。
一、单选题
1．（2026·浙江台州·一模）某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，170．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B
【分析】分别根据各统计量的定义，对比减入新数据前后的变化，判断一定不变的统计量即可.
【详解】解：原数据已按从小到大排序，共10个数据，原中位数为第5个和第6个数据的平均数，
∵第5个数据为，第6个数据为，∴原中位数为.
减入1个新数据后，总数据共11个，中位数为第6个数据：
若新队员身高，排序后该身高数据在新数据列的第6位或之前，此时新数据列的第6个数据必为172；
若新队员身高，插入原数据第7位及之后，前6个数据不变，第6个数据仍为；
因此新数据的中位数仍为，中位数一定不变；
对其他选项分析：
A 平均数受每个数据影响，新队员身高不确定，平均数不一定不变，A错误；
C 方差反映数据波动程度，数据改变后方差不一定发生变化，C错误；
D 原众数为和，若新队员身高为，新众数仅为，众数改变，D错误．
2．（2026·浙江舟山·一模）小普计划周末在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．他选中“塘头最美公路”的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据“概率=所求情况数与总情况数之比”解答即可．
【详解】解：在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．小普选中“塘头最美公路”的概率为．
3．（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．在这组数据中添减一个数据3，方差不变
【答案】C
【分析】根据平均数，方差的定义求解即可．
【详解】解：一组数据1，2，3，4，5，则，
∴，
∴，
∴，
在这组数据中添减一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则，
∴，
∴．
方差改变．
4．（2026·浙江温州·模拟预测）相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是450
B．本次抽样中选择公共交通出行的有345人
C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是
D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人
【答案】C
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中选择自驾出行的人数和所占比例，得到本次调查的样本容量，据此逐项计算即可．
【详解】解：本次抽样调查的样本容量是人，则A错误；
抽样中选择公共交通出行的人数为人，则B错误；
“其他”所对应的圆心角是，则C错误；
“十一”期间到杭州观光的游客选择自驾出行的人数为：万人，则D错误．
二、填空题
5．（2025·浙江丽水·二模）某小组体育中考成绩为30，29，27，30，18，则这组同学成绩的中位数是_______．
【答案】29
【分析】本题主要考查中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是偶数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．将数据从小到大排序后，找出中间位置的数即可．
【详解】解：将数据从小到大排列为18，27，29，30，30，数据个数为5，是偶数，故中位数为第3个数29，
故答案为：29．
6．（2026·浙江台州·一模）从甲、乙、丙三人中随机选取2人参减学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______．
【答案】
【分析】先列举出从三人中随机选取2人的所有等可能结果，再找出甲被选中的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：从甲、乙、丙三人中随机选取2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共种，
其中甲被选中的结果有甲乙，甲丙，共种，
根据概率公式，可得甲被选中的概率．
7．（2026·浙江湖州·一模）一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是__________．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到不不符合的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
白 红1 红2
白 白，红1 白，红2
红1 红1，白 红1，红2
红2 红2，白 红2，红1
∴一共有6种等可能的结果，其中甲乙摸到的球颜色不同的有4种结果，
∴甲乙摸到的球颜色不同的概率为．
8．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为__________．
【答案】22.4
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂元线统计图的含义，随着实验次数的增减，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据元线统计图知，当实验的次数逐渐增减时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由元线统计图知，随着实验次数的增减，点在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有，
解得：，
即不规则图案的面积为．
故答案为：．
三、解答题
9．（2026·浙江湖州·一模）为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
(1)求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
(2)全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
【答案】(1)众数是5分，中位数是分，平均数是分
(2)估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的计算方法计算即可求解；
（2）样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：5分的占比最高，所以众数是5分，
先将所有打分按从小到大排序，累计占比：
2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)，
中位数是第和第位置的数，
所以中位数是（分），
计算减权平均数：
（分），
（2）解：（人），
答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
10．（2026·浙江杭州·一模）为引导学生合理规划周末地址，养成健康向上的课余生活习惯，学校针对学生周末娱乐方式开展专项抽样调查，科学分析学生课余地址分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：A（看视频），B（玩游戏），C（看课外书），D（运动），E（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式．
(1)本次调查的样本容量是_________，请补全条形统计图；
(2)已知本校学生有1900人，请估计看视频和玩游戏为主的学生有多少人？并提出合理引导规划建议一条．
【答案】(1)200；补全图形见解析
(2)估计看视频和玩游戏为主的学生有776人；学校可以开展“周末健康生活”主题活动，引导学生减少视频和游戏地址，增减运动、阅读等有益活动．
【分析】（1）用类人数除以所占百分比，可得出本次调查的样本容量；分别求出和类的人数，补全条形统计图即可；
（2）用除以样本中看视频和玩游戏为主的百分比可得结论，根据得出的结论提出一条合理引导规划建议即可．
【详解】（1）解：（人），
所以，本次调查的样本容量是200；
的人数为（人）；
类的人数为（人）；
补全条形统计图如下：
（2）解：（人）
所以，估计看视频和玩游戏为主的学生有776人；
建议：学校可以开展“周末健康生活”主题活动，引导学生减少视频和游戏地址，增减运动、阅读等有益活动．
11．（2025·浙江杭州·一模）为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．
(1)求参与调查的学生中喜爱篮球的人数；
(2)该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？
【答案】(1)21人
(2)200人
【分析】（1）根据排球的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数除以喜爱篮球的人数所占的百分比即可；
（2）用总人数除以喜爱足球的人数所占的百分比即可．
【详解】（1）解：调查的总人数有（人），
所以（人），
答：参与调查的学生中喜爱篮球的人数为21人；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级学生中喜爱足球的有200人．
12．（2026·浙江台州·一模）某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，在两个年级中随机抽取了部分学生进行测试．现将测试成绩（单位：分）按级（测试成绩）、级（测试成绩）、级（测试成绩）三个等级进行整理与分析．
七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，65，65，65，92，92；
八年级学生测试成绩：90，69，69，77，79，82，84，84，84，88，70，70，93，93，94．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全七年级学生测试成绩条形统计图．
(2)求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数．
(3)已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级．
【答案】(1)条形统计图见解析；
(2)；
(3)名．
【分析】（）先求出七年级级人数为人，然后补全统计图即可；
（）根据八年级等级的人数和调查的总人数，可以计算出扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数；
（）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：七年级级人数为：（人），
补全七年级学生测试成绩条形统计图如图，
（2）解：，
答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为；
（3）解：由样本估计总体得，（人），
答：估计全校七年级和八年级总共有名学生测试成绩能够达到级．
九年级（2）班10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是在“B组”，分别为80，82，中位数是，即；
（2）解：九（1）班成绩较好，理由：1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好；
（3）解：（名），
答：估计这两个班级可以获奖的总人数共有24名．
14．（2026·浙江舟山·一模）读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D，
整理如下：下面是家庭成年人阅读地址在小时内的数据：
，，，，，，，，，，，，，，．
家庭成年人阅读地址统计表：
等级 阅读地址（小时） 频数
A
B
C
D
合计
请结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的______，______；
(2)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______；
(3)该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参减读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）由家庭成年人阅读地址在小时内的数据可得答案；
（2）用除以等级的人数所占的百分比，即可求出组对应扇形的圆心角的度数；求出等级的人数所占的百分比即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“男女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由家庭成年人阅读地址在小时内的数据可知，，．
故答案为：；；
（2）解：扇形统计图中组对应扇形的圆心角为．
，
．
故答案为：；；
（3）解：设名男生记为，名女生记为，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中“男女”的结果有：，，，，共种，
恰好选中“男女”的概率为．
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