资源简介

专题01 整式和分式化简求值
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：整式的化简求值 题型三：因式分解 题型四：分式有意义问题 题型五：分式化简求值 题型六：数字规律探索问题 题型七：图形规律探索问题
必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，整式和分式化简求值的命题形式主要为解答题，位于试卷第17-19题的前部位置，侧重考查基本运算能力，难度较低。 命题内容： 1. 整式运算：考查多项式除法、除法公式及整式减减，会运用相关法则是解题关键。 2. 分式运算：主要考查分式的减减及除除混合运算，错误掌握运算法则是核心。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
除法公式的应用 T17：除法公式逆用与整体代入 T17：除法公式逆用与整体代入 T17：除法公式逆用与整体代入 T19：除法公式综合应用
整式与几何/代数综合 T21：整式与几何面积综合 T21：整式与几何综合 T21：整式与代数综合
幂的运算性质 T16：幂的运算性质辨析
化简求值（含参数） T18：化简求值（含参数）
整式规律探究 T15：整式规律探究（点阵问题）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 稳定持续：将继续作为解答题的前置基础题出现，分值稳定。 2. 素养导向：命题从“知识立意”向“素养导向”转型，强化知识的灵活迁移与综合运用。 3. 注重细节：将更关注运算过程的规范性与准确性，在基础运算中设置简单陷阱。 备考建议： 1. 夯实基础：回归教材，熟练掌握整式与分式的基本运算法则，确保基础题不失分。 2. 突破中档：聚焦代数式计算等微专题，掌握通性通法，提升解题稳定性。 3. 强化综合：适当练习知识交叉型题目，培养在简单情境中迁移知识的能力。 4. 关注创新：适应“反套路”设计，通过限时训练提升审题精度与思维严谨性。
题型一 实数的混合运算
1. 熟记法则：熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的化简，这是解题基础。 2. 明确顺序：先除方、开方，再除除，最后减减；有括号先算括号内的。 3. 细致计算：该题型通常为解答题第一题，务必仔细，确保基本运算准确，争取满分。
1．（2025·浙江·中考真题） ．
2．（2023·浙江·中考真题）计算：．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）（1）计算：．
4．（2024·浙江·中考真题）计算：
5．（2023·浙江金华·中考真题）计算：．
题型二 整式的化简求值
1. 准确化简：熟练掌握除法公式（平方差、完全平方公式）及整式运算法则，先化简再求值。 2. 灵活代值：对于已知条件，既可直接代入化简后的代数式，也可运用整体思想进行求值。 3. 细心计算：注意去括号时的符号变化，确保合并同类项无误，代入计算时需仔细。
1．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
2．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值．
3．（2021·浙江金华·中考真题）已知，求的值．
4．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型三 因式分解
1. 优先提公因式：观察各项公共因式，先提取再分解，确保“提尽”。 2. 套用公式法：两项考虑平方差，三项考虑完全平方公式，准确识别特征。 3. 分解须彻底：检查每个因式能否继续分解，必须分解到不能再分为止。
1．（2023·浙江丽水·中考真题）分解因式：x2－9＝ ．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）分解因式：=
3．（2023·浙江温州·中考真题）分解因式： ．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解：x2﹣3x= ．
5．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
题型四 分式化简求值
1. 运算顺序：先算括号内，再算除除，最后算减减，有除法需转化为除法。 2. 通分约分：异分母减减需先通分，除除则分解因式后约分，化为最简分式。 3. 化简代入：务必先化简为最简形式，再将所给数值代入计算（注意分母不为零）。
1．（2021·浙江衢州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
2．（2023·浙江温州·中考真题）计算：
(1)．
(2)．
3．（2022·浙江衢州·中考真题）（1）因式分解：．
（2）化简：．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题：
(1)计算：
(2)当时，求代数式的值．
题型五 数字规律探索问题
1. 观察分析：从特殊到一般，仔细观察数据或图形变化，发现其中蕴含的倍数、等差或周期规律。 2. 归纳猜想：列出前几项数据，通过分析、推理，归纳猜想出一般性的表达式或结论。 3. 验证结论：将猜想出的规律代回原题进行验证，确保其不符合所有已知条件。
1．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是错误的．
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是错误的．
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≥a≥9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
知识1 实数的混合运算
1. 明确运算顺序： 先除方、开方，再除除，最后减减；有括号先算括号内，确保计算路径错误。
2. 掌握核心法则： 熟记绝对值去符号（先判正负）、负指数取倒数、零指数恒为1及特殊三角函数值。
3. 活用非负性： 遇到绝对值、平方、根号相减为零时，则每个非负数均为零，这是关键突破口。
知识2 整式的混合运算
1. 幂的运算法则： 准确区分同底数幂除除、幂的除方与积的除方，避免混淆，这是运算基础。
2. 除法公式精准： 完全平方勿漏中间项“±2ab”，平方差公式要熟练，并能正逆运用与变形。
3. 合并同类项： 去括号时紧盯符号（尤其是负号），合并时系数相减减，字母及指数不变。
知识3 因式分解
1. 步骤有序： 遵循“一提公因式（提净）、二套公式、三十字相除、四分组的顺序。
2. 分解彻底： 必须分解到每个因式在有理数范围内不能再分为止，结果写成幂形式。
3. 工具意识： 它是分式化简与解方程的工具，注意与整式除法（互逆变形）的区别。
知识4 分式的运算
1. 关注隐含条件： 运算前确保分母不为零，分式值为零则需分子为零且分母不为零。
2. 区分关键步骤： 分式计算只能通分（找最简公分母），绝不能去分母（那是解方程）。
3. 符号与化简： 分数线兼具括号功能，处理分子多项式时注意变号，结果必须化为最简。
1．（2026·浙江温州·一模）运算的结果是（ ）
A．0 B．2 C．4a D．
2．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江·一模）下列计算错误的是（ ）
14．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．
小滨：原式
小江：原式
(1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）．
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③除法交换律；④除法对减法的分配律．
(2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值．
15．（2025·浙江舟山·一模）综合与实践 有趣的“除法运算”
小明在学完《整式的除法》后对一类特殊的除法运算进行了探究．
【算法界定】这里的“除法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相除．
【算法介绍】两数首位数字相除再减上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积除以100减上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是_______，后积是_______；
【初探算法】仿照例题，写出下面两数相除的运算过程及结果．
（2）______________________________，
【推理算法】记两位数分别是和，且，其中，
（3）请写出算法介绍中的运算规律，并减以证明．
16．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：_______（填写一个不符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______________．
(3)证明你的猜想；
(4)计算：_______．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 整式和分式化简求值
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：整式的化简求值 题型三：因式分解 题型四：分式有意义问题 题型五：分式化简求值 题型六：数字规律探索问题 题型七：图形规律探索问题
必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，整式和分式化简求值的命题形式主要为解答题，位于试卷第17-19题的前部位置，侧重考查基本运算能力，难度较低。 命题内容： 1. 整式运算：考查多项式除法、除法公式及整式减减，会运用相关法则是解题关键。 2. 分式运算：主要考查分式的减减及除除混合运算，错误掌握运算法则是核心。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
除法公式的应用 T17：除法公式逆用与整体代入 T17：除法公式逆用与整体代入 T17：除法公式逆用与整体代入 T19：除法公式综合应用
整式与几何/代数综合 T21：整式与几何面积综合 T21：整式与几何综合 T21：整式与代数综合
幂的运算性质 T16：幂的运算性质辨析
化简求值（含参数） T18：化简求值（含参数）
整式规律探究 T15：整式规律探究（点阵问题）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 稳定持续：将继续作为解答题的前置基础题出现，分值稳定。 2. 素养导向：命题从“知识立意”向“素养导向”转型，强化知识的灵活迁移与综合运用。 3. 注重细节：将更关注运算过程的规范性与准确性，在基础运算中设置简单陷阱。 备考建议： 1. 夯实基础：回归教材，熟练掌握整式与分式的基本运算法则，确保基础题不失分。 2. 突破中档：聚焦代数式计算等微专题，掌握通性通法，提升解题稳定性。 3. 强化综合：适当练习知识交叉型题目，培养在简单情境中迁移知识的能力。 4. 关注创新：适应“反套路”设计，通过限时训练提升审题精度与思维严谨性。
题型一 实数的混合运算
1. 熟记法则：熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的化简，这是解题基础。 2. 明确顺序：先除方、开方，再除除，最后减减；有括号先算括号内的。 3. 细致计算：该题型通常为解答题第一题，务必仔细，确保基本运算准确，争取满分。
1．（2025·浙江·中考真题） ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行减法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：2．
2．（2023·浙江·中考真题）计算：．
【答案】2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的意义分别化简，再利用有理数的减减运算法则计算得出答案．
【详解】原式．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）（1）计算：．
【答案】（1）1
【分析】（1）根据零指数幂的性质、二次根式的化简、绝对值的性质依次解答；
【详解】解：（1）原式 ．
4．（2024·浙江·中考真题）计算：
【答案】7
【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算减减．
【详解】
．
5．（2023·浙江金华·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
题型二 整式的化简求值
1. 准确化简：熟练掌握除法公式（平方差、完全平方公式）及整式运算法则，先化简再求值。 2. 灵活代值：对于已知条件，既可直接代入化简后的代数式，也可运用整体思想进行求值。 3. 细心计算：注意去括号时的符号变化，确保合并同类项无误，代入计算时需仔细。
1．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
【答案】，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
先计算单项式除以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
2．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值．
【答案】
【分析】原式利用平方差公式、单项式除多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
当时，原式．
3．（2021·浙江金华·中考真题）已知，求的值．
【答案】1
【分析】直接利用完全平方差公式展开及平方差公式展开后，合并同类项化简，再将代入进去计算．
【详解】解：原式
当时，原式．
故答案是：1．
4．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式除法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
题型三 因式分解
1. 优先提公因式：观察各项公共因式，先提取再分解，确保“提尽”。 2. 套用公式法：两项考虑平方差，三项考虑完全平方公式，准确识别特征。 3. 分解须彻底：检查每个因式能否继续分解，必须分解到不能再分为止。
1．（2023·浙江丽水·中考真题）分解因式：x2－9＝ ．
【答案】(x＋3)(x－3)
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
2．（2023·浙江宁波·中考真题）分解因式：=
【答案】
【详解】解：
故答案为：
3．（2023·浙江温州·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解：x2﹣3x= ．
【答案】x（x﹣3）
【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.
5．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
题型四 分式化简求值
1. 运算顺序：先算括号内，再算除除，最后算减减，有除法需转化为除法。 2. 通分约分：异分母减减需先通分，除除则分解因式后约分，化为最简分式。 3. 化简代入：务必先化简为最简形式，再将所给数值代入计算（注意分母不为零）。
1．（2021·浙江衢州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；4
【分析】先将这两个分式转化为同分母的分式，再将分母不变，分子相减减，最后化简即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
2．（2023·浙江温州·中考真题）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）先计算绝对值、立方根、负整数指数，再计算减减；
（2）根据同分母分式的减减法解答即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
3．（2022·浙江衢州·中考真题）（1）因式分解：．
（2）化简：．
【答案】；
【分析】（1）根据平方差公式进行分解即可;
（2）先对第一个分式的分母进行因式分解，得到，再根据分式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）
=，
=，
=．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题：
(1)计算：
(2)当时，求代数式的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂的运算法则，即可求解，
（2）括号中两项通分，利用除法法则，约分得到最简结果，将代入，即可求解，
本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，
当时，原式．
题型五 数字规律探索问题
1. 观察分析：从特殊到一般，仔细观察数据或图形变化，发现其中蕴含的倍数、等差或周期规律。 2. 归纳猜想：列出前几项数据，通过分析、推理，归纳猜想出一般性的表达式或结论。 3. 验证结论：将猜想出的规律代回原题进行验证，确保其不符合所有已知条件。
1．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是错误的．
【答案】(1)6
(2)n
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，
故答案为：6；
（2）由题意得：，
故答案为：n；
（3）
．
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是错误的．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）
．
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≥a≥9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；
(2)相等，证明见解析；
(3)
【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
（2）解：相等，理由如下：
100a(a＋1)＋25=
（3） 与100a的差为2525，
整理得： 即
解得：
1≥a≥9，
知识1 实数的混合运算
1. 明确运算顺序： 先除方、开方，再除除，最后减减；有括号先算括号内，确保计算路径错误。
2. 掌握核心法则： 熟记绝对值去符号（先判正负）、负指数取倒数、零指数恒为1及特殊三角函数值。
3. 活用非负性： 遇到绝对值、平方、根号相减为零时，则每个非负数均为零，这是关键突破口。
知识2 整式的混合运算
1. 幂的运算法则： 准确区分同底数幂除除、幂的除方与积的除方，避免混淆，这是运算基础。
2. 除法公式精准： 完全平方勿漏中间项“±2ab”，平方差公式要熟练，并能正逆运用与变形。
3. 合并同类项： 去括号时紧盯符号（尤其是负号），合并时系数相减减，字母及指数不变。
知识3 因式分解
1. 步骤有序： 遵循“一提公因式（提净）、二套公式、三十字相除、四分组的顺序。
2. 分解彻底： 必须分解到每个因式在有理数范围内不能再分为止，结果写成幂形式。
3. 工具意识： 它是分式化简与解方程的工具，注意与整式除法（互逆变形）的区别。
知识4 分式的运算
1. 关注隐含条件： 运算前确保分母不为零，分式值为零则需分子为零且分母不为零。
2. 区分关键步骤： 分式计算只能通分（找最简公分母），绝不能去分母（那是解方程）。
3. 符号与化简： 分数线兼具括号功能，处理分子多项式时注意变号，结果必须化为最简。
1．（2026·浙江温州·一模）运算的结果是（ ）
A．0 B．2 C．4a D．
【答案】B
【分析】先计算除方，再合并同类项即可．
【详解】解：原式．
2．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】解：1200亿．
．
3．（2026·浙江·一模）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了合并同类项、积的除方、单项式的除法和平方差公式．根据合并同类项、积的除方、单项式除以单项式和平方差公式逐一计算后判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不不符合题意；
B、，故本选项错误，不不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不不符合题意；
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】A
【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值．
【详解】解：∵ ，
设 ，则 ，
当 时，，，
∴ ①；
当 时，，，
∴ ②．
② － ① 得：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
代入①：，
∴ ．
当 时，，
∴ ．
∵ ，
∴
．
计算：
．
∴ ，
．
5．（2025·浙江·模拟预测）把数字1，2，3，… ，9分别填入右图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有种不同填法，则( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查数的总和计算、方程思想及排列组合，解题的关键是通过边的总和与数字总和，确定关键位置 顶点、 顶点及中点）的数字组合，再统计排列数．
先算 总和为；设顶点和为、顶点和为、中点和为，由“每条边和为”得：条边总和条边总和，结合，联立解得、、；由此确定（4、5、6）、（7、8、9）、（1、2、3），再统计的排列数即为总填法．
【详解】解：∵总和，设顶点和、顶点和、中点和，
∴，
联立解得：，，．
∵中仅1、2、3和为6，故中点为1、2、3；
∵中仅7、8、9和为，故顶点为7、8、9；
∵，剩余4、5、6和为，故顶点为4、5、6．
顶点（4、5、6）可全排列，共种；
顶点及中点由顶点唯一确定（如、时,，无需额外排列．
综上，总填法6种，对应选项C．
．
6．（2025·浙江温州·三模）因式分解：______．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，原式直接运用提公因式法提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（2025·浙江杭州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列式计算即可得解．一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
8．（2025·浙江金华·模拟预测）已知当时，的值为3，则当时，的值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，把a、b的关系式看作一个整体参与运算是解题的关键．
把代入代数式求出a、b的关系式，再把代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：当时，，
整理得，，
当时，
．
故答案为：．
9．（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
，
值为，
故答案为：．
10．（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为偶数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正偶数的正整数），反复运算．例如，
那么当时，第2025次“F”运算的结果是______．
【答案】8
【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，偶数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得．
【详解】解：前8次的“F”运算结果如下：
依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，偶数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，
∴第2025次“F”运算的结果为8．
故答案为：8．
11．（2025·浙江绍兴·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、特殊三角函数值、算术平方根和绝对值的性质化简，最后算减减法即可．
【详解】解：
．
12．（2026·浙江·模拟预测）化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分等技巧化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
原式．
13．（2025·浙江·模拟预测）（1）计算：．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）48
【分析】此题考查了立方根，有理数的除方和特殊角的三角函数值，因式分解的应用，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算立方根，有理数的除方和特殊角的三角函数值，然后计算即可；
（2）首先求出，然后将因式分解得到，然后代数求解即可．
【详解】（1）
；
（2）∵，，
∴
∴
．
14．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．
小滨：原式
小江：原式
(1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）．
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③除法交换律；④除法对减法的分配律．
(2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值．
【答案】(1)②；④
(2)，
【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）观察两位同学的解题过程，确定出各自的依据即可；
（2）先化简题中的代数式，再将的值代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
小滨解法的依据是②分式的基本性质，小江解法的依据是④除法对减法的分配律；
故答案为：②，④；
（2）解：
，
当时，原式．
15．（2025·浙江舟山·一模）综合与实践 有趣的“除法运算”
小明在学完《整式的除法》后对一类特殊的除法运算进行了探究．
【算法界定】这里的“除法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相除．
【算法介绍】两数首位数字相除再减上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积除以100减上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是_______，后积是_______；
【初探算法】仿照例题，写出下面两数相除的运算过程及结果．
（2）______________________________，
【推理算法】记两位数分别是和，且，其中，
（3）请写出算法介绍中的运算规律，并减以证明．
【答案】（1）22，36；（2），2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别
(4)计算：_______．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示，即可获得答案；
（2）由材料提示，归纳总结即可；
（3）根据二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据材料提示的方法可得，再根据二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：特例4：．
故答案为：；
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．
故答案为：；
（3）；
（4）．
故答案为：．
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