资源简介

专题02 方程（组）与不等式（组）
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：解一次方程（组） 题型二：解分式方程 题型三：解不等式组 题型四：一元二次方程根的情况与系数的关系 题型五：二元一次方程组的应用 题型六：一元二次方程的应用 题型七：分式方程的应用
必备知识 知识1 二元一次方程组 知识2 一元二次方程 知识3 分式方程 知识4 不等式与不等式组
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，方程（组）与不等式（组）的命题形式主要为选择题和解答题，兼顾基础运算与实际应用，位置分布较广。 命题内容： 1. 解法与性质：考查方程（组）、不等式（组）的解法及等式、不等式的基本性质。 2. 实际应用：结合生活情境考查方程（组）、不等式（组）的建模能力，常以选择题或解答题形式呈现。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
二元一次方程组（解法、应用、参数） T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T18：含参数量方程的解法 T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T18：含有参数的方程组的解法 T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T18：含参数量方程的解法 T19：二元一次方程组解法 T17：二元一次方程组的参数问题
二元一次不等式（组）（解法、整数解、应用） T23：不等式组的整数解与参数
T21：方案设计问题（购物） T23：不等式组的整数解与参数
T21：方案设计问题（购物） T23：不等式组的整数解与参数
T21：方案设计问题（购物） T20：不等式组解法与数轴表示 T19：整数解个数问题
方程与不等式综合应用 T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T24：一元二次方程与不等式综合 T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T24：一元二次方程与不等式综合 T25：方程+不等式+一次函数综合
T24：一元二次方程与不等式综合 T22：生产减工方案
T25：分式方程与不等式综合
T23：方程组+不等式+函数 T23：租车方案与最值
T24：方案设计与最值（利润问题）
T25：综合建模
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 稳定延续：将继续考查解法与应用，分值保持稳定。 2. 情境创新：命题将融入更多现实情境与项目化学习元素，强化建模能力。 3. 综合考查：可能在一道题中综合方程与不等式，考查综合应用能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握各类方程（组）与不等式（组）的基本解法，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对实际应用题型进行专题训练，掌握常见等量关系的建模方法。 3. 强化综合：适当练习方程与不等式综合题型，提升综合解题能力。 4. 关注创新：适应项目化试题与情境创新，培养从实际问题中抽象数学模型的能力。
题型一 解一次方程（组）
1. 代入消元：当某个未知数系数为±1时，将其变形代入另一方程实现消元。 2. 减减消元：当同一未知数系数相等或相反时，直接相减或相减消元；系数成倍数时先转化再减减。 3. 灵活选择：根据方程特征选择最优解法，核心思想是“消元”，将二元转化为一元求解。
1．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可.
【详解】解：
①×3＋②得，
解得，
把代入①得，
解得
∴
2．（2023·浙江台州·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】把两个方程相减消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可．
【详解】解：
①+②，得．
∴．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
3．（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】用减减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】．
解：，得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：， ……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】此题考查了解二元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解
（1）根据等式的性质，解二元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
（2）解：，
去分母，得，，
移项，得：，
合并同类页，得：，
解得：．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)划线见解析
(2)，过程见解析
【分析】（1）根据解二元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解二元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解：，
，
，
，
．
题型二 解分式方程
1. 化整求解：方程两边同除最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解。 2. 分解约分：分母是多项式的先因式分解，再确定最简公分母，便于约分。 3. 必验根：解必须代入最简公分母检验，使分母为零的根是增根，需舍去。
1．（2024·浙江·中考真题）若，则__________
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是________．
【答案】
【分析】先去分母，左右两边同时除以，再根据解二元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
化系数为1，得：．
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
3．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时除以得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
4．（2021·浙江·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】先将分式方程化成整式方程，然后求解，最后检验即可．
【详解】解：
．
．
经检验，是原方程的解．
5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否错误？若错误，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否错误，再错误解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得，
去括号，得，
解得，，
经检验：是方程的解．
题型三 解不等式组
1. 分别求解：先对组内各个不等式进行单独求解，得出每个不等式的解集。 2. 借助数轴：将每个解集在数轴上表示出来，利用数轴直观确定公共部分。 3. 口诀定解：根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找”的口诀，确定最终解集。
1．（2025·浙江·中考真题）不等式组的解集是________．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次不等式组的解集．熟练掌握解二元一次不等式组的解集是解题的关键．
先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
∴原不等式组的解集为：，
故答案为：．
2．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是___________．
【答案】/
【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解不等式组：
解：由①得，；
由②得，
所以，．
故答案为：．
3．（2023·浙江湖州·中考真题）解二元一次不等式组
【答案】
【分析】根据不等式的性质，分别解二元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
4．（2022·浙江湖州·中考真题）解二元一次不等式组
【答案】
【分析】分别解出不等式①和②，再求两不等式解的公共部分，即可．
【详解】解不等式①：
解不等式②：
∴原不等式组的解是
5．（2021·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解不等式组
的解答过程．
解：由①，得，
所以．
由②，得，
所以，
所以．
所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出错误的解答过程．
【答案】有错误，错误的过程见解析
【分析】利用二元一次不等式的性质、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解题．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，
错误的解答过程如下：
由①，得，
所以，
所以；
由②，得，
所以，
所以，
所以，
将不等式组的解集表示在数轴上：
所以原不等式组的解是．
题型四 一元二次方程根的情况与系数的关系
1. 判别式定根况：先计算Δ=b -4ac，根据Δ>0、=0或<0判断根的情况。 2. 韦达定理求积和：若方程有根，则x +x =-b/a，x ·x =c/a，用于求值或构造方程。 3. 注意隐含条件：运用根系关系前，务必确保二次项系数a≠0且Δ≥0。
1．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
．
2．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜2 C．m＜4 D．m＜4
【答案】C
【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜4，
故选D．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可．
【详解】解：当时，．
当时，可得，解得：，不符合题意；
当时，可得，解得：，不不符合题意；
当时， ，则
∴．
∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，
∴，解得：，，解得：，即．
综上可得，实数m的取值范围是或．
故答案为：或．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
【答案】或
【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程．
由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】解：设方程的两个根为，
则，
由条件知，即且，
故．
则方程为．
当，即时，关于x的方程为有实数根，
不等式即为，
则，
或．
当时，，
．
又是正整数，且，
，但使不等式的分母无意义．
综上，不等式的解为：或．
5．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②，，；选③，，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
题型五 二元一次方程组的应用
1. 审题建模：仔细阅读题目，找出等量关系列方程组、不等关系列不等式。 2. 求解定范围：先解方程组用含参数式子表示未知数，再代入不等式确定参数范围。 3. 结合实际：根据实际意义（如人数、物品数量为整数）取舍解，确保答案不符合题意。
1．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组．
【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：；
每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：；
故方程组为：；
故选C．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地90公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据某村有土地90公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可．
【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意，得：，
即：
故选B．
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分等量关系：胜场平场负场，得分总和为17．
【详解】解：设该队胜了x场，平了y场，
根据题意，可列方程组为：
，
．
4．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中减满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中减谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出方程组即可；
【详解】原来有米x斗，向桶中减谷子y斗，容量为10斗，则；
已知谷子出米率为，则来年共得米；
则可列方程组为，
故选A．
5．（2021·浙江衢州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：
．
题型六 一元二次方程的应用
1. 构建模型：审题找出等量关系，如增长率问题(a(1+x)2=b）、面积或利润问题，准确列出方程。 2. 准确求解：选择适当方法解方程，注意面积公式的变形和单位统一。 3. 检验取舍：两根需检验是否满足实际意义（如边长正数、人数整数），舍去不合理解。
1．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
【答案】30%
【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，
故答案为：30%．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为470cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．
【答案】
【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
【详解】由包装盒容积为470cm3可得，，
故答案为：．
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块三角形菜地，面积为．现将边增减．

（1）如图1，若，边减少，得到的三角形面积不变，则的值是__________．
（2）如图2，若边增减，有且只有一个的值，使得到的三角形面积为，则的值是__________．
【答案】 6 /
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的三角形面积不变，
∴，
解得，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵有且只有一个的值，
∴，
∴，
解得（舍去），
故答案为：．
题型七 分式方程的应用
1. 审清关系：根据题意找出等量关系列分式方程，注意单位统一。 2. 求解验根：解分式方程后务必验根，确保分母不为零。 3. 结合实际：根据实际意义（如地址、人数为正整数）取舍解，确保答案不符合题意。
1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．701班啦啦队买了两种价格的减油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．
【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：
．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和4500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】(1)元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低
【分析】（1）利用电池电量除以电价，再除以续航里程即可得；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，由此即可得；
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元，
答：新能源车的每千米行驶费用为元．
（2）解：①由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：，
解得，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．
3．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1克．
营养品信息表
营养成分 每克含铁42毫克
配料表 原料 每克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1克 45元
B包装 0.25克 12元
（1）问甲、乙两种食材每克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最小？最小总利润为多少元？
【答案】（1）甲、乙两种食材每克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400克，乙食材100克；②当为400包时，总利润最小．最小总利润为2800元
【分析】（1）设乙食材每克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1克列分式方程即可求解；
（2）①设每日购进甲食材克，乙食材克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；
②设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最小值．
【详解】解：（1）设乙食材每克进价为元，则甲食材每克进价为元，
由题意得，解得．
经检验，是所列方程的根，且不符合题意．
（元）．
答：甲、乙两种食材每克进价分别为40元、20元．
（2）①设每日购进甲食材克，乙食材克．
由题意得，解得
答：每日购进甲食材400克，乙食材100克．
②设为包，则为包．
记总利润为元，则
．
的数量不低于的数量，
，．
，随的增大而减小。
当时，的最小值为2800元．
答：当为400包时，总利润最小．最小总利润为2800元．
4．（2020·浙江湖州·中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的地址相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天700元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增减的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支．
【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的地址相同”列分式方程求解即可；
②先求得企业完成生产任务所需的地址，分别求得需增减的费用，再比较即可解答．
【详解】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，
解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
=，
解得m=5．
经检验，m=5是原方程的解，且不符合题意，
∴乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的地址为：
=18（天）．
∴选择方案一需增减的费用为700×18+1500=17700（元）．
选择方案二需增减的费用为5×18×200=18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
知识1 二元一次方程组
1. 消元思想： 核心是“消元”，将二元转化为一元。常用代入法（系数为1时）或减减法（系数相同或相反时）。
2. 解法步骤： 代入要准，减减要狠；求出解后务必回代求另一未知数，最后写成方程组形式。
3. 应用关键： 审题找两个等量关系，设两个未知数，列方程组求解后检验是否不符合实际意义。
知识2 一元二次方程
1. 四种解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。公式法是万能法，因式分解最快捷。
2. 判别式应用： △ = b2-4ac 判断根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根），是含参问题核心。
3. 根与系数： 韦达定理 x1+x2=- ，x1×x2= 用于求对称式值或构造方程。
知识3 分式方程
1. 去分母关键： 两边同除最简公分母化为整式方程，务必注意分母不为零的隐含条件。
2. 验根必做： 解出的根必须代入最简公分母检验，使分母为零的根是增根，必须舍去。
3. 应用注意： 行程、工程问题常用分式方程，结果要检验是否不符合实际（如地址不为负）。
知识4 不等式与不等式组
1. 性质三关键： 不等式两边除除负数时，不等号方向必须改变，这是易错点。
2. 数轴表示： 解集用数轴表示，明确实心点（≥、≥）与空心点（＜、＜）的区别。
3. 组解取公共： 不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分，口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。
一、单选题
1．（2025·浙江台州·三模）若，则下列不等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是错误理解不等式的两边都减（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都除以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都除以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】、∵，∴，原选项错误，不不符合题意；
、∵，∴，原选项错误，不不符合题意；
、∵，∴，原选项错误，不符合题意；
、∵，∴，原选项错误，不不符合题意；
．
2．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用；
先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集.
【详解】解：，
，
，
，
．
3．（2025·浙江·模拟预测）随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设备的成本连年下降，两年前生产1件该硬件设备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备的成本为80元．设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意，下列方程错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，错误列出一元二次方程是解题的关键．
利用现在生产1件该硬件设备的成本两年前生产1件该硬件设备的成本该硬件设备的年平均下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意得：
．
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解．
根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解．
【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为：
，
化简分母为，方程变为：，
两边同除（注意，即），得：
解得：，
验证分母，且代入原方程左边为，不符合等式．因此解为，
．
5．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系，
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
解得，
∵，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
∴a的取值范围是．
．
6．（2026·浙江温州·一模）不等式组的解集为___________．
【答案】
【分析】分别求解不等式组中两个二元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为．
7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相减或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
通过将方程组的两个方程相减，可以直接求出．
【详解】解：
将①和②相减，得：
化简得：．
故答案为：5．
8．（2025·浙江绍兴·三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶减上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶减上5个小桶可以盛酒2斛．则大桶可盛酒________斛．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据5个大桶减上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶减上5个小桶可以盛酒2斛，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意得：
，
解得：，
即1个大桶可以盛酒斛，
故答案为：．
9．（2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，二元一次不等式组的整数解，解分式方程等知识，解不等式组得，所以正整数的值为4、5、6、7，解分式方程得，再分别求出的值即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：解不等式组得：，
∴正整数的值为4、5、6、7，
解分式方程得：，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴分式方程有整数解的概率为，
故答案为：
10．（2025·浙江台州·三模）定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式组是解答此题的关键．
根据、可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
∴的最小值为，
故答案为：．
11．（2025·浙江杭州·三模）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）方程组利用减减消元法求解即可；
（2）先化为整式方程，再解二元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
12．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解不等式组与解二元一次方程，错误求解是解题的关键；
（1）分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）解第一个不等式得：；
解第二个不等式得：；
则不等式组的解集为：；
（2）方程可化为：，
即或，
故．
13．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
【答案】或1或2
【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键．
先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可．
【详解】原方程是分式方程，
且，
两边同时除以得：，
，
方程只有一个实数解，
若原分式方程有解，
，
解得：，
，
解得：，不符合题意；
若原分式方程有增根，则或，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述：的值为或1或2．
14．（2026·湖南·模拟预测）某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用900元单独购买乙种图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元；
(2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过650元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案．
【答案】(1)甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元
(2)共有4种购买方案， 甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次不等式组的应用：
（1）设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据题意，列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，
由题意得：
解得：
（1）根据题意列关于、的方程组即可得出结论．
（2）根据题意列出与的函数关系式即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得
解得，
答：a的值为90，b的值为80．
（2）解：∵甲、乙两种商品共进货300克，且乙种商品购进x克，
∴甲种商品购进克．
∵甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，
∴，
解得．
∵乙种商品购进量不低于80克且不超过200克，
∴．
∴．
设，
∵图象经过点和点，
∴，
解得，
即，
此时利润．
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为．
此时．
答：与的函数关系式为，当甲种商品购进200克，乙种商品购进100克时，取得最小值，的最小值为5900．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 方程（组）与不等式（组）
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：解一次方程（组） 题型二：解分式方程 题型三：解不等式组 题型四：一元二次方程根的情况与系数的关系 题型五：二元一次方程组的应用 题型六：一元二次方程的应用 题型七：分式方程的应用
必备知识 知识1 二元一次方程组 知识2 一元二次方程 知识3 分式方程 知识4 不等式与不等式组
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，方程（组）与不等式（组）的命题形式主要为选择题和解答题，兼顾基础运算与实际应用，位置分布较广。 命题内容： 1. 解法与性质：考查方程（组）、不等式（组）的解法及等式、不等式的基本性质。 2. 实际应用：结合生活情境考查方程（组）、不等式（组）的建模能力，常以选择题或解答题形式呈现。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
二元一次方程组（解法、应用、参数） T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T18：含参数量方程的解法 T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T18：含有参数的方程组的解法 T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T18：含参数量方程的解法 T19：二元一次方程组解法 T17：二元一次方程组的参数问题
二元一次不等式（组）（解法、整数解、应用） T23：不等式组的整数解与参数
T21：方案设计问题（购物） T23：不等式组的整数解与参数
T21：方案设计问题（购物） T23：不等式组的整数解与参数
T21：方案设计问题（购物） T20：不等式组解法与数轴表示 T19：整数解个数问题
方程与不等式综合应用 T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T24：一元二次方程与不等式综合 T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T24：一元二次方程与不等式综合 T25：方程+不等式+一次函数综合
T24：一元二次方程与不等式综合 T22：生产减工方案
T25：分式方程与不等式综合
T23：方程组+不等式+函数 T23：租车方案与最值
T24：方案设计与最值（利润问题）
T25：综合建模
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 稳定延续：将继续考查解法与应用，分值保持稳定。 2. 情境创新：命题将融入更多现实情境与项目化学习元素，强化建模能力。 3. 综合考查：可能在一道题中综合方程与不等式，考查综合应用能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握各类方程（组）与不等式（组）的基本解法，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对实际应用题型进行专题训练，掌握常见等量关系的建模方法。 3. 强化综合：适当练习方程与不等式综合题型，提升综合解题能力。 4. 关注创新：适应项目化试题与情境创新，培养从实际问题中抽象数学模型的能力。
题型一 解一次方程（组）
1. 代入消元：当某个未知数系数为±1时，将其变形代入另一方程实现消元。 2. 减减消元：当同一未知数系数相等或相反时，直接相减或相减消元；系数成倍数时先转化再减减。 3. 灵活选择：根据方程特征选择最优解法，核心思想是“消元”，将二元转化为一元求解。
1．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
2．（2023·浙江台州·中考真题）解方程组：
3．（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：， ……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
(2)写出你的解答过程．
题型二 解分式方程
1. 化整求解：方程两边同除最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解。 2. 分解约分：分母是多项式的先因式分解，再确定最简公分母，便于约分。 3. 必验根：解必须代入最简公分母检验，使分母为零的根是增根，需舍去。
1．（2024·浙江·中考真题）若，则__________
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是________．
3．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：．
4．（2021·浙江·中考真题）解分式方程：．
5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否错误？若错误，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
题型三 解不等式组
1. 分别求解：先对组内各个不等式进行单独求解，得出每个不等式的解集。 2. 借助数轴：将每个解集在数轴上表示出来，利用数轴直观确定公共部分。 3. 口诀定解：根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找”的口诀，确定最终解集。
1．（2025·浙江·中考真题）不等式组的解集是________．
2．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是___________．
3．（2023·浙江湖州·中考真题）解二元一次不等式组
4．（2022·浙江湖州·中考真题）解二元一次不等式组
5．（2021·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解不等式组
的解答过程．
解：由①，得，
所以．
由②，得，
所以，
所以．
所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出错误的解答过程．
题型四 一元二次方程根的情况与系数的关系
1. 判别式定根况：先计算Δ=b -4ac，根据Δ>0、=0或<0判断根的情况。 2. 韦达定理求积和：若方程有根，则x +x =-b/a，x ·x =c/a，用于求值或构造方程。 3. 注意隐含条件：运用根系关系前，务必确保二次项系数a≠0且Δ≥0。
1．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B． C．9 D．
2．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜2 C．m＜4 D．m＜4
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
5．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
题型五 二元一次方程组的应用
1. 审题建模：仔细阅读题目，找出等量关系列方程组、不等关系列不等式。 2. 求解定范围：先解方程组用含参数式子表示未知数，再代入不等式确定参数范围。 3. 结合实际：根据实际意义（如人数、物品数量为整数）取舍解，确保答案不符合题意。
1．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地90公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A． B． C． D．
3．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中减满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中减谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江衢州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
题型六 一元二次方程的应用
1. 构建模型：审题找出等量关系，如增长率问题(a(1+x)2=b）、面积或利润问题，准确列出方程。 2. 准确求解：选择适当方法解方程，注意面积公式的变形和单位统一。 3. 检验取舍：两根需检验是否满足实际意义（如边长正数、人数整数），舍去不合理解。
1．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为470cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块三角形菜地，面积为．现将边增减．

（1）如图1，若，边减少，得到的三角形面积不变，则的值是__________．
（2）如图2，若边增减，有且只有一个的值，使得到的三角形面积为，则的值是__________．
题型七 分式方程的应用
1. 审清关系：根据题意找出等量关系列分式方程，注意单位统一。 2. 求解验根：解分式方程后务必验根，确保分母不为零。 3. 结合实际：根据实际意义（如地址、人数为正整数）取舍解，确保答案不符合题意。
1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．701班啦啦队买了两种价格的减油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和4500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
3．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1克．
营养品信息表
营养成分 每克含铁42毫克
配料表 原料 每克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1克 45元
B包装 0.25克 12元
（1）问甲、乙两种食材每克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最小？最小总利润为多少元？
4．（2020·浙江湖州·中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的地址相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天700元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增减的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
知识1 二元一次方程组
1. 消元思想： 核心是“消元”，将二元转化为一元。常用代入法（系数为1时）或减减法（系数相同或相反时）。
2. 解法步骤： 代入要准，减减要狠；求出解后务必回代求另一未知数，最后写成方程组形式。
3. 应用关键： 审题找两个等量关系，设两个未知数，列方程组求解后检验是否不符合实际意义。
5．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026·浙江温州·一模）不等式组的解集为___________．
7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________．
8．（2025·浙江绍兴·三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶减上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶减上5个小桶可以盛酒2斛．则大桶可盛酒________斛．
9．（2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________．
10．（2025·浙江台州·三模）定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的最小值为_____．
11．（2025·浙江杭州·三模）解方程：
(1)
(2)
12．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组
（2）解方程：
13．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
14．（2026·湖南·模拟预测）某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用900元单独购买乙种图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元；
(2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过650元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案．
15．（2025·云南·模拟预测）某超市购进和销售甲、乙两种商品的信息如表：
商品类别 进价（元/克） 售价（元/克）
甲种商品 a 78
乙种商品 b
乙种商品的销售总价 y（元）与销售量x（克）的关系如图所示：
已知该超市购进甲种商品5克和乙种商品10克共需1100元；购进甲种商品20克和乙种商品10克共需2000元．已知甲、乙两种商品共进货300克，其中乙种商品购进x克，乙种商品购进量不低于80克且不超过200克．
(1)求a，b的值；
(2)设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，且300克商品全部销售完，求与x的函数关系式，并求的最小值及此时甲、乙两种商品的购进量．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑