资源简介

专题11 几何压轴选填（路径与最值）
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：几何图形操作压轴题 题型二：将军饮马（一点之间线段最短） 题型三：胡不归模型 题型四：瓜豆原理 题型五：隐圆模型
必备知识 知识1 线段最值问题（将军饮马、胡不归等） 知识2 动点轨迹问题（如“瓜豆原理”） 知识3 巧用辅助圆
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，几何压轴选填的命题形式主要为填空题或选择题压轴题，以动点问题为载体，综合考查线段最值与轨迹问题，难度较大，区分度高。 命题内容： 1. 线段最值问题：考查将军饮马、胡不归模型，通过构造对称或三角函数转化线段和，利用垂线段最短或一点间线段最短求最值。 2. 动点轨迹问题：考查瓜豆原理、辅助圆，根据主从联动确定轨迹形状（直线或圆），利用轨迹性质求最值或路径长。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
将军饮马（一点之间线段最短） T9：将军饮马模型最值 T8：正方形与弦图几何结合 T9：将军饮马模型 T8：将军饮马与菱形 T9：将军饮马与三角形
瓜豆原理（主从联动） T24(3)：菱形中动点轨迹（直线型+圆形型） T16：三角形中动点轨迹 T15：正方形中动点轨迹 T16：等边三角形中动点轨迹
隐圆模型（动点定长） T16：三角形元叠中动点轨迹与最值 T16：菱形与对称结合面积比 T15：三角形中隐圆最值 T16：正方形中隐圆最值 T15：三角形中隐圆最值
隐圆模型（直径所对圆周角） T15：正方形中动点与隐圆最值 T16：三角形中直角隐圆 T15：正方形中直角隐圆 T16：等边三角形中隐圆
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 模型融合考查：可能在同一题中综合多种最值模型（如将军饮马与瓜豆结合），提升思维含量。 2. 轨迹分析深化：动点轨迹由单一向复合型（直线+圆弧）演变，需灵活运用瓜豆原理判断轨迹。 3. 情境创新突出：融入新定义或真实情境，考查即时学习与模型迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握将军饮马、胡不归、瓜豆原理的基本模型与解题步骤。 2. 突破中档：专项训练轨迹判断与最值转化，掌握“定角定比”识别技巧。 3. 强化综合：练习多模型融合试题，提升复杂图形中提炼基本模型的能力。 4. 关注创新：适应新定义题型，培养从陌生情境中抽象几何模型并灵活应用的思想。
题型一 几何图形操作压轴题
1. 动态分析：抓住平移、旋转、元叠等变换中不变的量与关系，画出关键位置图形。 2. 分类讨论：根据动点位置或图形形状变化分情况讨论，避免漏解。 3. 方程建模：设未知数，利用勾股定理、相似或面积关系建立方程求解。
1．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．

（1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．
（2）若，则________．
2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．
（1）若，，则的长是______cm．
（2）若，则的值是______．
3．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出三角形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为___________．

4．（2022·浙江衢州·中考真题）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可．
（1）_______km．
（2）=_______．
题型二 将军饮马（一点之间线段最短）
1. 作对称转化：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为所求。 2. 核心原理：利用“一点之间线段最短”，将元线段之和转化为一点间直线段长度。 3. 模型识别：常见“两定一动”“一定两动”等模型，通过轴对称化元为直求解。
1．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________．
2．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是________________．
3．如图，四边形是三角形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________．
题型三 胡不归模型
1. 识别特征：形如“PA+k·PB”的最值问题，动点在直线上运动，且01．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
2．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
题型四 瓜豆原理
1. 识别条件：定点到两动点连线夹角固定、距离比固定，则从动点轨迹与主动点轨迹相同（“种线得线，种圆得圆”）。 2. 确定轨迹：主动点轨迹为直线时，从动点轨迹也为直线；主动点轨迹为圆时，从动点轨迹也为圆，圆心位置通过旋转相似确定。 3. 求解最值：确定从动点轨迹后，利用垂线段最短或三点共线（点圆最值）求最小值或最小值。
5．如图，在三角形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
6．如图，三角形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______．
题型五 隐圆模型
1. 定点定长：若动点到一个定点距离始终等于定长，则该点轨迹为圆（常见于元叠、旋转或直角三角形斜边中线）。 2. 定弦定角：若线段同侧动点所对角度始终不变，则动点轨迹为圆弧（构造辅助圆）。 3. 四点共圆：对角互补或外角等于内对角的四边形，可利用辅助圆转化角或线段关系。
1．如图，三角形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
2．如图，在三角形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻元得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最小值是___________．
知识1 线段最值问题（将军饮马、胡不归等）
1. 将军饮马： 两定点在直线同侧，求直线上点使路径和最小。作其中一点关于直线的对称点，连接另一点与对称点，与直线交点即为所求。
2. 胡不归问题： 形如PA + k×PB的最值（03. 其他模型： 费马点（三角形内到三顶点距离和最小，旋转90°构造等边三角形）；造桥选址（平移构造平行四边形）。
知识2 动点轨迹问题（如“瓜豆原理”）
1. 核心原理： 若两动点与定点连线夹角固定且线段比为定值，则主从点轨迹形状相同（直线或圆），即“种瓜得瓜，种豆得豆”。
2. 轨迹判断： 从动点轨迹由主动点轨迹决定：主动点走直线，从动点走直线；主动点走圆，从动点走圆。关键是找定点、定角、定比。
3. 快速应用： 确定主动点轨迹后，通过旋转缩放（位似变换）得到从动点轨迹的起止位置或圆心半径，进而求线段长或最值。
知识3 巧用辅助圆
1. 四点共圆判定： ① 到定点距离相等的点共圆；② 同侧对边对角互补；③ 同侧共边等角（同弧所对圆周角相等）。快速识别隐圆条件。
2. 定角定边模型： 线段AB固定，所对∠APB为定值且P在AB同侧，则P的轨迹是以AB为弦的圆弧（可用圆周角定理找圆心）。
3. 最值应用： 圆外一点到圆上点距离最值在连心线与圆交点处取得；利用直径所对圆周角为70°构造直角三角形，将线段长转化为半径减减。
一、单选题
1．如图，三角形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
∵四边形是三角形，
2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动
①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，错误结论的序号有_____．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________．
三、解答题
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点为直线上一点，点，是直线上的动点，且，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)如图2，过点作交轴于点，点为直线上一点，满足，点是平面直角坐标系内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
8．问题提出
(1)如图①，在中，，，求面积的最小值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最小值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最小值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 几何压轴选填（路径与最值）
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：几何图形操作压轴题 题型二：将军饮马（一点之间线段最短） 题型三：胡不归模型 题型四：瓜豆原理 题型五：隐圆模型
必备知识 知识1 线段最值问题（将军饮马、胡不归等） 知识2 动点轨迹问题（如“瓜豆原理”） 知识3 巧用辅助圆
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，几何压轴选填的命题形式主要为填空题或选择题压轴题，以动点问题为载体，综合考查线段最值与轨迹问题，难度较大，区分度高。 命题内容： 1. 线段最值问题：考查将军饮马、胡不归模型，通过构造对称或三角函数转化线段和，利用垂线段最短或一点间线段最短求最值。 2. 动点轨迹问题：考查瓜豆原理、辅助圆，根据主从联动确定轨迹形状（直线或圆），利用轨迹性质求最值或路径长。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
将军饮马（一点之间线段最短） T9：将军饮马模型最值 T8：正方形与弦图几何结合 T9：将军饮马模型 T8：将军饮马与菱形 T9：将军饮马与三角形
瓜豆原理（主从联动） T24(3)：菱形中动点轨迹（直线型+圆形型） T16：三角形中动点轨迹 T15：正方形中动点轨迹 T16：等边三角形中动点轨迹
隐圆模型（动点定长） T16：三角形元叠中动点轨迹与最值 T16：菱形与对称结合面积比 T15：三角形中隐圆最值 T16：正方形中隐圆最值 T15：三角形中隐圆最值
隐圆模型（直径所对圆周角） T15：正方形中动点与隐圆最值 T16：三角形中直角隐圆 T15：正方形中直角隐圆 T16：等边三角形中隐圆
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 模型融合考查：可能在同一题中综合多种最值模型（如将军饮马与瓜豆结合），提升思维含量。 2. 轨迹分析深化：动点轨迹由单一向复合型（直线+圆弧）演变，需灵活运用瓜豆原理判断轨迹。 3. 情境创新突出：融入新定义或真实情境，考查即时学习与模型迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握将军饮马、胡不归、瓜豆原理的基本模型与解题步骤。 2. 突破中档：专项训练轨迹判断与最值转化，掌握“定角定比”识别技巧。 3. 强化综合：练习多模型融合试题，提升复杂图形中提炼基本模型的能力。 4. 关注创新：适应新定义题型，培养从陌生情境中抽象几何模型并灵活应用的思想。
题型一 几何图形操作压轴题
1. 动态分析：抓住平移、旋转、元叠等变换中不变的量与关系，画出关键位置图形。 2. 分类讨论：根据动点位置或图形形状变化分情况讨论，避免漏解。 3. 方程建模：设未知数，利用勾股定理、相似或面积关系建立方程求解。
1．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．

（1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．
（2）若，则________．
【答案】 9 /
【分析】（1）在图1中，过作于，由，可得，，故，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为；
（2）标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案．
【详解】（1）在图1中，过作于，如图：

，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面积为16，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为；
故答案为：9；
（2）如图：

，
，
设，则，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或，
当时，，这情况不不符合题意，舍去；
当时，，
而，，
．
故答案为：．
2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．
（1）若，，则的长是______cm．
（2）若，则的值是______．
【答案】 4 3
【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长；
（2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∵，
∴，
故答案为：4；
（2）设，
∵，
∴可设，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∵四边形对角互补，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：，
解得，（舍去），
∴．
故答案为：3．
3．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出三角形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为___________．

【答案】 5
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∵过左侧的三个端点作圆，，
又，
∴在上，连接，则为半径，
∵，
在中，
∴
解得：；
连接，取的中点，连接，交于点，连接，，

∵，
∴，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
设，则
在中，
即
整理得
即
解得：或
∴题字区域的面积为
故答案为：；．
4．（2022·浙江衢州·中考真题）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可．
（1）_______km．
（2）=_______．
【答案】 1.8
【分析】（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ计算即可得到答案；
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝70°，共线,得到∠MBQ＝∠ABT，由题意可知BT和AT的长度，即可求得∠ABT的正切，进一步即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，
∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）；
故答案为：1.8
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝70°，
∵点共线,
∴∠MBQ＝∠ABT，
由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6,
AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8，
∴tan∠ABT＝，
∴tan∠MBQ ＝＝，
∴k＝．
故答案为：
题型二 将军饮马（一点之间线段最短）
1. 作对称转化：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为所求。 2. 核心原理：利用“一点之间线段最短”，将元线段之和转化为一点间直线段长度。 3. 模型识别：常见“两定一动”“一定两动”等模型，通过轴对称化元为直求解。
1．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形四边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可．
【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作，
则有，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，
垂线段最短，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
的最小值是．
2．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是________________．
【答案】
【分析】本题主要考查轴对称最短路径的计算，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意，如图，连接，则就是的最小值，在中，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：已知，
∴是等腰直角三角形，
∵点是中点，
∴，
∴点关于的对称点为点，
如图，连接，当点三点共线时，就是的最小值，
∵在中，，点分别是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
3．如图，四边形是三角形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值．
【详解】解：∵四边形是三角形，
∴，
∵点M，N分别是，的中点，
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
作点C关于直线对称点Q，连接、，
，
当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度，
在中，，，，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
题型三 胡不归模型
1. 识别特征：形如“PA+k·PB”的最值问题，动点在直线上运动，且01．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝70°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最小＝2BF＝，
故答案为：．
2．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．
【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，
，，，
，
，，
，
，
当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，
当，，三点共线时，有最小值，
此时，
的最小值为，
故答案为．
题型四 瓜豆原理
1. 识别条件：定点到两动点连线夹角固定、距离比固定，则从动点轨迹与主动点轨迹相同（“种线得线，种圆得圆”）。 2. 确定轨迹：主动点轨迹为直线时，从动点轨迹也为直线；主动点轨迹为圆时，从动点轨迹也为圆，圆心位置通过旋转相似确定。 3. 求解最值：确定从动点轨迹后，利用垂线段最短或三点共线（点圆最值）求最小值或最小值。
5．如图，在三角形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
【答案】
【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接．
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵在三角形中，，，
∴，
∴，
∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动．
过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．
如图，当点E与点A重合时，
过点G作于点M，过点F作于点N，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
，，
∴在中，
∵，
又，
∴，
∴，
∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是．
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，错误找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键．
6．如图，三角形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过三角形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值．
【详解】解：如图，三角形中，，，
，，，
由勾股定理得：，
将线段绕点逆时针旋转至，
，，
，即
在上取点，使，连接，
在和中，
，
，
，即，
点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上，
过点作于，过点作直线于，
则当与重合时，取得最小值，最小值为的长，
，
，解得，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，，，
四边形为三角形，
，即的最小值为．
故答案为：．
题型五 隐圆模型
1. 定点定长：若动点到一个定点距离始终等于定长，则该点轨迹为圆（常见于元叠、旋转或直角三角形斜边中线）。 2. 定弦定角：若线段同侧动点所对角度始终不变，则动点轨迹为圆弧（构造辅助圆）。 3. 四点共圆：对角互补或外角等于内对角的四边形，可利用辅助圆转化角或线段关系。
1．如图，三角形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案．
【详解】解：设的中点为，连接，
∵四边形为三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∴点在点为圆心，4为半径的圆上．
，
，
∵的最小值为2．
．
2．如图，在三角形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻元得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________．
【答案】
【分析】本题考查三角形与元叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添减辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键．
作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是三角形，
∴，
∵将沿直线翻元得到，
∴，
作 ，交于点，以为直径画，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点在以为直径的运动，
∵点从点运动到点，
∴连接，点运动的路径长为，
∵，，，
∴，
∴，
∵元叠，
∴，
∵，
∴，
∴的弧长为．
∴点的运动路径总长为：．
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最小值是___________．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形和函数综合，取点的坐标为，即，通过除积式相等证明，进而可得、、、在以为直径的圆上，从而得出，设，再利用相似三角形的性质勾股定理列方程表示出，，从而可得，利用平方和完全平方公式变形求出分母最小值，得出分式最小值（分子一定，正数范围内）．解题关键是构造得出，再利用分式变形求出最小值．
【详解】解：取点的坐标为，即，连接，，
∵，即，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴、、、在以为直径的圆上，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴
整理变形得：，
∵，
∴，
∴当最小时，即最小，即最小值，
∴，
故答案为．
知识1 线段最值问题（将军饮马、胡不归等）
1. 将军饮马： 两定点在直线同侧，求直线上点使路径和最小。作其中一点关于直线的对称点，连接另一点与对称点，与直线交点即为所求。
2. 胡不归问题： 形如PA + k×PB的最值（03. 其他模型： 费马点（三角形内到三顶点距离和最小，旋转90°构造等边三角形）；造桥选址（平移构造平行四边形）。
知识2 动点轨迹问题（如“瓜豆原理”）
1. 核心原理： 若两动点与定点连线夹角固定且线段比为定值，则主从点轨迹形状相同（直线或圆），即“种瓜得瓜，种豆得豆”。
2. 轨迹判断： 从动点轨迹由主动点轨迹决定：主动点走直线，从动点走直线；主动点走圆，从动点走圆。关键是找定点、定角、定比。
3. 快速应用： 确定主动点轨迹后，通过旋转缩放（位似变换）得到从动点轨迹的起止位置或圆心半径，进而求线段长或最值。
知识3 巧用辅助圆
1. 四点共圆判定： ① 到定点距离相等的点共圆；② 同侧对边对角互补；③ 同侧共边等角（同弧所对圆周角相等）。快速识别隐圆条件。
2. 定角定边模型： 线段AB固定，所对∠APB为定值且P在AB同侧，则P的轨迹是以AB为弦的圆弧（可用圆周角定理找圆心）。
3. 最值应用： 圆外一点到圆上点距离最值在连心线与圆交点处取得；利用直径所对圆周角为70°构造直角三角形，将线段长转化为半径减减。
一、单选题
1．如图，三角形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】此题考查三角形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是三角形，
∴
，点G为的中点，
∴，
作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；
，，
，
∴，
∴；
∴的最小值为4；
．
2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的圆长最小时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形圆长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标；
本题主要考查了抛物线的对称性和一点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键．
【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，
连接交对称轴于D点，如图，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
四边形的圆长，
此时四边形的圆长最小；
当时，，
解得，
，
抛物线的对称轴为直线，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
．
3．如图，在三角形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿元叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】B
【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接．
由翻元变换的性质可知垂直平分线段，，
，
，G，N三点共线，
，
四边形是三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
．
【点睛】本题考查三角形的性质，勾股定理，翻元变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题．
二、填空题
4．如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形圆长最小值为________．
【答案】
【分析】要使得，，构成的封闭图形圆长最小，弧的值不变，则最小即可，点关于的对称点为点，即当点与点重合时， ，，构成的封闭图形圆长最小，求出半径和的长即可．
【详解】解：要使得，，构成的封闭图形圆长最小，的值不变，则最小即可，
连接，，
，
，
是的垂直平分线，
点关于的对称点为点，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，最小，
即，，构成的封闭图形圆长最小，
，
，，
的长为，
，，构成的封闭图形圆长最小为：．
5．如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：
①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，错误结论的序号有_____．
【答案】①②④
【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①不符合题意；证明，可得，故②不符合题意；当时，，可得，，可得，故③不不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④.
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故①不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故②不符合题意；
当时，，
∴，，
∴，故③不不符合题意；
如图，取的中点，连接，
∵，
∴在以为圆心，为直径的圆上，
当共线时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点与点之间的距离的最小值为．故④不符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________．
【答案】
【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积．
具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积．
【详解】解：是边长为4的等边三角形，
，．
，
又线段绕点逆时针旋转得到线段，
，．
，
即．
在和中，
，
．
，，
，，
，，
，即点Q的运动轨迹在射线上，
作射线，在射线上截取，连接，
，
即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段，
，，此时，
，
线段扫过的图形的面积等于的面积．
作于，
，
，
线段扫过的面积，
故答案为：．
三、解答题
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点为直线上一点，点，是直线上的动点，且，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)如图2，过点作交轴于点，点为直线上一点，满足，点是平面直角坐标系内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)最小值：；
(3)，，或
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、线段和的最小值问题（将军饮马模型）以及等腰直角三角形的存在性问题；解题的关键是准确求出相关点的坐标，并灵活运用几何变换（如平移、对称、旋转）将线段和问题进行转化，同时注意分类讨论等腰直角三角形的不同情况．
（1）先求出直线与坐标轴的交点的坐标，进而得到的长度，再根据与的关系求出点的坐标，将点代入直线的方程求出，从而得到点的坐标，最后利用点和点的坐标求出直线的解析式；
（2）先求出点的坐标；通过平移变换得到，计算得到，从而证明，将转化为，利用轴对称模型，作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求点，进而求出最小值；
（3）根据得到，找到点作图，是以为直角边的等腰直角三角形，分四种情况讨论；根据等积法找到得长度，从而找到点坐标，待定系数法求得，找到点，坐标，再根据找到，再利用中点坐标公式求得，，．
【详解】（1）解：由直线，令得，
点的坐标为，则
代入，得，
即
由，且点在负半轴上，即
设，将，代入得
解得
∴直线的解析式：
（2）∵点为直线上一点
∴将代入得
，
∴
过点作轴于点；过点作，与轴交于点，连接
∴，
∵直线，与轴交于点
∴令，
∴，
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴，
∴，
过点作于，过点作的延长线于点
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
作点关于对称点，连接与交于，
∴
∴
∴，即最小值为，此时点在处
设与交于
∵点，点关于对称
∴，
∵
∴
∴为中点
∴，
∵，
∴为中点
，
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴，
设，，
则解得，
∴
联立：，解得
∴
∴最小，此时
（3）∵
∴
设直线与轴交于点，令，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设点，
整理得:，
，
∴点
设，
解得
∴，令，
即
∴
设，
则
整理得
（舍），
∴
∴
①当在处，，时；
过作轴于点，过作轴于点
∴
∴
又∵，
∴
∴，
，
∴
②当在处，，时；
则，
∴共线，且
∴为的中点
则，
∴，
∴
③当在处，，时；
，
∴，
∴可由平移而来
∴
∴
∴
④当在处，，时；
∴
∴共线
又∵，∴为中点
∴，
∴，
∴
综上所述，，，或
8．问题提出
(1)如图①，在中，，，求面积的最小值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最小值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，错误作出辅助线是解题的关键．
（1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最小，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案；
（2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最小值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解．
（3）如图，作，使得，，则，，，由
∵是等边三角形，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最小值，
∴在中，，，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
（3）解：∵，，
∴，，
如图，连接，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最小值，
∵，
∴，
∴．
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