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专题03 一次函数综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：一次函数的图象和性质 题型二：一次函数与方程、不等式的综合 题型三：利用一次函数解决行程问题 题型四：利用一次函数解决销售问题 题型五：一次函数与几何图形的综合
必备知识 知识1 一次函数的图象和性质 知识2 一次函数与方程/不等式的联系 知识3 实际应用建模
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，一次函数综合问题的命题形式主要为选择题和解答题，常结合几何图形、实际应用或方程不等式综合考查，分值占比较重。 命题内容： 1. 图象与性质：考查一次函数的表达式、图象特征、增减性及与坐标轴围成的图形面积问题。 2. 实际应用：结合行程问题、方案选择、利润最优化等实际情境，考查建模能力和数形结合思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
实际应用：方案设计与最值 T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值） T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值） T25：方程+不等式+一次函数综合 T22：生产减工方案 T23：租车方案与最值
T24：方案设计与最值（利润问题）
实际应用：行程问题 T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题） T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题） T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题） T23：方程组+不等式+函数 T23：租车方案与最值（含行程）
与方程、不等式综合 T24：一元二次方程与不等式综合 T24：一元二次方程与不等式综合 T24：一元二次方程与不等式综合 T25：分式方程与不等式综合
T23：方程组+不等式+函数 T25：综合建模
与几何图形综合 T21：整式与几何面积综合 T21：整式与几何综合 T21：整式与代数综合 T10：实数的运算与综合（整式规律探究）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 综合性强：将继续与反比例函数、几何图形或方程不等式联合命题，考查综合应用能力。 2. 情境创新：融入项目化学习或真实生活背景，强化数学建模素养。 3. 注重图象分析：对函数图象信息的提取与理解要求更高，考查学生的直观想象能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握待定系数法求表达式及k、b的几何意义，确保基本概念清晰。 2. 突破中档：针对行程问题、方案选择等常见模型进行专项训练，掌握建模方法。 3. 强化综合：练习与几何图形、反比例函数综合的题型，提升解题迁移能力。 4. 关注创新：适应项目化试题，培养从实际问题中抽象函数模型并验证结果合理性的习惯。
题型一 一次函数的图象和性质
1. 看k、b定位置：k决定增减性（k>0递增），b决定与y轴交点；结合k、b符号可判断图象经过的象限。 2. 待定系数求式：已知一点或一点及平移关系，利用待定系数法求函数解析式。 3. 交点与不等式：利用图象交点确定方程组的解，并根据图象高低比较函数值大小。
1．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断错误的是（　　　 ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否错误，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线y= 2x+3
∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y= 2x+3上的三个点，且x1∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不不符合题意；
若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不不符合题意；
若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不不符合题意；
若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D不符合题意．
．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
2．（2022·浙江舟山·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最小值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】把代入后表示出，再根据最小值求出k，最后把代入即可．
【详解】把代入得：
∴
∵的最小值为9
∴，且当时，有最小值，此时
解得
∴直线解析式为
把代入得
．
题型二 一次函数与方程、不等式的综合
1. 方程看交点：两函数图象交点的横坐标即为对应方程的解。 2. 不等看高低：图象在上方部分对应的x范围，即为函数值大的不等式的解集。 3. 数形结合：综合运用函数图象与代数运算，准确求解交点坐标及参数范围。
1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．
【详解】解：点在直线上，
，
将上式代入中，
得：，
解得：，
由，得：，
（两边同时除上一个负数，不等号的方向要发生改变），
．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．
【答案】
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：，
即的解为：，
故答案为：．
题型三 利用一次函数解决行程问题
1. 识图获取信息：看清横纵轴意义，关注起点、终点、交点及拐点，理解每段图象对应的运动状态。 2. 建模列解析式：结合速度、地址、路程关系，利用待定系数法求出一次函数表达式。 3. 数形结合求解：通过函数图象交点求相遇地址，利用函数值比较位置关系或求距离。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走地址（小时）的函数关系图象．

(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少地址，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到地后，再经过1小时乙机器人也到地，求两地间的距离．
【答案】(1)
(2)出发后甲机器人行走小时，与乙机器人相遇
(3)两地间的距离为900米
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；
（3）列出方程即可解决．
【详解】（1）∵，
∴所在直线的表达式为．
（2）设所在直线的表达式为，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙机器人相遇时，即，解得，
∴出发后甲机器人行走小时，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走小时时到地，地与地距离，
则乙机器人小时后到地，地与地距离，
由，得．
∴．
答：两地间的距离为900米．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵除坐军车从营地出发，同时学校师生除坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后除坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用地址t（h）的函数关系如图2所示．

(1)求大巴离营地的路程s与所用地址t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的地址．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的地址，用总地址减去两段地址即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用地址t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，
∴，解得：，
∴；
当时：，解得：，
∴；
（2）由图象可知，军车的速度为：，
∴军车到达仓库所用地址为：，
从仓库到达基地所用地址为：，
∴部队官兵在仓库领取物资所用的地址为．
3．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的地址（分）的函数关系．

(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2小时到书吧．
①求图中的值；
②妺妺在书吧待了10小时后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②能追上，理由见解析
【分析】（1）结合图表可得，根据速度等于路程除以地址，即可解答；
（2）①根据地址=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的地址，再根据题意确定a得值即可；
②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将和的解析式求出，求两个函数的交点即可．
【详解】（1）解：由图可得，
（米/分），
∴哥哥步行速度为100米/分．
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用地址t为：（min）．
∵妹妹比哥哥迟2小时到书吧，
∴．
②能追上．
如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍小于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，
设所在直线为，将代入，得，
解得，
∴．
∵妺妺的速度是190米/分．
设所在直线为，将代入，得，
解得，
∴．
联立方程，
解得，
∴米，即追上时兄妺俩离家300米远．
题型四 利用一次函数解决销售问题
1. 建立模型：根据题意列出各个方案的一次函数表达式，明确变量与实际意义。 2. 比较优劣：通过求函数值或利用图象交点，确定不同方案下函数值相等的临界值。 3. 结合实际：根据自变量取值范围及实际要求（如最优利润），选择不符合题意的方案。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（克）与销售价格x（元/克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/克） 50 40
日销售量y（克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最小？最小的日销售利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售价格为每克45元时，日销售利润最小，最小日销售利润是2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最小值，最小值是2250．
答：销售价格为每克45元时，日销售利润最小，最小日销售利润是2250元．
2．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y关于x的函数表达式；
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【答案】(1)30件
(2)
(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一
【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；
（2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式；
（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，
把代入上式，得
解得
∴方案二的函数表达式为．
（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；
若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；
若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．
3．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里减满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水地址t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水地址t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水地址t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取地址．
任务4 请你简要写出地址刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水地址t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应地址的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随地址变化规律，以相同地址刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最小量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水地址t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：地址刻度方案要点：
①地址刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示地址约为9.8min）．
题型五 一次函数与几何图形的综合
1. 坐标转长度：利用函数解析式求点坐标，结合勾股定理或线段和差求距离。 2. 面积法：采用割补法或铅垂高公式（S=水平宽×铅垂高）求解三角形面积。 3. 存在性问题：设出动点坐标，根据等腰、直角或平行等几何条件建立方程求解。
1．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最小值为．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果一点到一条直线的距离相等，则称该直线为“一点的等距线”．
(1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“一点的等距线”．
(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，
【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识．
（1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线；
（2）根据一点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可；
（3）由可得A、B一点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）证明：分别过A，B一点作，垂足分别为E，F．
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
即直线是点A，B的一条等距线；
（2）如图，直线就是所有的直线，
（3）设直线的解析式为，
，
∴解得：
∴直线的解析式为．
，
一点到直线的距离相等，
∴或过中点，
如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为；
②当直线过中点时，
，
∴中点E的坐标为，
∴设直线的函数解析式为，
代入，得，解得：，
∴直线的函数解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为．
综上所述，满足条件的点P的坐标为．
3．（2021·浙江金华·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②；（2）存在，，4，9，1
【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明；
②添减辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则；
（2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时．
【详解】解：（1）①证明：如图1，
∵，∴．
∴，∴．
而，
∴．
∵，∴．
∴，
∴．
②如图1，过点A作于点H．由题意可知，
在中，．设，．
∵，∴，解得．
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
：
∴．
（2）过点A作于点H，则有．
①如图2，当点C在第二象限内，时，设
∵，∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，整理得，解得．
∴．
②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G，
则，∴．
又∵，
∴，
而，
∴，
∴
③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有．
(a)如图4，点B在第三象限内．
在中，，∴
∴，
又∵，
∴，
而
∴，
∴
∴，
∴，
∴
(b)如图5，点B在第一象限内．
在中
∴，∴．
又∵，
∴
而，∴
∴
∴，
∴，
∴
综上所述，的长为，4，9，1．
知识1 一次函数的图象和性质
1. 核心要素：k决定增减性（k>0上升，k<0下降）和倾斜程度；b决定与y轴交点（0, b）。这是图像分析基础。
2. 图像平移：遵循“上减下减（b变），左减右减（x变）”规律，注意系数k不变。
3. 位置判断：根据k、b符号可快速确定图象所过象限（如k>0, b>0过一二三象限）。
知识2 一次函数与方程/不等式的联系
1. 与方程联系：函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，即是对应方程kx+b=0的解。
2. 与不等式联系：图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集；两函数图象上下比较，决定不等式的解。
3. 数形结合：通过图象位置关系（交点、上下方位）直观解决方程与不等式问题，避免复杂计算。
知识3 实际应用建模
1. 建模步骤：找准自变量与因变量，根据等量关系列出一次函数解析式，并注明自变量的取值范围。
2. 最值问题：利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围（端点值）求最小或最小值。
3. 方案决策：通过比较两个函数值的大小，确定不同条件下的最优方案；注意分段函数的实际意义。
1．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可．
【详解】解：，，
，
，
故选D．
2．（2025·浙江·模拟预测）把函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上减下减，左减右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将函数 的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得图象的函数表达式是．
．
3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶地址的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
【答案】A
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D．
【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误；
由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误；
设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
联立，
解得，
∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C错误；
由图象得A，B两地的距离为
甲车速度为，
所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误；
．
4．（2025·浙江·模拟预测）在“探索一次函数系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为：，：，：则，，这三个数值中，最小的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意，画出示意图，据此可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
由函数图象可知，
直线与y轴交点的纵坐标最小，
所以，，这三个数值中，最小的是
．
5．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数（m为常数）图象上两个不同的点，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点A，B，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中错误的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，根据题意求出与x轴交点坐标为 ，然后确定对称轴为直线，是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：由题意，∵二次函数为，
∴令，故．
∴或，
当时，
∴，即当时，二次函数图象与x轴仅有一个交点，故①错误．
∵一次函数经过点A，B，且，，且，
∴当时，总有，故②错误．
由题意，当时，对称轴是直线，
∴，故③错误．
∵抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
又时，，
∴或，
当时，
∴，
当时，
∵抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
又，
∴，
∴，故④错误．
．
6．（2025·浙江杭州·一模）若一次函数的图象过点，，其中，则_______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征．先把两个点的坐标代入解析式可求出．
【详解】解：把，，其中，代入得，
，
解得，
故答案为：．
7．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，求出三条直线的交点坐标是解题的关键．
设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，通过解方程组，可求出点，，的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论．
【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，
联立直线，的解析式组成方程组得：，
解得：，
点的坐标为，
同理：点的坐标为，点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示，
，
，
直线，，围成三角形的面积为．
故答案为：．
8．（2024·浙江温州·一模）如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组 的解集是___________．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次不等式组，求出解析式是解题关键．将和点代入，求出、的值，进而得到，再将不等式组变形求解即可．
【详解】解：直线过点和点，
，解得：，
，
不等式组 可化为，
解得：，
故答案为：．
9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的圆长最小时，点的坐标为_____．
【答案】
【分析】要使的圆长最小，因为的长度是固定的，所以只需要最小。根据轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点．
【详解】解：对于，令，
，解得，
；
令，则，
．
为中点，
M坐标为，即．
作点M关于轴的对称点，
关于y轴对称的点．
设直线解析式：
代入得，
解得，
直线解析式为．
点在轴上，令，则
，
故答案为：．
10．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后计算时，，将带入函数得，结合一次函数的图象与性质即可得解．
【详解】解：函数的图象经过点，
，
，，
当时，，
把带入函数得，，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，
．
故答案为：．
11．（2025·浙江杭州·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶地址（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)请根据题意，直接写出，，的值．
(2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）设两车出发后小时相遇，根据题意和函数图象列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值，再分别根据地址路程速度求出和的值即可；
（）按照的取值范围分别写出对应的函数关系式即可；
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：设两车出发后小时相遇，
由题意得，，
解得，
∴乙车的速度为千米小时，两车出发后小时相遇，
甲车到达目的地用时小时，
乙车到达目的地用时小时，
；
（2）解：当时，；
当时，；
∴甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式为．
12．（2025·浙江·模拟预测）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水升，前后两人接水间隔地址忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量升与接水地址分的函数图象如图．
(1)当时，求y与x之间的函数关系式；
(2)要使40名学生接水完毕，请问10小时是否够用？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)小时够用，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据，可以计算出当时，y与x之间的函数关系式；
将代入中的关系式，求出相应的y的值，然后用30减此时y的值，再与40名学学生的用数量比较大小即可．
【详解】（1）设当时，y与x之间的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，解得，
即当时，y与x之间的函数关系式为；
（2）小时够用，
理由：将代入，得：，
，，
，
小时够用．
13．（2024·浙江·模拟预测）周末妹妹和哥哥在家各自完成一个相同的大型手工作品． 前半小时妹妹先拼了 10 个小零件，中途有事耽搁了半小时，妹妹前后速度保持不变，1.5 小时后哥哥才开始，哥哥的速度是妹妹的 3 倍． 如图分别表示妹妹和哥哥的完成小零件数量 （个）与地址 （时）的函数图象．
(1)求妹妹和哥哥完成小零件的速度；
(2)若哥哥比妹妹早 1 小时完成作品，求这个作品共需要完成小零件总数量 的值．
【答案】(1)妹妹 20 个/时；哥哥 90 个/时
(2) 的值为 90
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决此题的关键是看懂图象的信息；
（1）根据图象的信息和题中的信息很容易得到答案；
（2）根据题意列出一次函数解析式，代入函数值得到自变量的值，根据题意列出方程即可；
【详解】（1）解：有图像可知：妹妹0.5小时完成10个，
所以妹妹每个小时完成（个）；
∵哥哥的速度是妹妹的3倍，
∴哥哥每小时完成（个）；
∴妹妹和哥哥完成小零件的速度分别为个/小时，个/小时；
（2）解：由题意和图可知：
妹妹回来后 段： ；
哥哥： ；
当 时，可得妹妹完成作品所需的地址为 小时，
哥哥完成作品所需的地址为 小时，
根据题意，得 ，解得 ．
答： 这个作品共需要完成小零件总数量 的值为 90
14．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段地址，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于地址的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【答案】(1)小丽，小明
(2)
(3)8
【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键．
（1）结合函数图象，根据速度=路程÷地址，求解即可；
（2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：小丽的速度：
小丽到达点A的地址为，
小明到达点A的地址为：，
小明的速度：；
（2）解：点B到点C所用地址为，
则点B的地址为，
点
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，，
则线段的函数表达式为；
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
∴，
离山庄的路程为．
15．（2025·浙江衢州·二模）“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．小方在佩服曹冲聪明机智的同时，想探究一下，船的入水深度和船上物品的重量是否存在函数关系，于是他制作了一艘小型模型船，进行了数据测量，部分数据如表：
船上物品的重量（单位：克） 0 10 20 30 40 50 90 70 …
船的入水深度（单位：毫米） 2 3.1 3.9 5.1 6 7 8 9 …
(1)能否用一次函数刻画两个变量和的关系？如果能，求出这个一次函数的表达式．
(2)当船上物品重量为100克时，求出模型船的入水深度；
(3)如果模型船的入水深度为15毫米，求模型船上物品的重量．
【答案】(1)能，
(2)12毫米
(3)130克
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．
（1）先描点，再将这些点连接起来，可以发现，非常近似地在同一条直线上，则能用一次函数刻画两个变量和的关系，然后利用待定系数法求解即可得；
（2）将代入一次函数求解即可得；
（3）将代入一次函数求解即可得．
【详解】（1）解：将表格中的数据描在平面直角坐标系中如下：
将这些点连接起来，可以发现，非常近似地在同一条直线上，
所以能用一次函数刻画两个变量和的关系．
设，
将点代入得：，解得，
所以这个一次函数的表达式为．
（2）解：将代入一次函数得：，
答：当船上物品重量为100克时，模型船的入水深度为12毫米．
（3）解：将代入一次函数得：，
解得，
答：如果模型船的入水深度为15毫米，模型船上物品的重量130克．
16．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的地址（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
（3）解：①由（2）可知，；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 一次函数综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：一次函数的图象和性质 题型二：一次函数与方程、不等式的综合 题型三：利用一次函数解决行程问题 题型四：利用一次函数解决销售问题 题型五：一次函数与几何图形的综合
必备知识 知识1 一次函数的图象和性质 知识2 一次函数与方程/不等式的联系 知识3 实际应用建模
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，一次函数综合问题的命题形式主要为选择题和解答题，常结合几何图形、实际应用或方程不等式综合考查，分值占比较重。 命题内容： 1. 图象与性质：考查一次函数的表达式、图象特征、增减性及与坐标轴围成的图形面积问题。 2. 实际应用：结合行程问题、方案选择、利润最优化等实际情境，考查建模能力和数形结合思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
实际应用：方案设计与最值 T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值） T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值） T25：方程+不等式+一次函数综合 T22：生产减工方案 T23：租车方案与最值
T24：方案设计与最值（利润问题）
实际应用：行程问题 T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题） T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题） T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题） T23：方程组+不等式+函数 T23：租车方案与最值（含行程）
与方程、不等式综合 T24：一元二次方程与不等式综合 T24：一元二次方程与不等式综合 T24：一元二次方程与不等式综合 T25：分式方程与不等式综合
T23：方程组+不等式+函数 T25：综合建模
与几何图形综合 T21：整式与几何面积综合 T21：整式与几何综合 T21：整式与代数综合 T10：实数的运算与综合（整式规律探究）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 综合性强：将继续与反比例函数、几何图形或方程不等式联合命题，考查综合应用能力。 2. 情境创新：融入项目化学习或真实生活背景，强化数学建模素养。 3. 注重图象分析：对函数图象信息的提取与理解要求更高，考查学生的直观想象能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握待定系数法求表达式及k、b的几何意义，确保基本概念清晰。 2. 突破中档：针对行程问题、方案选择等常见模型进行专项训练，掌握建模方法。 3. 强化综合：练习与几何图形、反比例函数综合的题型，提升解题迁移能力。 4. 关注创新：适应项目化试题，培养从实际问题中抽象函数模型并验证结果合理性的习惯。
题型一 一次函数的图象和性质
1. 看k、b定位置：k决定增减性（k>0递增），b决定与y轴交点；结合k、b符号可判断图象经过的象限。 2. 待定系数求式：已知一点或一点及平移关系，利用待定系数法求函数解析式。 3. 交点与不等式：利用图象交点确定方程组的解，并根据图象高低比较函数值大小。
1．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断错误的是（　　　 ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2022·浙江舟山·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最小值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
题型二 一次函数与方程、不等式的综合
1. 方程看交点：两函数图象交点的横坐标即为对应方程的解。 2. 不等看高低：图象在上方部分对应的x范围，即为函数值大的不等式的解集。 3. 数形结合：综合运用函数图象与代数运算，准确求解交点坐标及参数范围。
1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．
题型三 利用一次函数解决行程问题
1. 识图获取信息：看清横纵轴意义，关注起点、终点、交点及拐点，理解每段图象对应的运动状态。 2. 建模列解析式：结合速度、地址、路程关系，利用待定系数法求出一次函数表达式。 3. 数形结合求解：通过函数图象交点求相遇地址，利用函数值比较位置关系或求距离。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走地址（小时）的函数关系图象．

(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少地址，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到地后，再经过1小时乙机器人也到地，求两地间的距离．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵除坐军车从营地出发，同时学校师生除坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后除坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用地址t（h）的函数关系如图2所示．

(1)求大巴离营地的路程s与所用地址t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的地址．
3．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的地址（分）的函数关系．

(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2小时到书吧．
①求图中的值；
②妺妺在书吧待了10小时后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
题型四 利用一次函数解决销售问题
1. 建立模型：根据题意列出各个方案的一次函数表达式，明确变量与实际意义。 2. 比较优劣：通过求函数值或利用图象交点，确定不同方案下函数值相等的临界值。 3. 结合实际：根据自变量取值范围及实际要求（如最优利润），选择不符合题意的方案。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（克）与销售价格x（元/克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/克） 50 40
日销售量y（克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最小？最小的日销售利润是多少元？
2．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y关于x的函数表达式；
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
3．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里减满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水地址t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水地址t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水地址t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取地址．
任务4 请你简要写出地址刻度的设计方案．
题型五 一次函数与几何图形的综合
1. 坐标转长度：利用函数解析式求点坐标，结合勾股定理或线段和差求距离。 2. 面积法：采用割补法或铅垂高公式（S=水平宽×铅垂高）求解三角形面积。 3. 存在性问题：设出动点坐标，根据等腰、直角或平行等几何条件建立方程求解。
1．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最小值．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果一点到一条直线的距离相等，则称该直线为“一点的等距线”．
(1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“一点的等距线”．
(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2021·浙江金华·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
知识1 一次函数的图象和性质
1. 核心要素：k决定增减性（k>0上升，k<0下降）和倾斜程度；b决定与y轴交点（0, b）。这是图像分析基础。
2. 图像平移：遵循“上减下减（b变），左减右减（x变）”规律，注意系数k不变。
3. 位置判断：根据k、b符号可快速确定图象所过象限（如k>0, b>0过一二三象限）。
知识2 一次函数与方程/不等式的联系
1. 与方程联系：函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，即是对应方程kx+b=0的解。
2. 与不等式联系：图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集；两函数图象上下比较，决定不等式的解。
3. 数形结合：通过图象位置关系（交点、上下方位）直观解决方程与不等式问题，避免复杂计算。
知识3 实际应用建模
1. 建模步骤：找准自变量与因变量，根据等量关系列出一次函数解析式，并注明自变量的取值范围。
2. 最值问题：利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围（端点值）求最小或最小值。
3. 方案决策：通过比较两个函数值的大小，确定不同条件下的最优方案；注意分段函数的实际意义。
1．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江·模拟预测）把函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶地址的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
4．（2025·浙江·模拟预测）在“探索一次函数系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为：，：，：则，，这三个数值中，最小的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数（m为常数）图象上两个不同的点，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点A，B，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中错误的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
6．（2025·浙江杭州·一模）若一次函数的图象过点，，其中，则_______．
7．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______．
8．（2024·浙江温州·一模）如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组 的解集是___________．
9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的圆长最小时，点的坐标为_____．
10．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围是_______．
11．（2025·浙江杭州·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶地址（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)请根据题意，直接写出，，的值．
(2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式．
12．（2025·浙江·模拟预测）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水升，前后两人接水间隔地址忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量升与接水地址分的函数图象如图．
(1)当时，求y与x之间的函数关系式；
(2)要使40名学生接水完毕，请问10小时是否够用？请说明理由．
13．（2024·浙江·模拟预测）周末妹妹和哥哥在家各自完成一个相同的大型手工作品． 前半小时妹妹先拼了 10 个小零件，中途有事耽搁了半小时，妹妹前后速度保持不变，1.5 小时后哥哥才开始，哥哥的速度是妹妹的 3 倍． 如图分别表示妹妹和哥哥的完成小零件数量 （个）与地址 （时）的函数图象．
(1)求妹妹和哥哥完成小零件的速度；
(2)若哥哥比妹妹早 1 小时完成作品，求这个作品共需要完成小零件总数量 的值．
14．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段地址，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于地址的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
15．（2025·浙江衢州·二模）“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．小方在佩服曹冲聪明机智的同时，想探究一下，船的入水深度和船上物品的重量是否存在函数关系，于是他制作了一艘小型模型船，进行了数据测量，部分数据如表：
船上物品的重量（单位：克） 0 10 20 30 40 50 90 70 …
船的入水深度（单位：毫米） 2 3.1 3.9 5.1 6 7 8 9 …
(1)能否用一次函数刻画两个变量和的关系？如果能，求出这个一次函数的表达式．
(2)当船上物品重量为100克时，求出模型船的入水深度；
(3)如果模型船的入水深度为15毫米，求模型船上物品的重量．
16．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的地址（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
甲车离开A地的地址（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） ______ 190 ______ ______
(2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式；
(3)①图中的值为___________；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值．
甲车离开A地的地址（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 190 190 240
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