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专题04 二次函数综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：二次函数的图象和性质（多结论判断） 题型二：二次函数与几何图形的综合 题型三：二次函数的图象和性质综合题 题型四：利用二次函数解决实际问题 题型五：二次函数中的最值问题
必备知识 知识1 二次函数的图象和性质 知识2 二次函数与几何图形 知识3 二次函数实际应用建模 知识4 二次函数中的最值问题
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，一次函数综合问题的命题形式主要为选择题和解答题，常结合几何图形、实际应用或方程不等式综合考查，分值占比较重。 命题内容： 1. 图象与性质：考查一次函数的表达式、图象特征、增减性及与坐标轴围成的图形面积问题。 2. 实际应用：结合行程问题、方案选择、利润最优化等实际情境，考查建模能力和数形结合思想。 根据近5年浙江省中考数学试题，二次函数综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第22-24题压轴位置，常与几何图形、实际应用或代数综合结合考查，难度较高。 命题内容： 1. 图象与性质：考查待定系数法求解析式、顶点坐标、对称轴、增减性及最值问题，常结合区间最值进行综合考查。 2. 综合应用：包括实际应用中的抛物线模型（如投篮、喷泉、拱桥）及与几何图形（三角形、四边形）结合的动态综合题，侧重数形结合与分类讨论思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
二次函数图象与性质 T23：二次函数图象与性质综合应用 T22：二次函数图象与性质 T22：二次函数图象与性质
T23：二次函数图象与性质 T16：二次函数图象与性质辨析 T15：二次函数图象与性质
二次函数实际应用 T22：二次函数实际应用（利润/最值问题） T21：二次函数实际应用（营销问题）
T23：二次函数实际应用（抛物线形问题） T21：二次函数实际应用（营销问题）
T23：二次函数实际应用（抛物线形问题） T22：二次函数实际应用（生产减工） T23：二次函数实际应用（方案设计）
二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合（面积/动点） T24：二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合
二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合 T23：二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位稳固：将继续作为解答题压轴题出现，分值约12-14分，综合性强。 2. 情境创新：可能融入项目化学习、真实生活场景（如体育情境、经济优化）命题，强化数学建模与问题解决能力。 3. 思维深度提升：对含参二次函数、区间最值及动点问题的考查将更突出，强调分类讨论与数形结合。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握三种解析式的求法、顶点公式及对称轴性质，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对实际应用模型（抛物线路径、利润最值）进行专项训练，掌握建模通法。 3. 强化综合：练习与几何图形结合的综合题，重点突破动点问题与存在性问题。 4. 关注创新：适应项目化试题与新情境题型，培养从复杂背景中抽象函数模型的能力。
题型一 二次函数的图象与性质（多结论判断）
1. 抓住关键信息：根据图象开口方向、对称轴位置、与y轴交点及与x轴交点情况，准确判断a、b、c的符号及相关代数式。 2. 运用对称性：利用对称轴公式x=-b/2a建立等式，结合对称性判断函数值大小及点坐标关系。 3. 代入特殊值：选取x=±1、±2等特殊值代入解析式，验证结论的正误。
1．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，一点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】C
【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
【详解】解：抛物线与直线交于，一点，
，
．
，
∵，
．
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上所述，一定经过一、四象限．
．
2．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＜，
．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和一点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
．
4．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解：当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D错误；
当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误；
5．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数，下列说法错误的是( )
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
当时：，
∵，
∴，
即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最小值为，
当时，有最小值为，
∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C错误；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故选C．
6．（2021·浙江·中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，
∴该抛物线对称轴为，
当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，
故①和②都不错误；
当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴，
∴，故③错误；
当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都小于1，
可知在x轴上到2的距离小于1，到2的距离不能确定，
所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；
．
题型二 二次函数与几何图形的综合
1. 坐标转化：设出动点坐标，利用二次函数解析式表示点坐标，结合几何性质（如距离、中点）建立方程。 2. 面积处理：采用割补法或铅垂高公式，将几何图形面积转化为函数表达式求解最值。 3. 分类讨论：针对等腰、直角或平行四边形等存在性问题，按边、角或对角线分类讨论，逐一验证。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的三角形内部（包括边界），这些三角形中面积最小的三角形称为该图形的关联三角形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联三角形为三角形．若二次函数图象的关联三角形恰好也是三角形，则________．

【答案】或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是三角形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在三角形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作三角形（点D，G在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．
(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．
(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最小（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，最小值，最小值
【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形中，，
∴，，，
∵点E在的中点
∴，
∴，，
∵点B、E、F在同一直线上，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图：过B作交于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
（3）解：存在，的最小值，最小值．
如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则
设．
∵四边形和四边形都是三角形，
，
∴，
∴，
∵，
，
，即，
，
∴在中，，
即，
当时，y有最小值为．
，
∴当时，y有最小值为，
∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最小值．
题型三 二次函数的图象和性质综合题
1. 抓关键信息：根据开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点判断a、b、c符号及相关代数式的正负。 2. 利用对称性：运用对称轴x=-及点的对称关系，比较函数值大小、判断增减性。 3. 数形结合：结合图象分析函数值取值范围、交点个数及不等式解集，将代数问题转化为几何直观。
1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，
∴
解得：，，

如图，当时，
∴．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)在（1）问的条件下，写出一个不不符合的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，则时，随的增大而减小，
（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，解得：．
3．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答；
（3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论．
【详解】（1）解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：∵函数图像过点和，
∴函数图像的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴．
（3）解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，一点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点．
(1)填空：____；____；_____．
(2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值．
(3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、；
（2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解；
（3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这一点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：点坐标为，直线经过点，
，
．
二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点，
，，
联立组成方程组为，
解得．
故答案为：；；．
（2）解：由题意知：抛物线解析式为，即．
将的图象向右平移个单位后得到，
其顶点坐标为．
∵顶点恰好落在直线上，
，
．
（3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点．
设抛物线对称轴与轴交于点．
，
为等腰直角三角形．
点在轴上，
则外接圆的圆心必在边的中垂线上．
设该中垂线交抛物线于点，．
由可知线段的中点坐标为，
，故可求得该中垂线解析式为．
∴解方程组
解得：．
即，一点的横坐标分别为．
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，
则，一点的横坐标分别为．
．
．
从而点的横坐标为．
同理．
．
从而点的横坐标为．
的取值范围是．
5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＜0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＜0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＜y2，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)的值为4
(3)
【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为；
（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4；
（3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＜y2时，可得，即可解得的取值范围是．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得，
；
答：抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线的顶点为，
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为，
而关于原点的对称点为，
把代入得：
，
解得，
答：的值为4；
（3）解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为，
点，都在抛物线上，
，
，
y1＜y2，
，
整理变形得：，
，
解得，
的取值范围是．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．三角形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将三角形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的三角形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
题型四 利用二次函数解决实际问题
1. 建模转化：根据题意（如利润、抛物线型运动、面积等）建立二次函数模型，明确自变量取值范围。 2. 求最值：通过配方法或顶点公式求函数最值，注意自变量是否包含顶点，结合实际意义取舍。 3. 分析检验：利用图象分析增减性，结合实际问题检验解的合理性（如取整、正数）。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（克）与销售价格x（元/克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/克） 50 40
日销售量y（克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最小？最小的日销售利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售价格为每克45元时，日销售利润最小，最小日销售利润是2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最小值，最小值是2250．
答：销售价格为每克45元时，日销售利润最小，最小日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
2．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最小高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与地址的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先减速后匀速划行，减速期龙舟划行总路程与地址的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，减速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需地址（精确到0.01s）．
【答案】(1)
(2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需地址为
【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案；
（2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；
②把代入，求得，则可得出答案；
（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．
【详解】（1）把代入 得，
解得，
启航阶段总路程关于地址的函数表达式为；
（2）①设，把代入，得，
解得，
．
当时，．
当时，龙舟划行的总路程为．
②，
把代入，
得．
，
该龙舟队能达标．
（3）减速期：由（1）可知，
把代入，
得．
函数表达式为，
把代入，
解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需地址为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
4．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最小高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最小高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，

设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最小高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，错误理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．
5．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
(1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）．
(2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据：，）
【答案】(1)（8≥x≥40）
(2)的横坐标为22.5，成绩未达标
(3)①a与成反比例函数关系，，验证见解析；②当m/s时，运动员的成绩恰能达标
【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．
【详解】（1）解：由图2可知：，
设CE：，
将代入，
得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≥x≥40）．
（2）当时，，由题意得，
解得
∴的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与成反比例函数关系．
∴设
将（100，0.250）代入得解得，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得
由得，
又∵，
∴，
∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题．
6．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为三角形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最小射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最小射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最小值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
7．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里减满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水地址t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水地址t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水地址t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取地址．
任务4 请你简要写出地址刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水地址t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应地址的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随地址变化规律，以相同地址刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最小量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水地址t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：地址刻度方案要点：
①地址刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示地址约为9.8min）．
题型五 二次函数中的最值问题
1. 顶点最值：当自变量无限制时，利用顶点公式或配方法直接求最值（a>0取最小，a<0取最小）。 2. 区间最值：当自变量受限于某一范围时，需结合开口方向判断对称轴与区间位置关系，确定端点或顶点取得最值。 3. 几何最值：结合几何图形（如线段长、面积）建立二次函数模型，通过求函数最值得解。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论错误的是（ ）．
A．m有最小值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最小值
C．m有最小值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最小值
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论．
【详解】解：∵点在函数的图象上，即，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，m有最小值，但没有最小值，
．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
【答案】B
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A错误，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将代入中，
得，
解得，；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述．
（3）关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离小于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最小值为2；当时，的最小值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①；②当时，
(2)
【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最小值7，当时取得最小值，即可求解；
（2）根据题意时，的最小值为2；时，的最小值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最小值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解．
【详解】（1）解：①当时，，
∴顶点坐标为．
②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
∴当时，有最小值7．
又
∴当时取得最小值，最小值；
∴当时，．
（2）∵时，的最小值为2；时，的最小值为3，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线开口向下，时，的最小值为2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴二次函数的表达式为．
5．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最小值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最小值与最小值的差为，解得：不不符合题意，舍去；
当时，
∴最小值与最小值的差为，不符合题意；
当时，
最小值与最小值的差为，解得或，不不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
6．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于一点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，错误的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最小，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最小，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于一点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最小，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最小，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最小值为：．
7．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B一点．
(1)若A，B一点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．
(2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
(3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可．
【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式．
∴ 图像的对称轴是直线．
（2）由题意，得，
∵，
∴b=-4h，c=
∴，
∴当时，的最小值是．
（3）由题意，得
因为函数y的图像经过点，
所以，
所以，或．
知识1 二次函数的图象和性质
1. 开口与对称轴： a>0开口向上，a<0开口向下；对称轴x=-，顶点坐标代入公式或用配方法求得。
2. 增减性： 以对称轴为界，结合开口方向判断增减区间；|a|越大开口越小，图象变化越陡。
3. 与坐标轴交点： 令x=0得与y轴交点；令y=0解方程得与x轴交点，由判别式判断交点个数。
知识2 二次函数与几何图形
1. 交点坐标求解： 联立二次函数与直线（或几何图形边界）方程，求出关键点坐标，作为解题突破口。
2. 面积问题： 以坐标轴上的线段为底，用点坐标表示高；不规则图形常采用割补法转化为规则图形面积。
3. 存在性问题： 设动点坐标，根据几何条件（等腰、直角、平行四边形）列方程，注意分类讨论不重不漏。
知识3 二次函数实际应用建模
1. 建模步骤： 明确自变量与因变量，根据等量关系（如利润=单利×数量、面积公式）建立二次函数解析式。
2. 取值范围： 自变量的取值必须不符合实际意义（如正整数、非负），这是最值求解的前提条件。
3. 抛物线型问题： 拱桥、喷泉、投篮等问题，先建立直角坐标系，再用待定系数法求解析式。
知识4 二次函数中的最值问题
1. 顶点法： 当自变量取全体实数时，最值在顶点x=-处取得，代入求得最小或最小值。
2. 端点法： 自变量有范围限制时，需比较顶点（若在范围内）与区间端点处的函数值，取最小或最小。
3. 实际应用转化： 利润最小、面积最小等问题均转化为二次函数最值，注意开口方向（a<0有最小值）及单位统一。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象“左减右减，上减下减”可得答案．
【详解】解：原抛物线为向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到，
．
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，错误的是（ ）
当时，对称轴为直线．
函数图象与轴必有两个不同的交点．
函数图象必过某一定点．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线故错误；
令得，，
则，
∵，
∴，
∴函数图象与轴必有两个不同的交点，故错误；
∵，
由得，，，
由得，，
所以当时，，
即函数图象过定点，故错误，
综上可知：错误，
故选：．
3．（2025·浙江杭州·二模）对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中错误的结论的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键，利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．
【详解】解：，
∴它的对称轴是直线，故①错误；
∵对称轴两侧的增减性不一样，
∴设，则当时，有，故②错误；
当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③错误；
∵，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是和，
∴当时，，故④错误．
∴错误的结论的个数为3，
．
4．（2025·浙江杭州·三模）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过一点，且．下列四个结论中错误的结论有（ ）
①；
②若时，则；
③若点在抛物线上，，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解．
【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上，
∴，
∵二次函数图象过一点，
∴对称轴直线为，
∵，
∴，
∴，故①错误；
若，则，
∴，
把代入抛物线解析式得，，
∴，
∴，故②错误；
∵对称轴直线为，且，
∴，
已知点，在抛物线上，，且，
∴，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，故③错误；
已知抛物线过一点，
∴设抛物线解析式为：，
令，整理得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④错误．
综上所述，错误的有①③④，
．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数顶点式解析式写出即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，有最小值，
∴当时，二次函数的最小值为，
故答案为：．
6．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设二次函数（m，n为实数），若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是_______．
【答案】
【分析】根据点，点都在函数y的图象上，得到的表达式，作差解答即可．
本题考查了函数的性质，熟练掌握计算是解题的关键．
【详解】解：∵点，点都在函数y的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先依题意得，求出，再结合一元二次方程的根与系数，得，故，因为，解得，即可作答．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2025·浙江温州·二模）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C一点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．先求出抛物线为，可得，设得出，从而求得，由为直角三角形，可得，再列出方程求解即可．
【详解】解：抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为，
抛物线为，
，
，
设
令，则，
，
，
由抛物线的对称性得
为等腰直角三角形，
，
，
解得：或舍去，
抛物线，
故答案为：．
9．（2025·浙江温州·三模）已知二次函数（，是常数），若该函数图象经过，
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)若该图象经过，，当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得二次函数开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远函数值越小，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过，，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数解析式为，
∴函数开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵二次函数的图象经过，，且，
∴，
∴，
当时，则，无解；
当时，则，解得，则；
当时，则，此时恒成立，
综上所述．
10．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，）
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，一点，求的长．
(3)当（）时，的最小值与最小值之差为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．
（1）将代入抛物线解析式中，化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据平移的特征写出平移后的解析式，令，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标，即可得解；
（3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最小值与最小值之差为列式计算即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线为.
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向下平移个单位后为，
令，即，
，
解得或，
抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，，
当时，取到最小值为，
当时，取到最小值，最小值为，
的最小值与最小值之差为，
，
化简得：，即，
，
，
，
.
11．（2025·浙江宁波·模拟预测）综合与实践
背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处．
排球的购买与售卖
素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3350元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元．
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个．
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最小利润？最小利润是多少？
【答案】任务1：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元；任务2：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最小利润，最小利润是845元
【分析】（1）设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元，依据总的花费共3350元列方程求解即可；
（2）设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元，根据利润（售价进价）销量建立与之间的函数关系，最后利用函数的性质回答即可．
【详解】任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元
根据题意，可列方程：，
解得：，
所以购买一个乙品牌的排球需（元）
答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元
任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元
根据题意，得： ，
所以当，即售价为元时利润w有最小值，最小值为845．
答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最小利润，最小利润是845元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，二次函数的顶点式，二次函数的性质及二次函数的最值的应用，根据实际问题建立方程模型和二次函数模型是解题的关键．
12．（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应地址分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应地址秒之间，低于人类驾驶员秒的反应地址．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应地址，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
(2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
【答案】(1)
(2)①不能，见解析；②不成功，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，错误理解题意是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可解答；
（2）①先将单位转换，再将代入解析式即可解答；
②根据解直角三角形的应用即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的地址为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
13．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的表达式为．
(1)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标．
(2)若该二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，求b的取值范围．
(3)当时，y的最小值与最小值的差是25，求出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)m的值为7
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给的范围分类讨论是解题的关键．
（1）将代入，确定函数的解析式，再求函数图象与x轴的交点即可；
（2）先求出抛物线的顶点为，再由题意得到，即可求；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值0，此时m无解；当时，时，函数有最小值，当时，函数有最小值，此时不不符合题意；当时，时，函数有最小值0，当时，函数有最小值，根据已知列方程求解m值即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
抛物线与x轴的交点为；
（2）解：，
抛物线的顶点为
顶点在一次函数的图象上，
，
，
；
（3）解：由知，
该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值0，
，此时m无解；
当时，时，函数有最小值，当时，函数有最小值，
，不不符合题意；
当时，时，函数有最小值0，当时，函数有最小值，
，
解得或舍；
综上所述：m的值为7．
14．（2025·浙江台州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴．
(1)求抛物线的对称轴．（用含的式子表示）
(2)将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻元，其余部分保持不变，形成图形．，为图形上的一点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由．
②若对于，都有，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数的增减性质，函数图象变换，分类讨论的数学思想，熟练掌握以上内容是解题关键．
（1）直接按对称轴公式代数计算即可；
（2）①当时，抛物线解析式为，画出图形的图象，根据图象性质即可解答；
②分、、三类画图讨论即可．
【详解】（1）解：对称轴为直线；
（2）解：①，理由如下：
当时，抛物线解析式为，图形如图 1 所示：
此时若，故；
②当时，如图2所示：
此时翻元后的图象解析式为，
故当时，，
当时，，
∵，即，
解得，
即；
当时，显然对于，都有成立；
当时，对于，恒有成立；
综上，的取值范围为．
15．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的一点．
(1)求，的值；
(2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问：
①求面积的最小值；
②当垂直平分线段时，求点的坐标；
(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最小值．
【答案】(1)，
(2)①，②
(3)
【分析】将点坐标代入抛物线的解析式，从而求得的值，进而求得的值；
作轴，交于，设，可求得直线的解析式，从而表示出点坐标，从而表示出，进而表示出，从而得出结果；
设，根据垂直平分线的性质，得，故，解得即可；
过点B作于点G，设直线的解析式为，根据题意，得，设，，则是方程的两个根，根据根与系数关系定理得，过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M，，证明，，故直线过定点，故，根据直角三角形的斜边小于直角边，当点G与R重合时，取得最小值．
故点．
（3）解： 过点B作于点G，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
得，
设，，
则是方程的两个根，
∴，
过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵E，B，F是不同点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
故
∴，
故直线过定点，
故，
∵边上的高，
根据直角三角形的斜边小于直角边，
当点G与R重合时，取得最小值，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 二次函数综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：二次函数的图象和性质（多结论判断） 题型二：二次函数与几何图形的综合 题型三：二次函数的图象和性质综合题 题型四：利用二次函数解决实际问题 题型五：二次函数中的最值问题
必备知识 知识1 二次函数的图象和性质 知识2 二次函数与几何图形 知识3 二次函数实际应用建模 知识4 二次函数中的最值问题
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，一次函数综合问题的命题形式主要为选择题和解答题，常结合几何图形、实际应用或方程不等式综合考查，分值占比较重。 命题内容： 1. 图象与性质：考查一次函数的表达式、图象特征、增减性及与坐标轴围成的图形面积问题。 2. 实际应用：结合行程问题、方案选择、利润最优化等实际情境，考查建模能力和数形结合思想。 根据近5年浙江省中考数学试题，二次函数综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第22-24题压轴位置，常与几何图形、实际应用或代数综合结合考查，难度较高。 命题内容： 1. 图象与性质：考查待定系数法求解析式、顶点坐标、对称轴、增减性及最值问题，常结合区间最值进行综合考查。 2. 综合应用：包括实际应用中的抛物线模型（如投篮、喷泉、拱桥）及与几何图形（三角形、四边形）结合的动态综合题，侧重数形结合与分类讨论思想。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
二次函数图象与性质 T23：二次函数图象与性质综合应用 T22：二次函数图象与性质 T22：二次函数图象与性质
T23：二次函数图象与性质 T16：二次函数图象与性质辨析 T15：二次函数图象与性质
二次函数实际应用 T22：二次函数实际应用（利润/最值问题） T21：二次函数实际应用（营销问题）
T23：二次函数实际应用（抛物线形问题） T21：二次函数实际应用（营销问题）
T23：二次函数实际应用（抛物线形问题） T22：二次函数实际应用（生产减工） T23：二次函数实际应用（方案设计）
二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合（面积/动点） T24：二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合 T24：二次函数与几何综合
二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合 T23：二次函数与一次函数综合 T25：二次函数与一次函数综合
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位稳固：将继续作为解答题压轴题出现，分值约12-14分，综合性强。 2. 情境创新：可能融入项目化学习、真实生活场景（如体育情境、经济优化）命题，强化数学建模与问题解决能力。 3. 思维深度提升：对含参二次函数、区间最值及动点问题的考查将更突出，强调分类讨论与数形结合。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握三种解析式的求法、顶点公式及对称轴性质，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对实际应用模型（抛物线路径、利润最值）进行专项训练，掌握建模通法。 3. 强化综合：练习与几何图形结合的综合题，重点突破动点问题与存在性问题。 4. 关注创新：适应项目化试题与新情境题型，培养从复杂背景中抽象函数模型的能力。
题型一 二次函数的图象与性质（多结论判断）
1. 抓住关键信息：根据图象开口方向、对称轴位置、与y轴交点及与x轴交点情况，准确判断a、b、c的符号及相关代数式。 2. 运用对称性：利用对称轴公式x=-b/2a建立等式，结合对称性判断函数值大小及点坐标关系。 3. 代入特殊值：选取x=±1、±2等特殊值代入解析式，验证结论的正误。
1．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，一点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和一点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数，下列说法错误的是( )
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
6．（2021·浙江·中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二 二次函数与几何图形的综合
1. 坐标转化：设出动点坐标，利用二次函数解析式表示点坐标，结合几何性质（如距离、中点）建立方程。 2. 面积处理：采用割补法或铅垂高公式，将几何图形面积转化为函数表达式求解最值。 3. 分类讨论：针对等腰、直角或平行四边形等存在性问题，按边、角或对角线分类讨论，逐一验证。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的三角形内部（包括边界），这些三角形中面积最小的三角形称为该图形的关联三角形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联三角形为三角形．若二次函数图象的关联三角形恰好也是三角形，则________．

2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在三角形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作三角形（点D，G在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．
(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．
(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最小（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．
题型三 二次函数的图象和性质综合题
1. 抓关键信息：根据开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点判断a、b、c符号及相关代数式的正负。 2. 利用对称性：运用对称轴x=-及点的对称关系，比较函数值大小、判断增减性。 3. 数形结合：结合图象分析函数值取值范围、交点个数及不等式解集，将代数问题转化为几何直观。
1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)在（1）问的条件下，写出一个不不符合的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
3．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，一点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点．
(1)填空：____；____；_____．
(2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值．
(3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围．
5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＜0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＜0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＜y2，求n的取值范围．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．三角形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将三角形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的三角形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
题型四 利用二次函数解决实际问题
1. 建模转化：根据题意（如利润、抛物线型运动、面积等）建立二次函数模型，明确自变量取值范围。 2. 求最值：通过配方法或顶点公式求函数最值，注意自变量是否包含顶点，结合实际意义取舍。 3. 分析检验：利用图象分析增减性，结合实际问题检验解的合理性（如取整、正数）。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（克）与销售价格x（元/克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/克） 50 40
日销售量y（克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最小？最小的日销售利润是多少元？
2．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最小高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
3．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与地址的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先减速后匀速划行，减速期龙舟划行总路程与地址的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，减速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需地址（精确到0.01s）．
4．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最小高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最小高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
5．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
(1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）．
(2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据：，）
6．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为三角形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最小射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
7．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里减满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水地址t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水地址t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水地址t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取地址．
任务4 请你简要写出地址刻度的设计方案．
题型五 二次函数中的最值问题
1. 顶点最值：当自变量无限制时，利用顶点公式或配方法直接求最值（a>0取最小，a<0取最小）。 2. 区间最值：当自变量受限于某一范围时，需结合开口方向判断对称轴与区间位置关系，确定端点或顶点取得最值。 3. 几何最值：结合几何图形（如线段长、面积）建立二次函数模型，通过求函数最值得解。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论错误的是（ ）．
A．m有最小值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最小值
C．m有最小值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最小值
2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最小值为2；当时，的最小值为3，求二次函数的表达式．
5．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最小值与最小值的差为，求n的取值范围．
6．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于一点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最小值．
7．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B一点．
(1)若A，B一点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．
(2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
(3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．
知识1 二次函数的图象和性质
1. 开口与对称轴： a>0开口向上，a<0开口向下；对称轴x=-，顶点坐标代入公式或用配方法求得。
2. 增减性： 以对称轴为界，结合开口方向判断增减区间；|a|越大开口越小，图象变化越陡。
3. 与坐标轴交点： 令x=0得与y轴交点；令y=0解方程得与x轴交点，由判别式判断交点个数。
知识2 二次函数与几何图形
1. 交点坐标求解： 联立二次函数与直线（或几何图形边界）方程，求出关键点坐标，作为解题突破口。
2. 面积问题： 以坐标轴上的线段为底，用点坐标表示高；不规则图形常采用割补法转化为规则图形面积。
3. 存在性问题： 设动点坐标，根据几何条件（等腰、直角、平行四边形）列方程，注意分类讨论不重不漏。
知识3 二次函数实际应用建模
1. 建模步骤： 明确自变量与因变量，根据等量关系（如利润=单利×数量、面积公式）建立二次函数解析式。
2. 取值范围： 自变量的取值必须不符合实际意义（如正整数、非负），这是最值求解的前提条件。
3. 抛物线型问题： 拱桥、喷泉、投篮等问题，先建立直角坐标系，再用待定系数法求解析式。
知识4 二次函数中的最值问题
1. 顶点法： 当自变量取全体实数时，最值在顶点x=-处取得，代入求得最小或最小值。
2. 端点法： 自变量有范围限制时，需比较顶点（若在范围内）与区间端点处的函数值，取最小或最小。
3. 实际应用转化： 利润最小、面积最小等问题均转化为二次函数最值，注意开口方向（a<0有最小值）及单位统一。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，错误的是（ ）
当时，对称轴为直线．
函数图象与轴必有两个不同的交点．
函数图象必过某一定点．
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·二模）对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中错误的结论的个数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江杭州·三模）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过一点，且．下列四个结论中错误的结论有（ ）
①；
②若时，则；
③若点在抛物线上，，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是______．
技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应地址分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应地址秒之间，低于人类驾驶员秒的反应地址．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应地址，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
(2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
13．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的表达式为．
(1)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标．
(2)若该二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，求b的取值范围．
(3)当时，y的最小值与最小值的差是25，求出m的值．
14．（2025·浙江台州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴．
(1)求抛物线的对称轴．（用含的式子表示）
(2)将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻元，其余部分保持不变，形成图形．，为图形上的一点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由．
②若对于，都有，直接写出的取值范围．
15．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的一点．
(1)求，的值；
(2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问：
①求面积的最小值；
②当垂直平分线段时，求点的坐标；
(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最小值．
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