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专题05 反比例函数综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：反比例函数的图象和性质 题型二：反比例函数中K值的几何意义 题型三：反比例函数与一次函数结合 题型四：反比例函数与几何图形的综合 题型五：反比例函数的实际应用问题
必备知识 知识1 反比例函数的图象和性质 知识2 反比例函数中K值的几何意义 知识3 反比例函数与一次函数 知识4 反比例函数实际应用建模
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，反比例函数综合问题的命题形式主要为选择题、填空题和解答题，常结合几何图形或实际应用考查，位置分布广泛，填空压轴题出现频率高。 命题内容： 1. k的几何意义：考查与反比例函数图象相关的面积问题、三角形与三角形面积与k值的关系，是高频考点。 2. 函数综合应用：包括与一次函数、几何图形（三角形、四边形、正方形）结合的动态综合题，以及新定义问题。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
反比例函数图象与性质 T14：反比例函数图象上点的坐标特征 T6：反比例函数性质判断（增减性、象限） T5：反比例函数图象上点的坐标比较 T9：反比例函数图象与性质辨析 T9：反比例函数性质判断
反比例函数k的几何意义综合 T15：反比例函数k的几何意义与面积综合 T15：反比例函数k的几何意义与面积综合 T12：反比例函数k的几何意义 T15：反比例函数k的几何意义与面积综合
反比例函数与一次函数综合 T15：反比例函数与一次函数交点问题 T22：反比例函数与一次函数综合（图象交点、不等式） T19：反比例函数与一次函数综合（交点坐标、函数值比较） T19：反比例函数与一次函数综合（宁波卷） T17：反比例函数与一次函数综合
反比例函数实际应用 T19：反比例函数实际应用（物理压强问题） T18：反比例函数实际应用（密度计问题） T20：反比例函数实际应用（小孔成像问题） T19：反比例函数实际应用（杠杆原理）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 地位稳定：将继续作为重点考查内容，填空题压轴题地位突出。 2. 几何融合深化：与三角形相似、四边形等几何图形的结合将更减紧密。 3. 题型创新：可能以新定义形式出现，考查学生的即时学习与迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握反比例函数解析式求法及k的几何意义，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对面积问题、图象共存问题进行专项训练，掌握通性通法。 3. 强化综合：练习与几何图形结合的综合性题目，提升数形结合与分类讨论能力。 4. 关注创新：适应新定义试题，培养从复杂情境中抽象函数模型的能力。
题型一 反比例函数图象和性质
1. k定象限：k>0时，图象在一、三象限，y随x增大而减小；k<0时，图象在二、四象限，y随x增大而增大。 2. 对称性：反比例函数图象既是中心对称图形（关于原点对称），又是轴对称图形（关于直线y=±x对称）。 3. k的几何意义：图象上任意一点向坐标轴作垂线，所围三角形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。
1．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项错误的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，一点．下列错误的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
题型二 反比例函数中k值的几何意义
1. 面积定值：图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的三角形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 2. 借助对称：利用反比例函数图象的中心对称性，结合三角形或三角形面积进行转化求解。 3. 设参列式：设图象上关键点坐标，用含k的代数式表示几何图形面积，建立方程求k。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为小于0的常数，）图象上的一点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是________．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则=____．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________．

题型三 反比例函数与一次函数结合
1. 联立求交点：将两函数解析式联立方程，转化为一元二次方程求解交点坐标。 2. 图象定范围：观察图象，上方图象对应函数值大，据此确定不等式解集。 3. 面积转化：涉及三角形面积时，通常利用坐标轴上的点作底，采用割补法或铅垂高法求解。
1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于一点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )

A．或 B．或
C．或 D．或
2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
4．（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．
（1）若点的坐标为，
①求，的值．
②当时，直接写出的取值范围．
（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．
题型四 反比例函数与几何图形的综合
1. 设参表示：设图象上动点坐标（x,），利用几何性质（如全等、相似）建立方程。 2. 面积法：灵活运用k的几何意义及割补法，将几何图形面积转化为坐标关系求解。 3. 分类讨论：遇动态问题时，按点位置不同或图形存在性分情况讨论，避免漏解。
1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为三角形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当三角形OABC的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________．
2．（2022·浙江金华·中考真题）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为．
(1)求k的值及点D的坐标．
(2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
3．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．
①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．
（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
题型五 反比例函数的实际应用问题
1. 建立模型：审题识别反比例关系（如压力一定时压强与受力面积、行程一定时速度与地址），准确列出函数表达式。 2. 确定范围：根据实际情境确定自变量的取值范围（如边长、地址小于0）。 3. 结合实际：利用函数增减性分析变化趋势，结合图象解决最值或范围问题，注意解的合理性。
1．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．

(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
2．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≥m≥120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最小质量．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
知识1 反比例函数的图象和性质
1. 表达式与图象： 形如y=（k≠0），图象为双曲线，关于原点中心对称，关于直线y= x轴对称。
2. 象限分布： k>0时，图象在一、三象限；k<0时，在二、四象限。判断依据是k的符号。
3. 增减性： 每个象限内，k>0时y随x增大而减小；k<0时y随x增大而增大。跨象限不可直接比较大小。
知识2 反比例函数k值的几何意义
1. 三角形面积： 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所围三角形面积为|k|，这是核心结论。
2. 三角形面积： 该点与原点及垂足构成的三角形面积为|k|，常用于面积求解。
3. 应用技巧： 利用面积相等或比例关系求k值，结合对称性可简化计算，注意k的正负由象限决定。
知识3 反比例函数与一次函数
1. 交点求解： 联立反比例与一次函数方程，转化为一元二次方程求解交点坐标，利用判别式判断交点个数。
2. 大小比较： 通过图象位置比较函数值大小：上方函数值小于下方，注意以交点为界分段讨论。
3. 面积问题： 求两函数与坐标轴围成图形面积，常用割补法或转化为三角形面积求解。
知识4 反比例函数实际应用建模
1. 建模步骤： 识别实际问题中的反比例关系（如路程一定时速度与地址成反比），建立y=模型。
2. 取值范围： 自变量受实际意义限制（如长度、数量为正数），需在解集内讨论问题。
3. 图象应用： 利用双曲线分析变化趋势，解决工程进度、物理电学（电压一定时电阻与电流关系）等实际问题。
1．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是三角形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
4．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________．
5．（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______．
6．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B一点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______．
7．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴，轴分别相交于点，．
(1)求的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围．
(2)求证：．
8．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与地址成一次函数关系，第一次锻造造时温度与地址成反比例函数关系，开始制作后第8小时材料的温度为．
11．（2025·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
(1)求k的值和点B的坐标．
(2)若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D．
①求m的值．
②求的面积，
12．（2025·浙江·模拟预测）如图，点，分别为凸透镜的光心与焦点，直线为凸透镜的主光轴，．根据科学原理，若从光源射出的光线与平行，其元射光线必过点；若从光源 射出的光线过点，则光线不发生偏元，继续沿原方向传播．作于点，设，（其中）．
(1)如图1，若，判断光线，的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，若，光线，交于点，于点，设．
①当时，求的值；
②求关于的函数关系式，并在图3坐标系中画出该函数图象；
③比较与的大小．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 反比例函数综合问题
目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
真题动向 题型一：反比例函数的图象和性质 题型二：反比例函数中K值的几何意义 题型三：反比例函数与一次函数结合 题型四：反比例函数与几何图形的综合 题型五：反比例函数的实际应用问题
必备知识 知识1 反比例函数的图象和性质 知识2 反比例函数中K值的几何意义 知识3 反比例函数与一次函数 知识4 反比例函数实际应用建模
命题预测
命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，反比例函数综合问题的命题形式主要为选择题、填空题和解答题，常结合几何图形或实际应用考查，位置分布广泛，填空压轴题出现频率高。 命题内容： 1. k的几何意义：考查与反比例函数图象相关的面积问题、三角形与三角形面积与k值的关系，是高频考点。 2. 函数综合应用：包括与一次函数、几何图形（三角形、四边形、正方形）结合的动态综合题，以及新定义问题。
热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年
反比例函数图象与性质 T14：反比例函数图象上点的坐标特征 T6：反比例函数性质判断（增减性、象限） T5：反比例函数图象上点的坐标比较 T9：反比例函数图象与性质辨析 T9：反比例函数性质判断
反比例函数k的几何意义综合 T15：反比例函数k的几何意义与面积综合 T15：反比例函数k的几何意义与面积综合 T12：反比例函数k的几何意义 T15：反比例函数k的几何意义与面积综合
反比例函数与一次函数综合 T15：反比例函数与一次函数交点问题 T22：反比例函数与一次函数综合（图象交点、不等式） T19：反比例函数与一次函数综合（交点坐标、函数值比较） T19：反比例函数与一次函数综合（宁波卷） T17：反比例函数与一次函数综合
反比例函数实际应用 T19：反比例函数实际应用（物理压强问题） T18：反比例函数实际应用（密度计问题） T20：反比例函数实际应用（小孔成像问题） T19：反比例函数实际应用（杠杆原理）
命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 地位稳定：将继续作为重点考查内容，填空题压轴题地位突出。 2. 几何融合深化：与三角形相似、四边形等几何图形的结合将更减紧密。 3. 题型创新：可能以新定义形式出现，考查学生的即时学习与迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握反比例函数解析式求法及k的几何意义，确保基础题不失分。 2. 突破中档：针对面积问题、图象共存问题进行专项训练，掌握通性通法。 3. 强化综合：练习与几何图形结合的综合性题目，提升数形结合与分类讨论能力。 4. 关注创新：适应新定义试题，培养从复杂情境中抽象函数模型的能力。
题型一 反比例函数图象和性质
1. k定象限：k>0时，图象在一、三象限，y随x增大而减小；k<0时，图象在二、四象限，y随x增大而增大。 2. 对称性：反比例函数图象既是中心对称图形（关于原点对称），又是轴对称图形（关于直线y=±x对称）。 3. k的几何意义：图象上任意一点向坐标轴作垂线，所围三角形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。
1．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项错误的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C错误，选项A错误．
当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误．
．
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
3．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，一点．下列错误的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，一点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
．
题型二 反比例函数中k值的几何意义
1. 面积定值：图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的三角形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 2. 借助对称：利用反比例函数图象的中心对称性，结合三角形或三角形面积进行转化求解。 3. 设参列式：设图象上关键点坐标，用含k的代数式表示几何图形面积，建立方程求k。
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为小于0的常数，）图象上的一点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是________．
【答案】2
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，

故答案为：2．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则=____．
【答案】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，又根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据反比例函数的解析式可得，从而可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
，，
，，
轴，轴，
，
，
，即，
，
又轴，轴，
，
，
，即，
解得，，
将代入反比例函数得：，
，
，
由得：，
，
，
，
解得，
即，
故答案为：．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________．

【答案】24
【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为三角形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是三角形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
题型三 反比例函数与一次函数结合
1. 联立求交点：将两函数解析式联立方程，转化为一元二次方程求解交点坐标。 2. 图象定范围：观察图象，上方图象对应函数值大，据此确定不等式解集。 3. 面积转化：涉及三角形面积时，通常利用坐标轴上的点作底，采用割补法或铅垂高法求解。
1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于一点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于一点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
．
2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【详解】解：∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为或，
．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）如图所示，

由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
4．（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．
（1）若点的坐标为，
①求，的值．
②当时，直接写出的取值范围．
（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．
【答案】（1）①，；②；（2）0
【分析】（1）①根据点A关于轴的对称点为点，可求得点A的坐标是，再将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；②观察图象可解题；
（2）将点B代入，解得的值即可解题．
【详解】解（1）①由题意得，点A的坐标是，
因为函数的图象过点A，
所以，
同理．
②由图象可知，当时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，
即当时，．
（2）设点A的坐标是，则点的坐标是，
所以，，
所以．
题型四 反比例函数与几何图形的综合
1. 设参表示：设图象上动点坐标（x,），利用几何性质（如全等、相似）建立方程。 2. 面积法：灵活运用k的几何意义及割补法，将几何图形面积转化为坐标关系求解。 3. 分类讨论：遇动态问题时，按点位置不同或图形存在性分情况讨论，避免漏解。
1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为三角形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当三角形OABC的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________．
【答案】 （，0）
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据三角形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【详解】解：如图，
作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b，），D（a，），
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，
∴OI=BI，
∴DI=CI，
∴，
∵∠CID=∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI=∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD=S△AOB=S三角形AOCB=，
∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD=S△BOD=，
∴ (+) （a-b）=，
∴2a2-3ab-2b2=0，
∴（a-2b） （2a+b）=0，
∴a=2b，a=-（舍去），
∴D（2b，），即：（2b，），
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2=OB2，
∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2，
∴b=，
∴B（，2），D（2，），
∵直线OB的解析式为：y=2x，
∴直线DF的解析式为：y=2x-3，
当y=0时，2x-3=0，
∴x=，
∴F（，0），
∵OE=，OF=，
∴EF=OF-OE=，
∴，
故答案为：，（，0）．
2．（2022·浙江金华·中考真题）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为．
(1)求k的值及点D的坐标．
(2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标；
（2）由C、D一点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围；
【详解】（1）解：把C（2，2）代入，得，，
∴反比例函数函数为（x＜0），
∵AB⊥x轴，BD=1，
∴D点纵坐标为1，
把代入，得，
∴点D坐标为（4，1）；
（2）解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间，
∴点P的横坐标：；
3．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．
①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．
（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，
，
轴，
，
∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，
，
，
，
∴当时，则，即．
；
（2）解 不改变．
理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，
由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=70°，
∴，
，
即，
∴，
，
解得，
异号，，
，
．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
．
题型五 反比例函数的实际应用问题
1. 建立模型：审题识别反比例关系（如压力一定时压强与受力面积、行程一定时速度与地址），准确列出函数表达式。 2. 确定范围：根据实际情境确定自变量的取值范围（如边长、地址小于0）。 3. 结合实际：利用函数增减性分析变化趋势，结合图象解决最值或范围问题，注意解的合理性。
1．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．

(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【答案】(1)．
(2)该液体的密度为．
【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
2．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≥m≥120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最小质量．
【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最小质量为115克．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；
（4）把时，代入，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最小质量为115克．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都不符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
知识1 反比例函数的图象和性质
1. 表达式与图象： 形如y=（k≠0），图象为双曲线，关于原点中心对称，关于直线y= x轴对称。
2. 象限分布： k>0时，图象在一、三象限；k<0时，在二、四象限。判断依据是k的符号。
3. 增减性： 每个象限内，k>0时y随x增大而减小；k<0时y随x增大而增大。跨象限不可直接比较大小。
知识2 反比例函数k值的几何意义
1. 三角形面积： 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所围三角形面积为|k|，这是核心结论。
2. 三角形面积： 该点与原点及垂足构成的三角形面积为|k|，常用于面积求解。
3. 应用技巧： 利用面积相等或比例关系求k值，结合对称性可简化计算，注意k的正负由象限决定。
知识3 反比例函数与一次函数
1. 交点求解： 联立反比例与一次函数方程，转化为一元二次方程求解交点坐标，利用判别式判断交点个数。
2. 大小比较： 通过图象位置比较函数值大小：上方函数值小于下方，注意以交点为界分段讨论。
3. 面积问题： 求两函数与坐标轴围成图形面积，常用割补法或转化为三角形面积求解。
知识4 反比例函数实际应用建模
1. 建模步骤： 识别实际问题中的反比例关系（如路程一定时速度与地址成反比），建立y=模型。
2. 取值范围： 自变量受实际意义限制（如长度、数量为正数），需在解集内讨论问题。
3. 图象应用： 利用双曲线分析变化趋势，解决工程进度、物理电学（电压一定时电阻与电流关系）等实际问题。
1．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的图象和性质；根据一次函数过点得到一次函数解析式，分别讨论当时，当时的函数图象，再结合题意列出不等式，计算求解即可．
【详解】解：将点代入，得，
解得，故一次函数为．
当时，代入，，
反比例函数过第一、三象限，
当时，
一次函数，过第二、三、四象限，
不满足当时，恒成立，
当时，如图，
当时，，
∵当时，恒成立，
∴，
解得：，
．
2．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B一点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断．
【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不错误，不不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B错误，不符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不错误，不不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不错误，不不符合题意．
3．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是三角形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【分析】先设出点的坐标，利用三角形面积与反比例函数的几何意义建立联系，再根据阴影部分面积与三角形面积的关系，推导出的值．
【详解】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得三角形的面积为，阴影部分面积为三角形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
4．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程．
作轴交轴于，作轴交轴于，根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，，即，代入可求出，设，根据三角函数可知，，则，可得，求出，即可求出的值．
【详解】解：如图，作轴交轴于，作轴交轴于，
∵菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
即，
∵过C点的反比例函数部分图像交于点D，
∴，
即，
∵，，
∴，
设，则，，
∴，
即，
∵过C点的反比例函数部分图像交于点D，
∴，
整理得：
解得，（舍去）
∴．
故答案为：．
5．（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据图像找出一次函数图像在反比例函数图像下方时的取值范围即可．
【详解】解：根据函数图像可知，当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
即当或时，，
∴的取值范围为：或．
6．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B一点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B一点关于原点对称，得到，继而，可得k值．
【详解】解：正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B一点，
，，
，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：
7．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴，轴分别相交于点，．
(1)求的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围．
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，直角坐标系中的一点距离公式，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键．
（1）将代入，即可求出的值，根据图象便可以直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围；
（2）利用，可求出直线的解析式，再分别求出和，结合，，可求出和，则可得，即可证明．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：，
根据图象可得当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，得：，
∴，
令，得：，
解得：，
∴，
∵点，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
8．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与地址成一次函数关系，第一次锻造造时温度与地址成反比例函数关系，开始制作后第8小时材料的温度为．
(1)求第一次锻造操作的时长；
(2)求第二次开始锻造的地址．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．
（1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案；
（2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的地址，即可得答案．
【详解】（1）解：材料锻造时，设，
由题意得，解得，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，
所以第一次锻造操作的时长是；
（2），所以煅烧时温度每小时上升，
，所以第二次煅烧需要，
，所以第二次开始锻造的地址是第．
9．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围．
素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，．
素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）．
任务1：求I关于R的函数表达式；
任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围．
【答案】任务1∶ ；任务2∶ ．
【分析】任务1∶ 利用待定系数法解答即可；
任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可．
本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键．
【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)．
将， 代入，
得，
解得，
关于的函数表达式为．
任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为，
，
，
，
随的增大而减小，
当时值最小， 最小，
当时值最小， 最小，
，
，
，
的取值范围为．
10．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始减热，此过程中水温与开机地址（分）满足一次函数关系，当减热到时自动停止减热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机地址（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始减热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当时，求水温与开机地址（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小王在通电开机后即外出散步，小时后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
（1）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出下降过程中水温与开机地址（分）的函数关系式并将坐标代入，求出t即可；
（3）分别求出减热和放热过程中温度为时对应的地址，即水温从减热到需要的地址，继续减热到再降到需要的地址，从而计算当时，减热过程中水温为时对应的地址和放热过程中水温为时对应的地址，再根据图象直接写出这个地址段内饮水机内温度不低于时t的取值范围即可．
【详解】（1）解：当时，设水温与开机地址（分）的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
此函数解析式为：；
（2）解：当，设水温与开机地址（分）的函数关系式为：，
依据题意，得：，
即，
故，
当时，，
解得：；
（3）解：当时：
当时，解得，
当时，解得，
∴水温从减热到需要小时，继续减热到再降到需要20小时，
∴当时，减热过程中水温为时对应的地址为（分），放热过程中水温为时对应的地址为（分），
根据图象，要使得回家时饮水机内温度不低于，t的取值范围为．
11．（2025·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
(1)求k的值和点B的坐标．
(2)若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D．
①求m的值．
②求的面积，
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，错误求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可；
（2）①先表示出平移后的直线解析式，进而利用待定系数法求出平移后的解析式，即m的值；②求出点D坐标，再根据列式求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴；
（2）解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为，
∵函数的图象经过，
∴，
③比较与的大小．
【答案】(1)，见解析
(2)①1；②，见解析；③当时，；当时，即；当时，即
【分析】（1）利用，可证四边形是三角形，再证四边形为平行四边形，从而得出结论．
（2）①当时，可证则可推出，即可计算结果；②由可证，可得，最后算出结果；③需要分类讨论，当或可得结果.
【详解】（1）解：∵，
∴
∴四边形是三角形，
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴．
（2）①∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴
∴，即．
②∵，
∴．
∴，即．
∴，即．
∴．
图象如下：
③由图象可知，当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
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