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上海市黄浦区2026届高三二模考试数学试卷
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.若，是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.设函数的定义域为，则下列结论：若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，，或若对任意的，，，则是奇函数或偶函数其中正确的说法是．
A. 和均正确 B. 正确，错误
C. 错误，正确 D. 和均错误
4.若无穷数列的首项为，且对任意的，的前项和都可以表示成的两项之差，则称为数列，所有数列组成的集合为集下列结论正确的是．
A. 任意一个数列均不是等差数列 B. 任意一个数列均不是等比数列
C. 集中含有且仅含有有限个等差数列 D. 集中含有无穷多个等比数列
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.若，，则 ．
6.若直线与垂直，则的值为 ．
7.底面半径为、母线长为的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为 ．
8.在公比为正数的等比数列中，，，则的值为 ．
9.在的展开式中，含项的系数为 ．
10.如图是某班级名学生某次数学测验的得分茎叶图茎为十位，叶为个位，则这些测验分数的第百分位数是 ．
11.已知，且，则的值为 ．
12.在复平面内，点，，分别表示复数，，，已知，，，且，则向量与的夹角为 ．
13.某射击社团共有名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为 ．
14.已知曲线与曲线交于两点，，点是的焦点，点是坐标原点若，则的离心率为 ．
15.在空间直角坐标系中，将点集，，，所表示的立方体的表面满足的部分记为，同时满足“”与“或”的点的集合所表示几何体的体积为 ．
16.如图所示，某圆形游乐园的半径为米，其圆心在点处，游乐园内有一圆形广场，其半径为米，圆心在与点相距米的点处，游客中心位于圆形广场的边界线与，连线的交点处现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点，，在这两处各建一座游乐设施其占地大小忽略不计，将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为，且出发地共享单车供应充足．
求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率
已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率
设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量的分布，并计算其数学期望和方差．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，上的点点异于点，且．
求证：平面平面
若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小．
19.本小题分
已知．
求函数的最小正周期与单调增区间；
将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：图象关于点对称；有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围．
20.本小题分
已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、．
求点、的坐标；
若，求直线的方程；
设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值．
21.本小题分
对于公共定义域为的函数与，定义集合．
若，，求；
若，，且，求的最小值；
已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得若，，且，求证：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.
16.平方米
17.解：在本周某天，设“小明上学出发时下雨”为事件，“小明选择骑共享单车去学校”为事件．
由，，，，
所以，
故小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为．
由，
故小明出发时不下雨的概率为．
由题意知，
则，
，
，
，
可知的分布为
则的数学期望，
方差．
18.证明：三棱柱是直三棱柱，平面，
又平面，，
又，与为平面内的两条相交直线，
平面，
又平面，
平面平面．
解：由平面，平面，可知，
又因为是正三角形，所以．
设，
由，，
可得，故CE，
以为原点，以过且与平行的直线为轴，，分别为，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设是平面的一个法向量，
则有可取．
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角的大小为．
19.解：因为，
所以函数的最小正周期为，
由，可得，
所以函数的单调增区间为．
由知，
将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象，
所以，
由的图象关于点对称，可得，
所以，解得，
又，可知，故，
当时，，
由知，解得，
故的取值范围是．

20.解：椭圆的半焦距，故、．
由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、，
将代入，得，则，
故，，
又，，
，解得，
所以直线的方程为或．
设线段的中点为，由知，，
直线的斜率，
易知直线的方程为，
将代入直线的方程，可得，
直线的斜率，
因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立，
则，解得，
故存在唯一的常数，使得平分线段．
此时，
，所以，
令，则，故当且仅当时，，
所以的最大值为．

21.解：由题意，．
因为，所以．
当 时，等号成立．故．
令．
由题设可知，的值域为非负实数集，从而其最小值为．
设 时取到最小值，则，且，
因为所以．
又由，得即．
从而．
由 可得故
令，则当且仅当 时，等号成立．
此时，由 得，于是，又，故所以 的最小值为．
法一：由可知，对任意，都有．
而所以
已知存在正数，使得．
对任意整数，令．
由式可得即．
所以为常量，即对任意，都有．
于是
下面证明．
先证对任意都成立．
任取，必存在，使．
因为在上为增函数，所以．
故对任意，都有
再由式知且．
由于的图像是连续曲线，且在上单调递增，因此的值域为．
又因为所以
当取遍时，也取遍．
故．
法二：
由 可知，对任意，都有．
而所以
已知存在正数，使得．
先证明：对任意整数，都有
当时，由式反复应用可得．
当时，显然．
当时，设，则由式得，
故．
反复使用上式可得．
所以式对任意整数都成立．
由式知且．
又因为在上单调递增，且图像连续，所以．
由，可得．
于是．
法三：
由 可知，对任意，都有．
而所以
已知存在正数，使得．
由式对正整数反复迭代，可得．
从而．
同理，对负整数部分可得，
于是对任意，都有
由式知且．
又因为在上连续且单调递增，所以．
再由可得．
故．

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