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上海市杨浦区2026届高三第二学期模拟质量调研数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
2.事件、相互独立，若，，则与同时发生的概率为 ．
A. B. C. D.
3.已知函数和的定义域都为且都存在导函数若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是．
A. 是的极大值点，也是的极大值点
B. 是的极小值点，也是的极小值点
C. 是的极大值点，也是的极小值点
D. 是的极小值点，也是的极大值点
4.已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：
若，则对任意，数列都不是“加速数列”
若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项
若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得
正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是．
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设全集，，用列举法表示 ．
6.计算 ．
7.若幂函数的图像经过点，则实数 ．
8.在的二项展开式中，常数项的值为 ．
9.设正实数满足，则的最小值为 ．
10.不等式的解集为 ．
11.已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为 ．
12.直线的一个法向量是，则实数 ．
13.已知随机变量服从二项分布，若，则 ．
14.设集合，，若，则实数的取值范围是 ．
15.掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点正上方米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示已知实心球轨迹最高点距离地面米，若要成绩不小于米实心球落地点到起掷点的距离，则出手角度的最大值为 精确到
16.记、、、是空间中的个不同的非零向量，满足：其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量其中任意三个向量、、均不能使成立则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩该班级共人，将得分由高到低平均分为四组，第一组均分最高的一组的数据为．
求第一组的得分的均值与中位数；
若从第一组中等可能的选取名学生，求人得分都在分以上的概率；
兴趣小组考察某客观题的得分情况将前名学生作为高分组，后名学生作为非高分组；前名学生中人答对该题，后名学生中人答对该题据此，填写表格，并判断是否有的把握认为答对该题与进入高分组有关
附：，，，．
高分组 非高分组 总计
某客观题答对
某客观题答错
总计
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，．
设是的中点，求证：平面
若直四棱柱的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
19.本小题分
已知函数常数
若，在中，角、、的对边分别为、、若，，求角的大小；
若的最小正周期为，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像当时恒有，求的取值范围．
20.本小题分
已知、分别是双曲线：常数的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为．
求双曲线的离心率和渐近线的方程；
设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点的坐标；
设，过作两条相互垂直的直线与双曲线交于、两点在第一象限，若直线、分别与交于、两点，且与的面积之比为，求直线的方程．
21.本小题分
设函数的定义域为，值域若且满足，则称与构成“函数的线性对”．
若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；
若，若对于任意常数，都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；
函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对求证：对任意，．
参考答案
1.
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7.
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9.
10.
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14.
15.
16.
17.解：第一组共个数据的均值为：，
第一组共个数据按从低到高排序：，
中位数为第、个数的平均值，即，
所以第一组的得分均值为，中位数为；
第一组中，得分在分以上的共有人，从人中任选人：
总选法数：，
两人都在分以上的选法数：，
所以人得分都在分以上的概率为：；
根据题意填写列联表：
高分组 非高分组 总计
答对
答错
总计
零假设：认为答对该题与进入高分组无关，
计算卡方：
根据独立性检验规则，可知没有的把握认为答对该题与进入高分组有关．

18.解：连接，直四棱柱中，
，，是的中点，，
则，所以为平行四边形，
则有．
又不在平面内，平面，
所以平面D.
梯形的面积，
，则．
过作，交于，连接，
直四棱柱中，平面，
则为在平面内的射影，
由，有，
所以即为平面与平面所成的锐二面角，
中，，，有，
又，则，
，
所以锐角．
19.解：时，函数，，，
中，，所以，
，由正弦定理可得，，
由，所以．
函数常数，的最小正周期为，
所以，得，即，
所以，
时，，则有，此时，
当时恒有，则有，解得，
所以的取值范围为．

20.解：由可得，则，则，
故双曲线的离心率，
渐近线的方程为；
由，则双曲线方程为，，设，
则线段的中点的坐标为，
有，解得，故点的坐标为；
由，则双曲线方程为，、，
由题意可得直线斜率存在且不为，
设直线的方程为，则直线的方程为，
，解得或，则，
由在第一象限，则，解得，
，解得，即，
则，即，
，即，
，
即，则，又，故，
即直线的方程为，整理得．

21.解：因为，，
所以，满足值域且，
即与是构成函数的线性对；
由题意，，需满足，
代入整理得：，
因为，所以要求，
又，故，由等式可得：，
对任意都存在满足条件的，故，
所以的取值范围；
由是上的奇函数，可得，；
则，即是线性对，
由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对，
所以有，
因为定义在上，所以通过迭代可得：，
又由题设大前提，的值域，
若值域内存在正数，必存在，使得，
此时，而，显然，
即值域内不存在正数；
若值域内存在负数，必存在，使得，
此时，而，显然，
即值域不存在负数，
因此对任意，，问题得证．

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