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上海市普陀区2025-2026学年高三第二学期命题指导研修数学样卷
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.已知直线、和平面，若，则“与不相交”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.设、、，若，则下列结论中不可能成立的是( )
A. B. C. D.
3.某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有名红色工牌员工、名蓝色工牌员工，乙部门有名红色工牌员工、名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙个部门中随机各选取名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为( )
A. B. C. D.
4.在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”点是“圆”上的任意两点，为坐标原点对如下两个命题：
若点、，则的值不可能等于；
若，则的取值范围为．
则下列结论中正确的是( )
A. 为真为真 B. 为真为假 C. 为假为真 D. 为假为假
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量单位：万辆为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为 万辆．
6.已知复数满足，其中为虚数单位，则 ．
7.已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为 ．
8.设，若关于的不等式的解集是，则的值为 ．
9.设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为 结果用数值表达
10.某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：、、、、、、，若该机器人经过的点的纵坐标关于横坐标的一元线性回归方程是，则的值为 ．
11.设，，是等差数列的前项和，且公差，若，且，，成等比数列，则 ．
12.在中，，，过点作直线，将绕直线旋转一周所得到的几何体记为，若的体积是，则的表面积为 ．
13.已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则 ．
14.设，集合，，若集合，且满足条件的恰有个，则的取值范围为 ．
15.设定义域为的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为 ．
16.设，，，是等比数列的前项和，且，公比为，令，若恰存在个的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，、分别是棱、的中点，且．
求证：直线平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
点、分别满足，，，，求的值．
19.本小题分
年全国普通高中生均经费单位：元如下表所示：
年份
生均经费
年份
生均经费
年全国两会明确，“十五五”年期间将深入实施县域普通高中振兴计划，持续增加普通高中生均经费的投入与学位供给．
设上表中年生均经费的平均数为，现从这个数据中不放回地随机抽取两个不同的数据，已知抽取的两个数据中至少有一个低于，求两个数据都低于的概率；
在评估不同发展阶段的投入稳定性时，不仅看波动幅度，还需考虑增长基数，统计学中常用变异系数来衡量相对自身水平的波动程度将作为阶段，作为阶段，分别计算、两阶段生均经费的标准差和变异系数结果均精确到，根据计算结果，你认为哪个阶段的投入更稳定；
教育经济学研究显示，生均经费每增长，可带动学位供给增长；而学位供给每增长，可带动毛入学率约增长已知年全国高中阶段毛入学率为，“十五五”规划目标是在此基础上再提升个百分点，根据预算报告，预计“十五五”期间生均经费年增长率可保持请据此预测年全国高中阶段毛入学率，并判断的增速能否支撑规划目标的实现．
20.本小题分
设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点．
若点的坐标为，求双曲线的方程；
若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值；
设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围．
21.本小题分
已知、为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是函数．
设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为函数，并说明理由；
设、为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为，若函数和函数不是函数，求的最小值；
设、、为实数，函数的表达式为，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是函数，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.．
17.解：如图，连接，
由正三棱柱的结构特征可知，
在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面．
因为是棱的中点，所以，
因为平面，所以平面平面．
又平面平面，所以平面．
又平面，所以．
因为，所以矩形为正方形，所以，
又，所以，
因为平面，，所以直线平面．
方法一：设点到平面的距离为，
因为平面，所以到平面的距离相等，都为．
由知，侧面均为正方形，所以，，
又，所以为等腰三角形，所以．
又，即，
所以，解得，即点到平面的距离为．
方法二：取的中点，连接，由可知两两互相垂直，
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
即，所以点到平面的距离为．

18.解：因为，
设外接圆半径为，由正弦定理，，，
代入可得，
所以，
即，
因为在中，，所以，
即，
因为，所以，所以，
化简得：，
解得，即，
因为，所以．
由，所以，
所以，即，同理由得，
所以是的外心，所以，
因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
所以，，所以，
所以
，
，
，
得到，
而，所以，
因为，所以，得，
而，所以，
由正弦定理，所以，
又因为，所以，
化简得，所以，
所以，
因为，所以，
代入计算，所以．

19.解：由表格中的数据可得，
记事件抽取的两个数据中至少有一个低于，事件抽取的两个数据都低于，
表格中的个数据，其中小于的数据有个，大于的数据有个，
则，，
由题意可知，由条件概率公式可得，
所以，已知抽取的两个数据中至少有一个低于，则这两个数据都低于的概率为．
对于阶段，生均经费的平均数为，
标准差为
，
变异系数为，
对于阶段，生均经费的平均数为，
标准差为
，
变异系数为，
所以，故阶段的投入更稳定．
年毛入学率年增长率为，
故年的毛入学率为
故的增速能支撑．

20.解：由题意可知，则，则双曲线的方程可化为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
所以双曲线的方程为．
由可知，双曲线的方程为，即，
设点、，易知点、关于原点对称，则，
因为，所以，故，
所以．
因为，所以双曲线的方程为，即，
易知点、、，
设点、，则、，
联立得，
则，可得
由韦达定理可得，，故，
直线的方程为，在该直线方程中令可得点，
直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
即，
由得，代入式得，
故，解得，
所以，可得，
所以
因为，故直线恒过右焦点，
由双曲线的定义可得，，
故的周长为
即周长的取值范围是．

21.解：，，
，，
，且，
所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为函数；
，，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
函数和函数不是函数，
所以，即，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是；
是减函数，又，所以，
，，
是上的增函数，
依题意，存在，使得且，
由得，代入得，
整理得，即，
设，则式为，
易知是增函数，所以，，，
设，
则，时，，递增，时，，递减，
所以，又，
所以的取值范围是
所以的取值范围是．

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