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广东茂名市2026年高三下学期第二次综合测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，直线与以的短轴为直径的圆交于点不同于，若为原点为正三角形，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在区间上的函数，且，，则( )
A. 只有个零点 B. 有个零点
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，则( )
A. B. 在上的投影向量的模为
C. D. 与所成的角为
10.已知是定义在上的函数，且，，则( )
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称 D. 是的周期
11.已知等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. 当时，最大
C. 当时， D. 数列的最小项为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的焦距为 ．
13.若函数在区间上有且仅有个零点，则的最小值为 ．
14.已知这个正整数的随机排列为，，，记，，，，，事件为“，，，满足”，则事件的概率为 ，事件的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取名女学生的立定跳远成绩单位：厘米进行分析，得到如下频率分布表．
成绩区间
频率
计算这名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
规定成绩在区间，，分别为，，等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取人，再从人中随机抽取人进行示范．记示范学生中成绩等级的人数为，求的分布列与．
16.本小题分
已知等比数列满足，，．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前项和．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若存在小于的极小值，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在矩形中，，，为的中点，把沿翻折至，为线段上的动点．
当为的中点时，证明：平面；
在翻折过程中，若在平面内的投影落在边上，且三棱锥的各个顶点均在球的球面上．
(ⅰ)求球的半径；
(ⅱ)求平面与平面的夹角的最小值．
19.本小题分
已知，是抛物线与的公共点，为坐标原点，．
求的值；
在最左侧是上不同于的三点，直线与相切，切点分别为，点为的重心．
(ⅰ)证明：在轴上，且；
(ⅱ)若，求的值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：这六个区间中，频率最大为，该区间为，则这名学生立定跳远成绩的众数的近似值为厘米，
平均数，
所以这名学生立定跳远成绩的平均数的近似值为厘米．
由分层抽样，可知等级对应人，等级对应人，等级对应人．
从人中选人，共种．
的所有可能取值为，，，
则，，．
则的分布列为
．

16.解：设等比数列的公比为，依题意可得，，，故，
又，解得负值舍去，故，
所以数列的通项公式为；
由知，所以，
，
当时，，
当时，．
所以，
由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，为正整数．
若，则，公共项为；
若，则由，可得，必须为偶数，令，，
则公共项为．
故且从第项起，是以为首项、为公差的等差数列，
即，
所以数列的前项和为．

17.解：的定义域为，且
当时，则，所以在区间上单调递增；
当时，，令，可得，
时，，时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
由可知若，在区间上单调递增，没有极值点，故，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则在处取到极小值，
则，即．
令，由，故单调递增，且，
因此，即的取值范围为．

18.解：如图，
取的中点，连接，，
由题意知，四边形是平行四边形，所以．
平面，平面．
，分别为，的中点，．
又平面，平面，
平面，又，所以平面平面，
平面，平面．
过作于，连接，
在平面内的投影在边上，平面，
又平面，即，
又，故平面，即．
，，，
，．
又，所以，则，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，
设三棱锥外接球的球心为点，外接球半径为，
因为点，，，均在球的球面上，所以，
解得
则三棱锥外接球的半径为．
(ⅱ)解：由(ⅰ)，可得，，
设平面的一个法向量为，
则即
可取．
因为，为线段上的动点，
可设，则，
即，，
设平面的一个法向量为，
则即
可取，
设平面与平面的夹角为，则，
当时，，为最大值；
当时，，
故时，取到最大值，即平面与平面的夹角的最小值为．

19.解：设，其中，，
因为是抛物线：与：的公共点，
可得，解得，则，
又因为，所以，
则，可得，
因为，可得；
证明：由知，，
设，，，
因为，
所以直线方程为，
联立直线与的方程，消去得，，
因为直线与相切，所以由，可得，
同理，所以，为关于的方程的两根，
故，，即，，
设的重心，则，所以点在轴上，
而，
因为点在最左侧，由知：，且，否则，
则，，从而，矛盾；
设，，则在区间上单调递减，
故，则．
(ⅱ)由，即的面积是的面积的倍，
由知，，同理，
则，
，
所以
，
所以，得，解得，
而直线斜率为，
直线斜率为
，
因此，所以，于是，即为的中位线，
设点到直线的距离为，则由为的重心及中位线的性质，
可知点到直线的距离为，且点到直线的距离为，
因此与的面积之比为．

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