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江苏省南通中学等校2026届高三下学期4月质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若含有个元素，则( )
A. B. C. D.
2.已知五个数，，，，的极差为，方差为，则，，，，的( )
A. 极差为，方差为 B. 极差为，方差为
C. 极差为，方差为 D. 极差为，方差为
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的倍，则其底面圆的半径为( )
A. B. C. D.
6.若直线是曲线的一条切线，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，则( )
A. B. 是增函数
C. D.
10.数列的前项和记为，，且，，则( )
A. B. 为等差数列
C. D. 中有最大项也有最小项
11.已知是抛物线的焦点，是上一点，是圆的一条直径，则( )
A. B. 的面积最大值为
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 ．
13.已知，两点在函数的图象上，，两点在函数的图象上，且平行于轴，和平行于轴若线段的长度是线段长度的倍，则线段长度为 ．
14.记的三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，．
当时，记集合，求中元素之和；
求的最小值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，四边形是梯形，，，为矩形两条对角线的交点，且平面．
证明：；
若，直线与平面所成角的正弦值为，求；
平面将该四棱柱分成上下两部分，求上下两部分的体积之比．
18.本小题分
已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点设的斜率为，直线的斜率为，．
求椭圆的方程；
若为直角三角形，求的值；
直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？
19.本小题分
一盒子中共有个大小质地完全相同的小球，其中个红球，个黑球从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为．
求恰好次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率；
求随机变量的分布列；
证明：．
参考答案
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14.
15.解：当时，由，
得，
所以，解得，
所以，则，
由，得，
因为，所以，
所以中元素之和为；
由，得，
所以，
所以，
令，则，
所以，
当且仅当，即，即时取等号，
所以的最小值为．

16.解：当时，，
所以．
令，得，
且当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
．
当时，，
因为，所以在上单调递减．
当时，，
由，
令，得．
当，即时，，
所以在上单调递增．
当，即时，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．

17.解：如图，连结，因为为矩形两条对角线的交点，所以为的中点．
取的中点，连结，则，且，
因为，所以．
因为平面，平面，平面平面，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
所以．
因为直四棱柱中，且，
故以为原点，为正交基底建立如图空间直角坐标系．
则，设，则．
所以．
设平面的一个法向量，则，即
令，则，所以．
设直线与平面所成角为，
则，即，
化简整理得，得或，解得舍去或舍去．
所以或．
取的中点的中点，连结．
由证明过程可知，平面截四棱柱的截面为四边形，
截得下面部分为直三棱柱和四棱锥．
设，则．
所以三棱柱的体积，
四棱锥的体积，
所以下面部分的体积为．
而四棱柱的体积，
所以上面部分的体积为，
所以上下两部分的体积之比为．

18.解：设，则，两式相减，得，即．
因为为的中点，所以，
所以直线的斜率为，所以，
所以，即．
因为椭圆的焦距为，所以，又因为，
解得，所以椭圆的方程为．
设直线的方程为设，如图：
将代入方程，消得，
，解得．
则．
若时，有，即，，
即，
所以，化简整理得，解得，符合；
若时，则，即，所以．
又因为，联立方程组解得或舍去，
所以，所以，符合．
若时，则，即，所以．
又因为，联立方程组解得或舍去，
所以，所以，符合．
综上，或．
由直线的方程，知．
因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为，
令，得点的横坐标为，因为，
所以，
所以为定值．

19.解：设“恰好次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件，
根据操作的规定，事件发生即“恰好次操作后盒子中个球的颜色都为黑色”，次操作，其中次取出红黑，另一次取出红，
所以；
操作次后，的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为
记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为，
设，，
则，，
则，
，
，
，
所以
，
所以，
又，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以．

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