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安徽滁州市2026届高三第二次教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则复数的模为( )
A. B. C. D.
3.若，是方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
4.已知某班位同学的体重单位：分别为，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 平均数为 C. 第三四分位数是 D. 方差为
5.若向量，为单位向量，且，则与夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6.试估计精确到( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是( )
A. B.
C. D.
8.年清远全市春运返程车流量已破历史高峰，特别是南下车流占比较大，为缓解南行车流压力，清远市交警在许广高速清远段实施区间“借道通行”交通管制措施，被网友俗称“潮汐车道”如图为某地时南下车辆的平均速度随时间变化的曲线，表格是北上车辆在部分时刻监测到的车辆平均速度根据高速流量监控系统设置，当北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度的差超过时，系统将自动开启向北上车道“借道通行”，请选择适当的三角函数模型，并据此判断在时，“借道通行”的总时长约为( )
时间
平均车速
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两条直线和交于点，则( )
A. 直线必过点
B. 点在圆上
C. 点到直线距离最小值为
D. 点的轨迹与圆有三条公切线
10.已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. ，，成等比数列 D. 若，则
11.正方体的棱长为，点在平面内含边界，且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 恰有两个点，使得直线平面
C. 的最小值为
D. 若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数且的图象恒过的定点是 ．
13.已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和 ．
14.已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
若，求；
若是边上一点，且满足，求的面积．
16.本小题分
某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为经过步移动后，质点的位置坐标记为随机变量．
当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值；
该数学社团用计算机进行了次独立实验，记录最终位置的频数分布如下：
频数
求的平均数；
用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值保留两位小数．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，下底面为平行四边形，，，，分别是上、下底面所在平面内两点，点在棱上，且点是以为圆心的圆弧上的动点，点是半圆弧上的动点不包括端点．
若点在上，证明：平面；
设三棱锥的外接球的半径为，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，焦距为，点是椭圆上的一点．
求椭圆的方程；
直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形为坐标原点．
求的值；
求四边形的面积．
19.本小题分
已知函数．
讨论的极值；
若有两个零点，
求实数的取值范围；
当取得最小值时，求实数的值．
参考答案
1.
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14.
15.解：，
由正弦定理得：，
，即，
，，
在中，由正弦定理得：，；
记，则，
，．
在和中，由余弦定理得：，
解得：，是边长为的正三角形，故，
的面积．

16.解：设事件“质点只在非负半轴上移动”，事件“”，
，，所以．
另解：
所以．
样本的均值．
设向右移动次数为，，，
所以，所以．
又由知，所以，得．

17.解：如图，作出符合题意的图形，连接，
，，
是等边三角形，是的中点，又是的中点，
，且，四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面，又，
且平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
又平面，平面．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
中点坐标为，可设球心，
在以为圆心、为半径的圆弧上，
，．
则，，
由，
化简得，，，
故，，．

18.解：已知，
又焦距为，，故，，
椭圆的方程为．
把直线方程代入椭圆方程，化简得：．
则，
设，，则，，
因为四边形为平行四边形为坐标原点，
所以，
，，
，把点的坐标代入椭圆的方程，化简得：．
，，
点是曲线上的一点，
设曲线的左、右焦点分别为，，
，
由双曲线的定义知：．
记点到直线的距离为，则，
，
．

19.解：由题意得：，
当时，恒成立，此时单调递减，无极值；
当时，令，解得，
令，解得，
故在单调递增，在单调递减．
在处取极大值，为，无极小值．
综上所述：当时，无极值；
当时，的极大值为，无极小值．
由知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意；
当时，的极大值为．
令，则，
故在单调递减，在单调递增．
，即，
又，，故在存在一个零点．
又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，，
故在存在一个零点．
若有两个零点，则．
由知在存在一个零点，在存在一个零点，且，
所以，，
得：．
令，则，
又，
令，则，
令，则，
在单调递增，又，故，即在单调递增．
当取最小值时，取最小值，即取最小值．
令，则，
令，则，
在单调递增，又，，
，使得，当时，，当时，，
且有，即，此时，
且在单调递减，在单调递增，在处取得最小值，
故取得最小值时．

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