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2025-2026学年山西省晋中市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线：，过其焦点的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是( )
A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数若有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校高一年级共有人，随机抽取名学生作为样本，调查了每天体育运动时长单位：分，将统计数据分成组：，，，，，，绘制了如图所示的频率分布直方图，则( )
A. 频率分布直方图中
B. 样本数据的极差不大于
C. 样本中位数为
D. 高一年级运动时长低于分钟的大约有人
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象
C. 图象的对称中心都是函数图象的对称中心
D. 当时，
11.已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，为坐标原点，则( )
A. 曲线的方程为 B.
C. 存在点使得 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，则 ．
13.已知函数的图象在处的切线也是函数的图象的切线，则 ．
14.已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为：，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
设，证明数列是等差数列，并求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为正三角形，，，为棱的中点．
求证：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的离心率，右焦点为．
求的方程．
过轴上一点不与的顶点重合作斜率为的直线与交于，两点，过原点作直线与交于，两点，已知．
求的取值范围；
若，求点的坐标．
19.本小题分
甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球每次只发一球，由甲先发球，每赢一球得分，输球不得分，达到分且至少领先分者获胜当打成：后，先多得分的一方获胜甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至：．
若已知比赛结果为：，求这局比赛是乙获胜的概率；
求这局比赛甲获胜的概率；
记为这局比赛结束时甲的总发球个数，求的数学期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：由数列满足，，
两边同时除以，得，
设，可得．
由，得，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
所以，可得．
由可得，．
所以
．
16.证明：设为的中点，连接，，
因为为棱的中点，所以，
又平面，故EF平面，
因为为正三角形，所以，
又，平面，
所以，
又平面，故AF平面，
因为，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
解：连接，设与交于点，
由题意，，，，
所以，，故以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
从而有，，，
则，，，，，．
由平面，得，又，，
所以平面，即为平面的一个法向量，且，
，，
设平面的法向量为，
则，即，取，
得，
可得，，，
可得，，
设平面与平面的夹角为，
可得，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：已知函数，
因此．
令，则，
当时，，此时，，故在上单调递减；
当时，，记两根为，，
此时，，则两根均为负，得，
故在上单调递减；
当时，，此时，，则两根均为正，且，
故或时，，在、上单调递减，
时，，在上单调递增，
综上所述，当时，，在上单调递减；
当时，，在，上单调递减，
在上单调递增；
注意到．
若，则在上单调递减，
当时，，当时，，
因此成立当且仅当，结论成立；
若，，，在上单调递增，从而有，，
时，，由零点存在定理，知，使得，
当时，，当时，，当时，，
故不存在满足条件的区间．
综上所述，的取值范围为．
18.解：由右焦点为，知，
因为离心率，所以，从而，
故C的方程为．
设点，由题意知，直线：，
联立，消去得，
此方程有两个实根，则，得，
故的取值范围为．
设点，直线，
联立，消去得，
设，，则，
所以，
同理，
由知，所以，
与联立，消去得，设，，
则，，，
由，得，解得，，
故点的坐标为或．
19.解：由题意知，再打两球这局比赛结束，所以只有可能是甲连赢两球或乙连赢两球，
记事件：甲发球甲赢，事件：乙发球乙赢，事件：比赛结果为：，事件：乙这局比赛获胜．
所求为，
，
，
所以．
所以在已知比赛结果为：的条件下，这局比赛是乙获胜的概率为．
方法一全概率公式：由知，：之后，有种情况：
甲连赢两球，甲胜，比赛结束，记作事件，则；
乙连赢两球，乙胜，比赛结束，记作事件，则；
甲与乙各赢一球，再次打平，比分为：，记作事件，则．
设事件：这局比赛甲获胜．
由全概率公式有，
由于比分为：与比分为：比赛的状态完全相同，所以，
所以，解得，
故这局比赛甲获胜的概率为．
方法二分类分步与极限思想：由知再打球甲获胜的概率，打平的概率为，
则再打球后甲获胜的概率为，打平的概率为，
再打球甲获胜的概率为，打平的概率为．
依此类推，打个球后甲获胜，则需前个球每两个球都打平，此时．
故甲获胜的概率为，
当时，，，故这局比赛甲获胜的概率为．
比分为：平时甲已经发球个，设之后甲继续发球个数的期望为，由可得：
若：结束比赛，此时甲继续发球数为，概率为；
若比赛没有结束，比分为：平，概率为，甲继续发球数的期望为．
从而，解得．
所以甲的总发球个数的期望为．
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