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2026年河南省九师联盟高考数学质检试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两个单位向量，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，当时，有，则( )
A. ，， B. ，，
C. D.
7.如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，存在，，满足设，函数，则在区间上的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，记一组数据，，，，为，则( )
A. 若的极差为，则 B. 若的分位数是，则
C. 若的平均数为，则 D. 若的方差为，则
10.已知函数，则( )
A. 为奇函数
B. 是的极大值点
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 若，则在上存在最大值
11.已知抛物线：的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于、两点在第一象限，过、分别向的准线作垂线，垂足分别为、，则下列命题正确的是( )
A. 若，则的斜率为
B. 存在直线，使得的面积为
C. 若为等边三角形，则
D. 若的面积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中所有项的系数和为 ．
13.已知双曲线的右顶点为，点若在的渐近线上存在点，使得线，则的离心率的取值范围是 ．
14.已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，其中，，若，且存在，，使得，则 ， 用表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，．
求；
若为边上一点，，，证明：．
16.本小题分
如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，为棱的中点，平面，且．
证明：平面平面；
若，为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，，求取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交于，两点．
求的大小；
若为的上顶点，斜率为的直线与交于，两点异于的上、下顶点，记直线，的斜率分别为，．
若，，求的方程；
若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点初始时有个节点在线假设在线的不再宕机，个为宕机停摆，不能正常工作每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望．
当时，求；
证明：；
已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意可知，，所以，
由正弦定理知，，又，，所以，
又，所以；
证明：由知，，又，所以，即平分，
因为，，
，
所以，即，
在中，，
即，解得或舍去，
所以，解得，所以为等边三角形，
又平分，所以．
16.解：证明：连接，因为四边形为菱形，，
所以为正三角形，又为的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以，又，平面，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
由知，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建系如图：
则，，，，
又，
所以，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，即
取，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由，，得，
令，则，
令，
则，
所以，即在上单调递增，从而，
当，即时，，则在上单调递增，
从而，此时符合题意；
当，即时，，设，
则，令，则，
则，即在上单调递增，
所以，从而在上单调递增，
所以，故，
又，
由零点存在定理及在上单调递增可知，
存在唯一的，使得，
所以当时，，则在上单调递减，
从而，此时不符合题意；
综上，的取值范围为．
18.解：设的坐标为，由题意知，所以，
又，所以，
将代入，
得，
所以，
所以，
又，
所以，
由椭圆的对称性知；
因为为的上顶点，所以，即，
所以，所以，
所以的方程为．
若，，
则直线，的方程分别为，，
由，
得，
所以，所以，
所以，
同理可求得，
所以直线的斜率为，
所以的方程为，
即．
如图：的方程为，，，
，
消去并整理，得，
则，
且，，
得
，
由，可得，
解得，满足，
所以直线的方程为
故过定点，，
因为垂直于，且在上，所以，故在以为直径的圆上，
所以当点为线段的中点时，为定值．
19.解：初始状态，即个在线、个宕机，
第个月选中在线节点的概率为，此时，
选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时，
修复失败的概率为，此时，
所以，
，
，
，
所以，
故当时，；
证明：由题意知的可能取值有、、、，
，
，
，
，
所以
，
因为，
所以
所以
，
所以；
因为，
设，
所以，
所以，，，
所以是以为公比的等比数列，
，，，
故，
所以，
所以，
第个月的期望宕机节点数的期望为，
每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为，
设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为，
故万元．
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