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2026年山东省青岛二中高考数学第二次适应性试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若的最小正周期为，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则( )
A. B. C. D.
5.农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用为正常数描述，其中为喷施农药天后，果蔬表面的农药残留量单位：，某品种有机磷农药的降解速率常数现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的侧棱长为，当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. B. C. D.
8.已知集合设集合满足，且对任意的，，，存在，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中有个红球和个白球，采用不放回方式依次摸取个球设事件为“第一次摸到红球”，事件为“第二次摸到红球”，则( )
A. B. C. D. 与相互独立
10.已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则( )
A. ，，三点共线 B.
C. 平面 D. 平面
11.已知函数有三个零点，，，则( )
A. 若，，成等差数列，则成等比数列
B. 若成等比数列，则，，成等差数列
C. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为
D. 若，，成等比数列，则数列的公比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为单位向量，且，则 ．
13.已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，若使得成立的点的横坐标为，则四边形的面积为 ．
14.一个边长为的正方形被分割成四个不同的小矩形如图，现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色若要使每个小矩形均有条红色边和条蓝色边，则不同染色的方法数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值．
16.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，且，．
求数列的通项公式
如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．
17.本小题分
设椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
求椭圆方程及其离心率；
已知点是椭圆上一动点不与端点重合，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
18.本小题分
将边长为的正方形沿对角线折叠，形成四面体．
证明：；
若二面角和的平面角互补，求；
证明：存在四面体，使得其内部一点到各个平面的距离均大于．
19.本小题分
甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
求，和，；
求与的递推关系式和的数学期望用表示．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：函数的定义域为，
对函数求导得，
令，得；令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
解法一：设点，
所以点到直线的距离为，
令，则，
令，得舍去或，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取到极大值，也是最大值，
所以，当且仅当时等号成立，
即点到直线距离的最小值为．
解法二：直线的斜率，
设，又，令，
得，解得舍或，所以点的坐标为，
所以曲线上与直线平行的切线的切点为，
由题意知点到直线距离的最小值即为点到直线的距离，
又点到直线的距离，
所以点到直线距离的最小值为．
16.解：设等比数列的公比为，则，
由题意得，
两式相比得：，解得或舍，
，，
．
过，，，，向轴作垂线，垂足分别为，，，，，
记梯形的面积为，
则，
，
，
得：
．
．
17.解：由题意可知，，解得，
．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为；
由题意可知，直线的斜率存在且不为，
当时，直线方程为，取，得．
联立，得．
，
，得，则．
．
．
，即，得；
同理求得当时，．
直线的方程为．
18.证明：取中点，连接，，
因为，所以，
同理有，
且，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
解：由可知且，
所以即为二面角的平面角，设，
取中点，连接，，因为，所以，同理有，
所以即为二面角的平面角，设，
在中，，设，
由余弦定理有，
在中，，
同理，
由余弦定理有，
依题意有，
则，即，
得到，化简得，
在中有，所以，所以，
所以，
即；
证明：我们只需要证明存在四面体，其内切球半径，
设四面体的体积和表面积分别为和，利用等体积法可得，
其中，
，
由可知，代入得，
所以，
取，
可得，
此时，
因为，
且，
所以，即．
即命题得证．
19.解：由题意可知：，，
则，
．
由题意可知：，
，
两式相加可得，
则：，
所以，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
所以．
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