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2026年黑龙江省大庆外国语学校高考数学质检试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线：，则抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.设，若为函数的极大值点，则( )
A. B. C. D.
7.当前，已从一个研究领域变成一类赋能技术在医药健康领域，已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率假设某实验室辅助新药分子筛选，事件是“模型筛选出候选分子”，事件是“模型筛选出候选分子”已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有( )
A. ，， B. ，，
C. D. ，，
10.已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称
C. 当时 D.
11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A.
B. 在底面上的投影是线段的中点
C. 与平面所成角大于
D. 与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式的第三项的系数是 ．
13.若函数是奇函数，则 ．
14.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，，，，，随机地抛掷该骰子三次各次抛掷结果相互独立，所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且．
求证：平面；
已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知正项数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．
当时，求甲最终获胜的概率；
为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案方案一：最终获胜者得分，失败者得分：方案二：最终获胜者得分，失败者得分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ函数图像在处的切线与函数相切，求实数的值；
Ⅱ函数与函数图像有两个不同交点，
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)若，证明：．
19.本小题分
已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程；
设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值；
如图，，是双曲线上两点，直线，与轴分别交于点，，点在直线上；若，关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：证明：在三棱柱中，，，，
，则，
又四边形是正方形，则，，所以，
又，，平面，因此平面，
又平面，所以，
在等边中，为中点，则，
又，，平面，
所以平面．
取中点为，中点为，则，，
由知，平面，平面，则又，故，
又，，平面，
则平面即，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为线段中点，所以，
，，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
故可取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：由，当时，，
则，
化为，即，
由，可得，，
所以数列是首项和公差均为的等差数列，
所以，．
由知，
所以，则，
从而，
即，
所以．
17.解：甲在三局两胜制中获胜的两种可能情况：
前两局连胜，其概率为，
前两局一胜一负，第三局胜，其概率为，
所以甲最终获胜的概率为；
方案一：甲获胜得分，失败得分，
甲获胜的概率为，
所以甲失败的概率为，
所以甲获得积分的数学期望为，
方案二：甲获胜得分，失败得分，
甲获胜的概率为，
所以甲失败的概率为，
所以甲获得积分的数学期望为，
则，
令，，
则，
所以在上单调递减，
又因为，
所以当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以当时，选择方案二；当时，选择方案一和方案二相同；当时，选择方案一．
18.解：由，得到，，切线方程为，
，得，由题意得：，解得，
又由题意得化简得，令，
函数与函数图像有两个不同交点等价于有两个解，
，令，解得，
，，单调递增，，，单调递减，
，
，，，，，
解得：，
证明：由可得：，，
得：，
得：，
由消去得：，
令，所以，令，，
，单调递增，
，，
．
19.解：因为双曲线的离心率为，点在双曲线上，
所以，解得，，
所以双曲线的方程为；
圆：的圆心，半径为，
因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，，
所以，
设，因为点是双曲线上的动点，所以，
所以，
当时，取得最小值，此时，
所以；
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，整理得，
且，设，，
则，，
直线的方程为，
令，可得，即，
同理可得，，
因为，关于原点对称，所以，
即，
整理得，
将，代入可得：
，
整理得，即，
所以或．
若，则，则直线方程为，
即，此时直线过点，不符合题意；
若，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又，在中，为斜边，
所以当为中点时，，
因此存在点，使得为定值．
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