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2025-2026学年上海市金山中学高三（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.已知命题：，命题：，则是的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
3.中，，，，是外接圆上一点，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面阴影部分叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面设，，，则下列结论正确的个数是( )
若平面是面积为的等边三角形，则；
若，则；
若，则球面的体积；
若平面为直角三角形，且，则．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为 ．
6.在等比数列中，，则 ．
7.已知，则______．
8.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
9.函数的定义域为______．
10.已知是定义在上的可导函数，若，则 ．
11.已知，则 ．
12.将序号分别为，，，，的张电影券全部分给甲、乙、丙、丁人，每人至少张，则在甲分得张电影券的条件下，其分得张电影券连号的概率为 ．
13.如果关于的不等式，的解为一切实数，那么的取值范围是______．
14.若函数的图像关于直线对称，则的最大值为 ．
15.设函数的定义域为若对任意，的值为数字在，，，中出现的次数，则 ．
16.如图，的顶点平面，点，在平面的同一侧，且若，与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______．
三、解答题：本大题共78分。
17.本小题分
雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了人，并将所得结果统计如表所示．
分组区间
人数
支持态度人数
完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与所持态度有关；
年龄在周岁及以上 年龄在周岁以下 总计
支持态度人数 _____ _____ _____
不支持态度人数 _____ _____ _____
总计 _____ _____ _____
以中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在周岁及以上的人中随机抽取人，记为人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望．
参考数据：
参考公式：
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：数列是等比数列；
定义集合，且，，记的元素个数为，求．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，设．
当时，求异面直线与所成角的大小；
当平面平面时，求的值．
20.本小题分
已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．
若点不在轴上，求的周长；
过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程；
若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
对于定义域为的函数与实数，定义集合．
若，求；
若，且对任意实数均有，求的取值范围；
是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.，
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：完成列联表如下：
年龄在周岁及以上 年龄在周岁以下 总计
支持态度人数
不支持态度人数
总计
，
有的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
依题意，服从二项分布，
故，，
，
，，
的分布列为：
．
18.解：证明：当时，，
解得，
当时，，
整理得，
所以，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
由可知，，
所以，
对于，，且，，则，
因为，且，
所以的取值范围为，，，，，共个不同的正整数值，
所以集合，且，的元素个数为，即．
19.解：直三棱柱，平面，
，平面，，，
，建立分别以，，为，，轴的空间直角坐标系，
设，则，，
，，，，
，，
，，
，
向量和所成角为．
异面直线与所成角为．
，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
同理得平面的一个法向量，
平面平面，
，解得．
当平面平面时，的值为．
20.解：因为椭圆的方程为，
所以．
当不在轴上，
由椭圆定义得，
则；
易知直线斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得．
因为以为直径的圆经过，
所以，
又，
此时，
所以，
即，
解得，
则或；
设，，
易知直线斜率不为，且也经过，
设直线的方程为，
由得，
由椭圆对称性得，与关于轴对称，
即，
所以，，
因为，
所以，
整理得，
解得，
又，
所以，
因为，，
所以，
则，．
所以，．
故存在满足题意．
21.解：已知函数，，
因为，，
．
代入不等式：，
即，
因为，两边同除以得：．
解得，
因此，；
由题意得，
，
，
即，
整理为关于的二次函数恒成立问题，
即，，
该二次函数开口向上，对称轴，
要对所有恒正，需判别式：
可得，
化简得，
，，
令，
式子变为，
该二次函数开口向上，对称轴，
最小值在处，为，
即，
结合，解得，
所以实数的取值范围为；
不存在，理由如下：
假设存在连续函数，使得，
，
由于连续，则也连续，
即，
否则，由保号性可知与矛盾．
同理，由，
可知，
即．
当时，可得，．
，，
因为，由连续函数保号性，
可得且，
同理，，
因为，由连续函数保号性，
可得且，
即，，
，，
即，，
但始终，使得，
此时有，这与矛盾．
当时，同理可得矛盾．
综上，故不存在连续函数使之成立．
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