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第六章 《平行四边形》导学案
6.1平行四边形性质定理（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。
2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。
3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。
学习重点：
平行四边形性质的探索和证明
学习难点：
平行四边形的性质的论证及应用。
预习自测
观察图片思考问题
1.这些多边形是几边形？
2.请根据四边形对边的位置关系对它们进行分类
教学过程
一、概念引入
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
如图：四边形ABCD是平行四边形 记作： ABCD读作：平行四边形ABCD
定义包括两重意思：（1）如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形；
（2）如果一个四边形是 平行四边形，那么它的两组对边就分别平行.
交流与思考：
（1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出对称中心并验证你的结论吗？
（2）你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴交流。
二、探究平行四边形的性质
1、将两个全等的平行四边形完全重叠，把上面一个平行四边形绕AC,BD的交点旋转180°后，能和下面的图形重合吗？你发现了什么？
结论：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
【强调】平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
2、平行四边形的性质(1);对边相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,求证： AB=CD，BC=DA
证明：连接AC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，BC∥DA（ )填判断根据
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵AC=CA
∴△ABC≌△CDA（ ）填判断根据
∴ AB=CD，BC=DA
3、平行四边形的性质(2):对角相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证:∠A=∠C，∠B=∠D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，BC∥DA（ )填判断根据
∴∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°
∴∠B=∠D.
同理可证∠A=∠C
典例精析
例题1：已知：如图6-3，在 ABCD中， E,F是对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证:BE=DF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD（ ）填判断根据
AB∥CD（ )填判断根据
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF
∴△ABE≌△CDF（ )填判断根据
∴BE=CF
例题2：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=60°，BE=4,DF=6,求平行四边形ABCD的周长和面积。
解:∵ABCD是平行四边形，AD∥BC,AE⊥BC
∴AE⊥AD,
又∵∠EAF=60°，∴∠DAF=30°
在Rt△ADF中∠DAF=30°∴AD=2DF=12.（ ）填判断根据
∠B=∠D=90-∠DAF=60°
∠BAE=90°-∠B=30°
在Rt△ABE中∠BAE=30°
∴AB=2BE=8.（ ）填判断根据
∴平行四边形ABCD的周长=2(8+12)=40
在Rt△ADF中AD=12,DF=6，
CD=AB=8
平行四边形ABCD面积
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.在 ABCD 中，AD=40，CD=30 ， ∠B=60°，
则BC= ；AB= ；∠A= ， ∠C= ， ∠D= ．
已知 ABCD的周长是38cm，则AB+BC= .
3. 在平行四边形ABCD 中，AB:BC=2:3，周长是40cm ，则 AB= .
4. 在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是 ．
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是 ．
第6题 第7题
能力提升：
7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：BC＝CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
拓展迁移
8.如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN．
9.如图（单位cm),在 ABCD中，对角线AC与BD相交于O,BD⊥AD,求OB的长度及 ABCD的面积。
总结反思、拓展升华
1.平行四边形的概念：
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2.平行四边形的性质：
不稳定性
对称性：平行四边形的是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
边：平行四边形的对边平行且相等。
角：平行四边形的对角相等，邻角互补。
五、【作业布置】
基础达标：
1.在 ABCD 中，∠A与∠B 的度数之比为5:4，
则∠A= ，∠B= ， ∠C= ，∠D= ．
2.已知： ABCD的周长等于20 cm，BD=7 cm，则△ABC的周长是 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）
第3题 第4题
4．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．81° C．82° D．83°
5．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为（ ）
A．136° B．144° C．108° D．114°
第5题 第6题
6．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 ．
能力提升：
7.如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)当∠BAF=90°，CD=3，AD=2.5时，求AF的长；
(3)在（2）的条件下，连接BE，求△BEF的面积．
拓展迁移：
8.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF .
课堂作业参考答案
1、40; 30; 120; 120; 60
2、19cm
3、8cm
4、80°
5、(3,4)或（-3,4）或（3，-4）
6、4
7、解（1）：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC， AB=CD ，BC=AD=AE+ED，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=CD，
BC==AD=AE+ED=CD+ED；
∴BC=CD+ED
解（2）：过点F作FG⊥BC，那么
∵BE是∠ABC的角平分线，AB⊥AC，AF=3，
∴GF =AF=3，AB=BG
又∵AC＝8，
∴FC=AC=AF=8-3=5，
在Rt△CFG中，GC===4，
由（1）知，AE=AB，设AE=AB=BG=x，
在Rt中， AB2+AC2=BC2，
即x2+82=(x+4)2，
解得：x=6，
即AE的长为6．
8、解： ∵DM⊥AC，BN⊥AC，
∴∠AMD=∠CNB=90 ，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD=BC 且 AD∥BC，
∴∠DAM=∠BCN．
在 △ADM 与 △CBN 中，
∠AMD=∠CNB,∠DAM=∠BCN,AD=BC,
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴DM=BN．
9、解：在Rt△ABD中，AD=8,AB=10
BD=
在Rt△ADO和Rt△CBO中
AD=BC,∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO=90°
∴Rt△ADO≌Rt△CBO(AAS)
OB=OD=BD=3
课外作业参考答案
1、100； 80； 100； 60.
2、17cm
D
B
D
7
7、(1)证明：∵E是边CD的中点,∴CE=DE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF,∠DAE=∠F
在△ADE与△FCE中
∴△ADE≌△FCE(AAS)
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=3,AD=BC=2.5
△ADE≌△FCE
∴AD=FC=2.5
BF=BC+FC=5
∠BAF=90°
在直角△ABF中，
(3)解：如图：连接BE
∵∠BAF=90°，∴BA⊥AF
BA是△BEF的边EF上的高
∵△ADE≌△FCE
∴AE=FE
8、解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，
∴ ∠BAE=∠DCF，
又∵BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，
∴ ∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC，
∴ ∠ABE=∠CDF，
∴ △ABE≌△CDF(AS
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 上册第六单元
课标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，结合北师大版（2024）八年级数学下册《平行四边形》章节，课标要求如下：内容要求：理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理，探索并证明三角形的中位线定理学业要求：培养学生的逻辑推理、空间观念、几何直观、模型观念、运算能力：
内容分析 本章位于北师大版八年级下册第六章，是初中平面几何的核心内容，以 “定义 — 性质 — 判定 — 应用” 为主线，承接三角形、平行线等旧知，为后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形奠定基础，同时重点发展学生的几何直观、逻辑推理与规范表达能力。整体框架以 “定义→性质→判定→综合应用→拓展延伸” 为逻辑链，模块清晰、层层递进。教材特色：强化探究过程：通过观察、测量、旋转、说理等活动，引导学生从直观猜想过渡到严谨证明。新增 “持续思考” 栏目：聚焦元认知，强调几何学习的思维过程，而非仅记结论，证明前设 “分析” 环节：明确推理思路，降低证明难度，培养逻辑表达。
学情分析 八年级学生处于直观形象向抽象逻辑过渡的关键期，对平行四边形有直观认知，但从 “实验猜想” 到 “严谨证明” 的过渡存在明显挑战，几何证明规范性、知识迁移能力与综合题解题力分层显著，是本单元学习的核心痛点。小学已直观认识平行四边形，能识别特征与计算面积。七年级系统学习平行线、三角形 全等、图形平移旋转，为本单元证明提供核心工具。掌握多边形内角和与一般四边形概念 ，对 “边、角、对角线” 的研究路径有初步经验。具备观察、测量、折纸、旋转等动手 操作能力，喜欢 “探索 — 发现” 的学习方式。有小组合作交流经验，能在任务中分享 思路、协作探究。。
单元目标 教学目标一、知识与技能目标1、理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，并能进行简单计算与推理。2、掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件准确判断一个四边形是否为平行四边形。3、理解三角形中位线定理，能运用中位线定理进行线段平行与数量关系的证明与计算。4、能规范书写几何证明过程，正确使用几何符号语言，初步掌握将四边形问题转化为三角形问题的解题方法。二、过程与方法目标1、经历 “观察 — 操作 — 猜想 — 证明 — 归纳” 的探究过程，发展合情推理与演绎推理能力。2、在探究平行四边形性质与判定的活动中，体会转化、类比、分类讨论等数学思想。3、通过小组合作交流、一题多解等活动，提高分析问题、表达思路和解决问题的能力。4、初步学会从复杂图形中分离出基本图形，提升几何直观与识图能力。三、情感态度与价值观目标1、感受平行四边形在生活中的广泛应用，体会几何与现实生活的联系，激发学习兴趣。2、在自主探究与合作交流中获得成功体验，增强学习数学的自信心。3、培养严谨求实的科学态度，养成规范书写、步步有据的良好学习习惯。4、初步形成几何建模意识，提升运用数学知识解决实际问题的意愿与能力。教学重点· 平行四边形的概念、性质与判定定理的理解与应用。· 三角形中位线定理的探索、证明与应用。· 综合运用性质与判定进行推理证明和计算。教学难点· 性质与判定的灵活选择，避免混淆。· 性质定理的严谨证明（如通过连接对角线构造全等三角形）。· 三角形中位线定理的推导与综合应用（与平行四边形结合）。· 规范几何证明格式，培养演绎推理能力
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数01平行四边形性质定理（1）102平行四边形性质定理（2）103平行四边形判断定理（1）104平行四边形判断定理（2）105平行线间的距离106三角形的中线107回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质定理（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、回顾平行四边形的定义，理解定义的两重含义。3、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。4、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。5、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。6、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性和书写的规范性。7、课堂练习8、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形性质定理（2）探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分4、推理验证等腰三角形的两底角相等，两对角线的长度相等。5、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（1）会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法，理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。经历平行四边形判断定理的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的判断定理，并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形判断定理1、25、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（2）1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理1、2，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、推理验证正确性。5、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行线间的距离理解平行线间距离的定义：明确两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，就是这两条平行线间的距离。能利用“平行线间的距离处处相等”这一性质，解决几何图形中的面积计算、线段等量证明等问题。通过观察、操作、验证等活动，提升抽象概括能力。在证明“平行线间的距离处处相等”时，锻炼演绎推理和逻辑表达能力。完成检测题。复习平行四边形的定义，性质定理和判断定理。探究什么是平行线之间的距离、性质。学习例题。5、课堂练习6、课堂总结环节一：课前检测环节二：回顾知识环节三；探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置三角形的中线理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4、在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2、画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、运用知识解决问题，学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。5、课堂练习6、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、展示展示架构图。2、回顾平行四边形的性质定理、判断定理、三角形的中位线进行知识梳理。3、进行相应的练习。综合运用知识解决实际问题。4、课堂练习5、课堂总结环节一：知识架构环节二；知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：布置作业
《平行四边形》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理1、2
任务一：平行四边形性质定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理3
任务二：平行四边形性质定理（2）
活动三：典例分析
平行四边形
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判断定理1、2
任务三：平行四边形判断定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判定定理3
任务四：平行四边形判断定理（2）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：复习旧知
活动三：探究新知
任务五：平行线之间的距离
活动四：典例分析
活动五：课堂练行四边形
活动六：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：探究新知
活动三：典例分析
任务六：三角形中位线
活动思：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务六：回顾与思考
活动三：课堂练习
活动思：课堂总结
活动五：作业布置
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北师大版（2026）八年级数学下册第六章《平行四边形》教学设计
6.1平行四边形的性质定理
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 六
课题 平行四边形的性质定理（1） 课时 1
课标要求 理解平行四边形的概念，明确“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”；探索并证明平行四边形的性质定理（性质定理1：平行四边形的对边相等，性质定理2：平行四边形的对角相等）；能运用性质定理进行计算和推理；能够结合全等三角形的知识，利用平行四边形的性质求线段长度、角度大小，或证明线段相等、角相等、线段互相平分等。
教材分析 本节课本课是北师版（2024）教科书八（下）第六章第一课时，其主要内容是平行四边形的概念、平行四边形的性质.本节课主要通过操作、讨论等活动得出平行四边形的边和角的性质，而边和角的性质是平行四边形的基本特征，也是平行四边形其它性质的证明过程的依据，为以后在“论证几何”中学习平行四边形的判定提供了良好的认知基础。
学情分析 学生在小学已经学行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验，具备了一定的动手操作、猜想、推理验证的能力；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力，为平行四边形性质的学习打下了基础。从学生的认知结构和年龄特点来看，八年级学生对几何说理缺乏足够的实践和认识，不能用准确的抽象的语言叙述来表达图形的性质，因此，从理论上来说明特殊四边形的性质，对八年级学生而言，认知难度较大。预计在命题的验证过程中会出现作图或推理的思维障碍。
核心素养目标 1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。
教学重点 平行四边形性质的探索和证明。
教学难点 平行四边形的性质的论证及应用。
教学准备 动画课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 观察图片思考问题1.这些多边形是几边形？2.请根据四边形对边的位置关系对它们进行分类。 学生回顾知识，导入新课。 通过学生观察周围的世界，交流讨论，引导学生从实物中抽象出几何模型，加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的，同时激发了学生的学习兴趣。
二、探究 一、概念引入平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图：四边形ABCD是平行四边形记作： ABCD读作：平行四边形ABCD定义包括两重意思：（1）如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形；（2）如果一个四边形是 平行四边形，那么它的两组对边就分别平行.交流与思考：（1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出对称中心并验证你的结论吗？（2）你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴交流。二、探究平行四边形的性质1、将两个全等的平行四边形完全重叠，把上面一个平行四边形绕AC,BD的交点旋转180°后（课件演示），能和下面的图形重合吗？你发现了什么？结论：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.【强调】平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。2、平行四边形的性质(1):对边相等已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,求证： AB=CD，BC=DA证明：连接AC∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，BC∥DA（平行四边形的定义)∴∠1=∠2，∠3=∠4∵AC=CA ∴△ABC≌△CDA（ASA）∴ AB=CD，BC=DA3、平行四边形的性质(2):对角相等已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证:∠A=∠C，∠B=∠D证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，BC∥DA（平行四边形的定义) ∴∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180° ∴∠B=∠D. 同理可证∠A=∠C 回顾平行四边形的定义，理解定义的两重含义。2、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。3、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。4、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。 本环节是本节课的一个教学难点，要求学生根据命题，自主画图，写出已知、求证，并证明。让学生掌握命题证明的一般步骤，让学生进一步体会文字语言、图形语言和符号语言这三种数学语言的相互转化，体现了数形结合的思想，同时培养了学生良好的符号意识。
四、变式 例题1：已知：如图6-3，在 ABCD中， E,F是对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证:BE=DF证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD（平行四边形的对边相等） AB∥CD（平行四边形的定义) ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF ∴△ABE≌△CDF（SAS) ∴BE=CF例题2：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=60°，BE=4,DF=6,求平行四边形ABCD的周长和面积。解:∵ABCD是平行四边形，AD∥BC,AE⊥BC∴AE⊥AD,又∵∠EAF=60°，∴∠DAF=30°在Rt△ADF中∠DAF=30°∴AD=2DF=12.∠B=∠D=90-∠DAF=60°∠BAE=90°-∠B=30°在Rt△ABE中∠BAE=30°∴AB=2BE=8.∴平行四边形ABCD的周长=2(8+12)=40在Rt△ADF中AD=12,DF=6，CD=AB=8平行四边形ABCD面积 小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性和书写的规范性。 通过例题精析培养分析问题、解决问题的能力。帮助学生巩固知识，把握命题之间的联系，建立完整的数学认知结构，促进学生对平行四边形性质的深刻理解和掌握。
五、尝试 基础达标：1.在 ABCD 中，AD=40，CD=30 ， ∠B=60°，则BC= 40 ；AB= 30 ；∠A= 120°， ∠C= 120° ， ∠D= 60°．已知 ABCD的周长是38cm，则AB+BC= 19cm 3. 在平行四边形ABCD 中，AB:BC=2:3，周长是40cm ，则 AB= 8cm． 4. 在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= 80°． 5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是(3,4)或（-3,4）或（3，-4）．6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是 4 ． 第6题 第7题能力提升：7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．(1)求证：BC＝CD+ED；(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．解（1）：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ADBC， AB=CD ，BC=AD=AE+ED，∴∠AEB=∠CBE，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=CD，BC==AD=AE+ED=CD+ED；∴BC=CD+ED解（2）：过点F作FG⊥BC，那么∵BE是∠ABC的角平分线，AB⊥AC，AF=3，∴GF =AF=3，AB=BG又∵AC＝8，∴FC=AC=AF=8-3=5，在Rt△CFG中，GC===4，由（1）知，AE=AB，设AE=AB=BG=x，在Rt中， AB2+AC2=BC2，即x2+82=(x+4)2，解得：x=6，即AE的长为6．拓展迁移8.如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN．解： ∵DM⊥AC，BN⊥AC， ∴∠AMD=∠CNB=90 ， ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD=BC 且 AD∥BC， ∴∠DAM=∠BCN．在 △ADM 与 △CBN 中， ∠AMD=∠CNB,∠DAM=∠BCN,AD=BC, ∴△ADM≌△CBN（AAS）， ∴DM=BN．9.如图（单位cm),在 ABCD中，对角线AC与BD相交于O,BD⊥AD,求OB的长度及 ABCD的面积。解：在Rt△ABD中，AD=8,AB=10BD=在Rt△ADO和Rt△CBO中AD=BC,∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO=90°∴Rt△ADO≌Rt△CBO(AAS)OB=OD=BD=3 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1.平行四边形的概念： 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2.平行四边形的性质：不稳定性对称性：平行四边形的是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。边：平行四边形的对边平行且相等。角：平行四边形的对角相等，邻角互补。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 平行四边形 ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，不是轴对称图形。AB=DC,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.在 ABCD 中，∠A与∠B 的度数之比为5:4，则∠A= 100° ，∠B= 80° ， ∠C= 100° ，∠D= 60°．2.已知： ABCD的周长等于20 cm，BD=7 cm，则△ABC的周长是 17cm ．3．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　D　）A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2） 第3题 第4题4．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　B　）A．80° B．81° C．82° D．83°5．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为（ D ）A．136° B．144° C．108° D．114° 第5题 第6题6．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 7 ．能力提升：7.如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)当∠BAF=90°，CD=3，AD=2.5时，求AF的长；(3)在（2）的条件下，连接BE，求△BEF的面积．(1)证明：∵E是边CD的中点,∴CE=DE∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BF,∠DAE=∠F在△ADE与△FCE中 ∴△ADE≌△FCE(AAS)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD=AB=3,AD=BC=2.5△ADE≌△FCE∴AD=FC=2.5BF=BC+FC=5∠BAF=90° 在直角△ABF中，(3)解：如图：连接BE∵∠BAF=90°，∴BA⊥AFBA是△BEF的边EF上的高∵△ADE≌△FCE∴AE=FE 拓展迁移：8.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF .解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，∴ ∠BAE=∠DCF，又∵BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，∴ ∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC，∴ ∠ABE=∠CDF，∴ △ABE≌△CDF(ASA)， ∴ AE=CF
教学反思
B
C
D
A
E
F
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第六章 平行四边形
6.1平行四边形的性质定理(1)
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。
01
数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。
02
数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。
03
02
复习导入
(1)
(8)
(7)
(5)
(4)
(3)
(2)
(6)
1.这些多边形是几边形？
2.请根据四边形对边的位置关系对它们进行分类。
02
探究新知
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
如图：四边形ABCD是平行四边形
记作： □ABCD
读作：平行四边形ABCD
概念引入
A
B
C
D
定义包括两重意思：
（1）如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形；
（2）如果一个四边形是 平行四边形，那么它的两组对边就分别平行.
03
交流与思考
（1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出对称中心并验证你的结论吗？
（2）你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴交流。
03
新知探究
探究平行四边形的性质
将两个全等的平行四边形完全重叠，把上面一个平行四边形绕AC,BD的交点旋转180°后，能和下面的图形重合吗？你发现了什么？
平行四边形是轴对称图吗？
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
03
新知探究
结论：
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
【强调】平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
03
新知探究
平行四边形的性质(1)：对边相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,求证： AB=CD，BC=DA
A
B
D
C
1
3
4
2
证明：连接AC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，BC∥DA（平行四边形的定义)
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵AC=CA
∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=CD，BC=DA
03
新知探究
平行四边形的性质(2)：对角相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形
求证:∠A=∠C，∠B=∠D
D
C
B
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，BC∥DA（平行四边形的定义)
∴∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°
∴∠B=∠D.
同理可证∠A=∠C
03
典例精析
例题1：已知：如图6-4，在 □ ABCD中， E,F是对角线AC上的两点，并且AE=CF
求证:BE=DF
B
C
D
A
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD（平行四边形的对边相等）
AB∥CD（平行四边形的定义)
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF
∴△ABE≌△CDF（SAS)
∴BE=CF
03
典例精析
例题2：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=60°，BE=4,DF=6,求平行四边形ABCD的周长和面积。
解:∵ABCD是平行四边形，AD∥BC,AE⊥BC
∴AE⊥AD,
又∵∠EAF=60°，∴∠DAF=30°
在Rt△ADF中∠DAF=30°∴AD=2DF=12.
∠B=∠D=90-∠DAF=60°
∠BAE=90°-∠B=30°
在Rt△ABE中∠BAE=30°∴AB=2BE=8.
03
典例精析
∴平行四边形ABCD的周长=2(8+12)=40
在Rt△ADF中AD=12,DF=6
CD=AB=8
平行四边形ABCD面积
知识要点1
平行四边形的对边相等，
平行四边形的对角相等
平行四边形性质定理
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在 □ ABCD 中，AD=40，CD=30 ， ∠B=60°，则BC=______ ；AB=_______ ；∠A= _______， ∠C=______ ， ∠D=________．
2.已知 □ ABCD的周长是38cm，则AB+BC= ．
A
D
B
C
40
30
120°
120°
60°
19cm
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 在平行四边形 ABCD 中，AB:BC=2:3，周长是 40 cm，则 AB= .
4. 在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=200 ，则 ∠A= ．
5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标；
．
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相
交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，
则CD的长是 ．
8cm．
80°
4
(3,4)或（-3,4）或（3，-4）
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：BC＝CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
解（1）：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC， AB=CD ，BC=AD=AE+ED，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=CD，
BC=AD=AE+ED=CD+ED；∴BC=CD+ED
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解（2）：过点F作FG⊥BC，那么
∵BE是∠ABC的角平分线，AB⊥AC，AF=3，
∴GF =AF=3，AB=BG
又∵AC＝8，
∴FC=AC=AF=8-3=5，
在Rt△CFG中，GC= =4，
由（1）知，AE=AB，设AE=AB=BG=x，
在Rt△ABC中， 即
解得：x=6，
即AE的长为6．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN．
解： ∵DM⊥AC，BN⊥AC，
∴∠AMD=∠CNB=90 ，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD=BC 且 AD∥BC，
∴∠DAM=∠BCN．
在 △ADM 与 △CBN 中，
∠AMD=∠CNB,∠DAM=∠BCN,AD=BC,
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴DM=BN．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.如图（单位cm),在 ABCD中，对角线AC与BD相交于O,BD⊥AD,求OB的长度及 ABCD的面积。
解：在Rt△ABD中，AD=8,AB=10
BD=
在Rt△ADO和Rt△CBO中
AD=BC,∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO=90°
∴Rt△ADO≌Rt△CBO(AAS)
OB=OD= BD=3
05
课堂小结
本节课经历了实践与探索,你有什么感受和收获？
1.平行四边形的概念：
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2.平行四边形的性质：
不稳定性
对称性：平行四边形的是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
边：平行四边形的对边平行且相等。
角：平行四边形的对角相等，邻角互补。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.在□ ABCD 中，
∠A与∠B 的度数之比为4:5，
则∠A= ，∠B= ，
∠C= ，∠D= ．
2.已知：□ ABCD的周长等于20 cm，
AC=7 cm，则△ABC的周长是 ．
A
B
C
D
A
B
C
D
80°
100°
80°
100°
17cm
3．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）
4．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．81° C．82° D．83°
第3题 第4题
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
D
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点 处，若∠1=∠2=44°，∠B为（ ）
A．136° B．144° C．108° D．114°
6．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 ．
第5题 第6题
D
7
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)当∠BAF=90°，CD=3，AD=2.5时，求AF的长；
(3)在（2）的条件下，连接BE，求△BEF的面积．
(1)证明：∵E是边CD的中点,∴CE=DE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF,∠DAE=∠F
在△ADE与△FCE中
∴△ADE≌△FCE(AAS)
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=3,AD=BC=2.5
△ADE≌△FCE
∴AD=FC=2.5
BF=BC+FC=5
∠BAF=90°
在直角△ABF中
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(3)解：如图：连接BE
∵∠BAF=90°，∴BA⊥AF
BA是△BEF的边EF上的高
∵△ADE≌△FCE
∴AE=FE
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF .
解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，
所以 ∠BAE=∠DCF，
又因为 BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，
所以 ∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC，
所以 ∠ABE=∠CDF，
所以 △ABE≌△CDF(ASA)， 所以 AE=CF
Thanks!
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