资源简介 (共38张PPT)第六章 平行四边形6.1平行四边形的性质定理（2）01教学目标02知识回顾03探究新知04典例精析06课堂小结07作业布置05课堂练习01教学目标探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。01掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。02通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。0302复习导入两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质：边的性质：符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD , AD=BC.角的性质：平行四边形的对角相等。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C , ∠B=∠D.1.平行四边形的定义:平行四边形的对边相等.02新知探究如图 ， □ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O。（1） 图中有哪些三角形是全等的？ 有哪些线段是相等的？（2） 能设法验证你的结论吗？03新知探究●ADOCBDBOCA发现：OA=OC、OB=OD平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。03新知探究验证结论ABCDOOA= ，OC= ，OB= ，OD= .测量验证；构造直角三角形，利用勾股定理计算AO、OD、AO、CO03新知探究推理论证已知：如图6-4， ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AB=CD ，AB//DC∴ ∠BAO=∠DCO ，∠ABO=∠CDO∴ △AOB≌△COD（ASA）∴ OA=OC，OB=OD.03新知探究平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD03新知探究1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。平行的两边较短的叫上底，较长的叫下底，不平行的两边叫腰。两腰相等的梯形叫等腰梯形，2、等腰梯形的定义：3、直角梯形的定义：有两个角是直角梯形叫直角梯形，4、怎样的梯形对角线相等？等腰梯形的对角线相等，03新知探究证明等腰梯形的底角相等，对角线相等，已知等腰梯形ABCD,AB=CD,求证：∠ABC=∠DCB,AC=BD证明：在BC上取一点E,使CE=AD∵AD∥EC,AD=EC∵ABCE是平行四边形,AE∥CD,AE=CD∠DCB=∠AEBAB=CD=AE∴△ABE是等腰三角形∠ABE=∠AEB∴∠ABC=∠DCB03新知探究证明等腰梯形的底角相等，对角线相等，已知等腰梯形ABCD,AB=CD,求证：∠ABC=∠DCB,AC=BD证明：∵∠ABC=∠DCBBC=BCAB=DC∴△ABC≌△DCB∴AC=BD03典例精析例1：如图6-5， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.求证:OE=OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD//BC ， OA=OC∴ ∠OAE=∠OCF又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF(ASA)∴OE=OF03典例精析例题2：已知 ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3、4、5，求其它各边以及两条对角线的长度.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC， OA=OC，OB=OD又∵OA=3，OB=4，AB=5∴AC=6，BD=8，CD=503典例精析在△AOB中，∵OA2+OB2=32+42=25，AB2=52=25 ∴OA2+OB2=AB2∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD∴在Rt△AOD中，∴答：这个平行四边形的其它各边都是5，两条对角线长分别为6和8.知识要点1平行四边形的对角线互相平分，等腰梯形的底角相等，对角线相等几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD几何语言：∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD，∠ABC=∠DCB04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形2. 已知一个平行四边形相邻的两边长不相等且都为整数，若它的两条对角线长分别为 8 cm 和 12 cm，则它相邻两边长的长度可以分别是 ( ) A. 4 cm，6 cm B. 5 cm，6 cm C. 6 cm，8 cm D. 8 cm， 10 cm3.如图，平行四边形 ABCD 的周长为 14，BE=2，AE 平分 ∠BAD 交 BC 边于点 E，则 CE 的长等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4DCC4、如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线将它分成四个小三角形 △AOB，△AOD，△DOC，△BOC，以下说法正确的是（ ） A. 四个小三角形全等 B. 四个小三角形是等腰三角形C. 四个小三角形是直角三角形 D. 四个小三角形的面积相等04课堂练习【知识技能类作业】必做题：D04课堂练习【知识技能类作业】必做题：B5、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=6，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，则 △CDE 的周长是（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 1204课堂练习【知识技能类作业】必做题：6. 在平行四边形 ABCD 中，AB:BC=2:3，周长是 40 cm，则AB= ．7. 在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=200 ，则 ∠A= ．8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ODA=90 ，AC=10 cm，BD=6 cm，则 AD 的长为 . 8cm80°5cm04课堂练习【知识技能类作业】选做题：9.如图，平行四边形 ABCD 的周长为 30 cm，AB，CD 相交于点 O，OE⊥AC 交 AD 于 E，则 △DCE 的周长为 cm．1504课堂练习10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，BC=9，以点 B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 BA，BC 于 点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，则 DF 的长度为 . 3【综合拓展类作业】04课堂练习【综合拓展类作业】11.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF .证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD, ∠BAE=∠DCE,∵BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线∴ ∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)，所以 AE=CF．04课堂练习【综合拓展类作业】12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN．证明 ∵DM⊥AC，BN⊥AC，∴∠AMD=∠CNB=90 ，∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD=BC 且 AD∥BC，∠DAM=∠BCN．在 △ADM 与 △CBN 中，∠AMD=∠CNB,∠DAM=∠BCN,AD=BC,∴△ADM≌△CBNAAS，∴DM=BN．05课堂小结平行四边形性质(1）平行四边形是中心对称图形；(2) 平行四边形的对边相等，对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分06作业布置【知识技能类作业】必做题：1．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（ ）A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）2．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ ）A．80° B．81° C．82° D．83°DB06作业布置【知识技能类作业】必做题：3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ ）A．2.5 B．5 C．10 D．154．如图，在 中， ， 的平分线分别交AD于点E，F，若，AB=3,AD=4，则EF的长是（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5CA06作业布置【知识技能类作业】必做题：5．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 _____．6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是______．7406作业布置【知识技能类作业】选做题：7．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是_____．分情况讨论:C点在第一象限，C(3,4)C点在第二象限，C(-3,4)C点在第四象限，C(3,-4)06作业布置【知识技能类作业】选做题：8.在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且AD=6，则四边形BEGF的面积是（ ）06作业布置【综合拓展类作业】9．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．(1)求证：△ADE≌△FCE ；(2)当∠BAF=90° ，CD=3，AD=2.5时，求AF的长；(3)在（2）的条件下，连接BE，求 的面积．(1)证明：∵E是边CD的中点,∴CE=DE四边形ABCD是平行四边形，BF∥AD∴∠CFE=∠DAE∠FEC=∠AED（对顶角）△ADE≌△FCE（AAS)；06作业布置【综合拓展类作业】(2)当∠BAF=90° ，CD=3，AD=2.5时，求AF的长；解：(2),四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD∠BAF=90°∴∠FEC==∠AED=90°DE=EC=1.5∵△ADE≌△FCE∴EF=AE∴AF=2AF=406作业布置【综合拓展类作业】(3)在（2）的条件下，连接BE，求 △BEF 的面积．解（3）：AE=2 ,AB=CD=3E是AF的中点06作业布置【综合拓展类作业】10．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．(1)求证：BC＝CD+ED；(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的06作业布置【综合拓展类作业】(1)求证：BC＝CD+ED；证明：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB=CD∠ABE=∠AEB∴AB=AEBC=AD=AE+ED=AB+ED=CD+ED∴BC=CD+ED06作业布置【综合拓展类作业】(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的G解：过F作FG垂直BC∵BE是∠ABC的角平分线，AF⊥AB,FG⊥BC∴AF=FG=3,AB=BG在直角三角形GFC中，FC=AC-AF=5,FG=3∴CG=4设AB=AE=BG=x解得x=6∴AE=6Thanks!https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台北师大版（2026）八年级数学下册第六章《平行四边形》教学设计6.1平行四边形的性质定理(2)学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 六课题 平行四边形的性质定理（2） 课时 1课标要求 掌握平行四边形的概念，对角线互相平方的性质定理；能用文字符号语音表达，会用该性质解决线段相等、求值、计算等简单的几何问题，发展几何直观、逻辑推理素养。教材分析 平行四边形是平行线和三角形知识的延续和发展，也是后续学习矩形、菱形、正方形的基础，在教材中起到承上启下的作用．教材中平行四边形的性质这一内容安排了两课时，第一课时研究平行四边形的定义及平行四边形边、角的性质；第二课时研究平行四边形对角线的性质，并应用性质解决简单问题．本节课是第二课时，主要探究平行四边形对角线性质，进一步积累几何图形的研究思路和研究方法，在探究中将四边形问题转化为三角形问题，对于培养演绎推理、训练数学思维、积累活动经验等方面起到重要作用．学情分析 在小学阶段，学生已经认识了平行四边形，对平行四边形的有关性质有所了解．初中七年级、八年级学行线和三角形知识，为几何学习打下扎实的基础．初中对平行四边形的学习更加注重逻辑推理的方法，对学生的数学素养、数学思维要求较高，学生独立进行有困难时，需要引导学生类比等腰三角形的研究思路，提出平行四边形的研究思路，先给出定义，再从定义出发研究性质和判定．此外，证明过程需要添加辅助线转化为三角形，再利用三角形全等来证明线段相等．需要引导学生从需证明的结论（线段相等）入手，连接对角线，再利用三角形知识解决．本班学生数学基础较好，主动学习的意识强，有较好的自主探究与合作交流的能力．核心素养目标 探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。教学重点 平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用。教学难点 运用平行四边形的性质解决有关的计算和证明教学准备教学过程教学环节 教师活动 学生活动 设计意图一、温故 1.平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质：边的性质：平行四边形的对边相等.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD , AD=BC.角的性质：平行四边形的对角相等。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C , ∠B=∠D. 回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。 复习旧知，唤醒记忆，为新授铺垫二、探究新知 探究平行四边形性质定理31、平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。如图 ， □ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O。（1） 图中有哪些三角形是全等的？ 有哪些线段是相等的？（2） 能设法验证你的结论吗？2、课件演示：发现对角线互相平分3、验证结论1、计算验OA= OC= OB= OD=推理验证已知：如图6-4， ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD ，AB//DC ∴ ∠BAO=∠DCO ，∠ABO=∠CDO ∴ △AOB≌△COD（ASA） ∴ OA=OC，OB=OD.总结归纳：平行四边形的性质3，平行四边形的对角线互相平分。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD探究梯形的性质1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。平行的两边较短的叫上底，较长的叫下底，不平行的两边叫腰。2、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形，3、直角梯形的定义：有两个角是直角梯形叫直角梯形，怎样的梯形对角线相等？等腰梯形的对角线相等证明等腰梯形的底角相等，对角线相等，已知等腰梯形ABCD,AB=CD,求证：∠ABC=∠DCB,AC=BD证明：在BC上取一点E,使CE=AD∵AD∥EC,AD=EC∵ABCE是平行四边形,AE∥CD,AE=CD∠DCB=∠AEBAB=CD=AE∴△ABE是等腰三角形∠ABE=∠AEB∴∠ABC=∠DCB∵∠ABC=∠DCBBC=BCAB=DC∴△ABC≌△DCB∴AC=BD 找平行四边形中相等的线段。通过计算、推理验证对角线互相平分推理验证等腰三角形的两底角相等，两对角线的长度相等 通过观看动画演示发现平行四边形的对角线互相平分，然后通过计算、推理验证平行四边形的对角线互相平分，加深对平行四边形性质3的理解和掌握。探究梯形的有关概念和性质采用自主探究为主，教师适当点拨。四、变式 例题1：如图6-5， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.求证:OE=OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD//BC ， OA=OC∴ ∠OAE=∠OCF又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF(ASA)∴OE=OF例题2：已知 ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3、4、5，求其它各边以及两条对角线的长度.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC， OA=OC，OB=OD又∵OA=3，OB=4，AB=5∴AC=6，BD=8，CD=5在△AOB中，∵OA+OB=3+4=25， AB=5=25 ∴OA+OB=AB∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD∴在Rt△AOD中，∴BC=5答：这个平行四边形的其它各边都是5，两条对角线长分别为6和8. 应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。 经历两个例题，应用平行四边形性质3解决实际问题，提高学生运用知识解决实际问题的能力，同时巩固加深平行四边形性质3的理解和掌握。五、尝试 基础达标：1. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ D ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形 2. 已知一个平行四边形相邻的两边长不相等且都为整数，若它的两条对角线长分别为 8 cm 和 12 cm，则它相邻两边长的长度可以分别是 ( C ) A. 4 cm，6 cm B. 5 cm，6 cm C. 6 cm，8 cm D. 8 cm， 10 cm3.如图，平行四边形 ABCD 的周长为 14，BE=2，AE 平分 ∠BAD 交 BC 边于点 E，则 CE 的长等于（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第3题 第4题4、如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线将它分成四个小三角形 △AOB，△AOD，△DOC，△BOC，以下说法正确的是（ D ） A. 四个小三角形全等 B. 四个小三角形是等腰三角形C. 四个小三角形是直角三角形 D. 四个小三角形的面积相等 5、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=6，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，则 △CDE 的周长是（ B ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 第5题 第8题6. 在平行四边形 ABCD 中，AB:BC=2:3，周长是 40 cm，则AB= 8cm ．7. 在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=200 ，则 ∠A= 80° ．8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ODA=90 ，AC=10 cm，BD=6 cm，则 AD 的长为 5cm 。能力提升： 9.如图，平行四边形 ABCD 的周长为 30 cm，AB，CD 相交于点 O，OE⊥AC 交 AD 于 E，则 △DCE 的周长为 15 cm． 第9题 第10题10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，BC=9，以点 B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 BA，BC 于 点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，则 DF 的长度为 3 . 拓展迁移： 11.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF . 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD, ∠BAE=∠DCE, ∵BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线∴ ∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)，所以 AE=CF．12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN．证明 ∵DM⊥AC，BN⊥AC， ∴∠AMD=∠CNB=90 ， ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD=BC 且 AD∥BC，∠DAM=∠BCN．在 △ADM 与 △CBN 中， ∠AMD=∠CNB,∠DAM=∠BCN,AD=BC, ∴△ADM≌△CBNAAS， ∴DM=BN． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。六、提升 平行四边形的对角线互相平分，几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD等腰梯形的底角相等，对角线相等几何语言：∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD，∠ABC=∠DCB 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。作业设计（课外练习） 基础达标：1．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（ D ）A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）2．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ B ）A．80° B．81° C．82° D．83°第1题 第2题 第4题3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ C ）A．2.5 B．5 C．10 D．154．如图，在 中， ∠BAC ， ∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，若，AB=3,AD=4，则EF的长是（ A ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 7 ．6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是 4 ．第5题 第6题 第8题能力提升：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是_____解答提示：分情况讨论:C点在第一象限，C(3,4)；C点在第二象限，C(-3,4)；C点在第四象限，C(3,-4)。8.在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且AD=6，则四边形BEGF的面积是（ ）拓展迁移：9．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．(1)求证：△ADE≌△FCE ；(2)当∠BAF=90° ，CD=3，AD=2.5时，求AF的长；(3)在（2）的条件下，连接BE，求△BEF的面积．解：(1)证明：∵E是边CD的中点,∴CE=DE 四边形ABCD是平行四边形，BF∥AD∴∠CFE=∠DAE∠FEC=∠AED（对顶角）△ADE≌△FCE（AAS)； (2),四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD∠BAF=90°∴∠FEC==∠AED=90°DE=EC=1.5∵△ADE≌△FCE∴EF=AE∴AF=2AF=4（3）：AE=2 ,AB=CD=3E是AF的中点10．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．(1)求证：BC＝CD+ED；(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的证明：（1）∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB=CD∠ABE=∠AEB∴AB=AEBC=AD=AE+ED=AB+ED=CD+ED∴BC=CD+ED解(2)：过F作FG垂直BC∵BE是∠ABC的角平分线，AF⊥AB,FG⊥BC∴AF=FG=3,AB=BG在直角三角形GFC中，FC=AC-AF=5,FG=3∴CG=4设AB=AE=BG=x解得x=6∴AE=6教学反思21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚教材版本 北师大版（2024）） 册、章 上册第六单元课标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，结合北师大版（2024）八年级数学下册《平行四边形》章节，课标要求如下：内容要求：理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理，探索并证明三角形的中位线定理学业要求：培养学生的逻辑推理、空间观念、几何直观、模型观念、运算能力：内容分析 本章位于北师大版八年级下册第六章，是初中平面几何的核心内容，以 “定义 — 性质 — 判定 — 应用” 为主线，承接三角形、平行线等旧知，为后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形奠定基础，同时重点发展学生的几何直观、逻辑推理与规范表达能力。整体框架以 “定义→性质→判定→综合应用→拓展延伸” 为逻辑链，模块清晰、层层递进。教材特色：强化探究过程：通过观察、测量、旋转、说理等活动，引导学生从直观猜想过渡到严谨证明。新增 “持续思考” 栏目：聚焦元认知，强调几何学习的思维过程，而非仅记结论，证明前设 “分析” 环节：明确推理思路，降低证明难度，培养逻辑表达。学情分析 八年级学生处于直观形象向抽象逻辑过渡的关键期，对平行四边形有直观认知，但从 “实验猜想” 到 “严谨证明” 的过渡存在明显挑战，几何证明规范性、知识迁移能力与综合题解题力分层显著，是本单元学习的核心痛点。小学已直观认识平行四边形，能识别特征与计算面积。七年级系统学习平行线、三角形 全等、图形平移旋转，为本单元证明提供核心工具。掌握多边形内角和与一般四边形概念 ，对 “边、角、对角线” 的研究路径有初步经验。具备观察、测量、折纸、旋转等动手 操作能力，喜欢 “探索 — 发现” 的学习方式。有小组合作交流经验，能在任务中分享 思路、协作探究。。单元目标 教学目标一、知识与技能目标1、理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，并能进行简单计算与推理。2、掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件准确判断一个四边形是否为平行四边形。3、理解三角形中位线定理，能运用中位线定理进行线段平行与数量关系的证明与计算。4、能规范书写几何证明过程，正确使用几何符号语言，初步掌握将四边形问题转化为三角形问题的解题方法。二、过程与方法目标1、经历 “观察 — 操作 — 猜想 — 证明 — 归纳” 的探究过程，发展合情推理与演绎推理能力。2、在探究平行四边形性质与判定的活动中，体会转化、类比、分类讨论等数学思想。3、通过小组合作交流、一题多解等活动，提高分析问题、表达思路和解决问题的能力。4、初步学会从复杂图形中分离出基本图形，提升几何直观与识图能力。三、情感态度与价值观目标1、感受平行四边形在生活中的广泛应用，体会几何与现实生活的联系，激发学习兴趣。2、在自主探究与合作交流中获得成功体验，增强学习数学的自信心。3、培养严谨求实的科学态度，养成规范书写、步步有据的良好学习习惯。4、初步形成几何建模意识，提升运用数学知识解决实际问题的意愿与能力。教学重点· 平行四边形的概念、性质与判定定理的理解与应用。· 三角形中位线定理的探索、证明与应用。· 综合运用性质与判定进行推理证明和计算。教学难点· 性质与判定的灵活选择，避免混淆。· 性质定理的严谨证明（如通过连接对角线构造全等三角形）。· 三角形中位线定理的推导与综合应用（与平行四边形结合）。· 规范几何证明格式，培养演绎推理能力单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数01平行四边形性质定理（1）102平行四边形性质定理（2）103平行四边形判断定理（1）104平行四边形判断定理（2）105平行线间的距离106三角形的中线107回顾与思考1达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质定理（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、回顾平行四边形的定义，理解定义的两重含义。3、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。4、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。5、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。6、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性和书写的规范性。7、课堂练习8、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形性质定理（2）探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分4、推理验证等腰三角形的两底角相等，两对角线的长度相等。5、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（1）会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法，理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。经历平行四边形判断定理的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的判断定理，并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形判断定理1、25、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（2）1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理1、2，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、推理验证正确性。5、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行线间的距离理解平行线间距离的定义：明确两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，就是这两条平行线间的距离。能利用“平行线间的距离处处相等”这一性质，解决几何图形中的面积计算、线段等量证明等问题。通过观察、操作、验证等活动，提升抽象概括能力。在证明“平行线间的距离处处相等”时，锻炼演绎推理和逻辑表达能力。完成检测题。复习平行四边形的定义，性质定理和判断定理。探究什么是平行线之间的距离、性质。学习例题。5、课堂练习6、课堂总结环节一：课前检测环节二：回顾知识环节三；探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置三角形的中线理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4、在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2、画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、运用知识解决问题，学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。5、课堂练习6、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、展示展示架构图。2、回顾平行四边形的性质定理、判断定理、三角形的中位线进行知识梳理。3、进行相应的练习。综合运用知识解决实际问题。4、课堂练习5、课堂总结环节一：知识架构环节二；知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：布置作业《平行四边形》单元教学设计活动一：复习旧知活动二：探究性质定理1、2任务一：平行四边形性质定理（1）活动三：典例分析活动四：课堂练习活动五：课堂总结活动六：作业布置活动一：复习旧知活动二：探究性质定理3任务二：平行四边形性质定理（2）活动三：典例分析平行四边形活动四：课堂练习活动五：课堂总结活动六：作业布置活动一：复习旧知活动二：探究判断定理1、2任务三：平行四边形判断定理（1）活动三：典例分析活动四：课堂练习活动五：课堂总结活动六：作业布置活动一：复习旧知活动二：探究判定定理3任务四：平行四边形判断定理（2）活动三：典例分析活动四：课堂练习活动五：课堂总结活动一：课前检测活动二：复习旧知活动三：探究新知任务五：平行线之间的距离活动四：典例分析活动五：课堂练行四边形活动六：课堂总结活动一：温故知新活动二：探究新知活动三：典例分析任务六：三角形中位线活动思：课堂练习活动五：课堂总结活动一：知识架构活动二：知识梳理任务六：回顾与思考活动三：课堂练习活动思：课堂总结活动五：作业布置HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台第六章 《平行四边形》导学案6.1平行四边形性质定理（2） 学习目标与重难点学习目标：探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。3、通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。学习重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用。学习难点：运用平行四边形的性质解决有关的计算和证明 预习自测一、知识链接1.平行四边形的定义: .平行四边形的性质：边的性质： .符号语言： .角的性质： .符号语言: . 教学过程一、合作交流、新知探究探究一：探究平行四边形性质定理31、平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。(课件演示：发现对角线互相平分)如图 ， □ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O。（1） 图中有哪些三角形是全等的？ 有哪些线段是相等的？（2） 能设法验证你的结论吗？2、验证结论①、计算验证OA= OC= OB= OD=②推理验证已知：如图6-4， ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AB=CD ，AB//DC∴ ∠BAO=∠DCO ，∠ABO=∠CDO∴ △AOB≌△COD（ASA）∴ OA=OC，OB=OD.【强调】总结归纳：平行四边形的性质3，平行四边形的对角线互相平分。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD探究二、梯形的性质1、梯形的定义：一组对边平行， .2、等腰梯形的定义： .3、直角梯形的定义： .怎样的梯形对角线相等？ .证明等腰梯形的底角相等，对角线相等，已知等腰梯形ABCD,AB=CD,求证：∠ABC=∠DCB,AC=BD证明：在BC上取一点E,使CE=AD∵AD∥EC,AD=EC∵ABCE是平行四边形,AE∥CD,AE=CD∠DCB=∠AEBAB=CD=AE∴△ABE是等腰三角形∠ABE=∠AEB∴∠ABC=∠DCB∵∠ABC=∠DCBBC=BCAB=DC∴△ABC≌△DCB∴AC=BD典例精析例题1：如图6-5， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.求证:OE=OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD//BC ， OA=OC∴ ∠OAE=∠OCF又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF(ASA)∴OE=OF例题2：例题2：已知 ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3、4、5，求其它各边以及两条对角线的长度.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC， OA=OC，OB=OD又∵OA=3，OB=4，AB=5∴AC=6，BD=8，CD=5在△AOB中，∵OA+OB=3+4=25，AB=5=25 ∴OA+OB=AB∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD∴在Rt△AOD中，∴BC=5答：这个平行四边形的其它各边都是5，两条对角线长分别为6和8.二、总结反思、拓展升华1、平行四边形的对角线互相平分，几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD2、等腰梯形的底角相等，对角线相等几何语言：∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD，∠ABC=∠DCB【课堂练习】基础练习1. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形2. 已知一个平行四边形相邻的两边长不相等且都为整数，若它的两条对角线长分别为 8 cm 和 12 cm，则它相邻两边长的长度可以分别是 ( ) A. 4 cm，6 cm B. 5 cm，6 cm C. 6 cm，8 cm D. 8 cm， 10 cm3.如图，平行四边形 ABCD 的周长为 14，BE=2，AE 平分 ∠BAD 交 BC 边于点 E，则 CE 的长等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第3题 第4题 第5题4、如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线将它分成四个小三角形 △AOB，△AOD，△DOC，△BOC，以下说法正确的是（ ） A. 四个小三角形全等 B. 四个小三角形是等腰三角形C. 四个小三角形是直角三角形 D. 四个小三角形的面积相等5、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=6，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，则 △CDE 的周长是（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 126. 在平行四边形 ABCD 中，AB:BC=2:3，周长是 40 cm，则AB= ．7. 在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=200 ，则 ∠A= ．8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ODA=90 ，AC=10 cm，BD=6 cm，则 AD 的长为 . 第8题 第9题 第10题能力提升9.如图，平行四边形 ABCD 的周长为 30 cm，AB，CD 相交于点 O，OE⊥AC 交 AD 于 E，则 △DCE 的周长为 cm．拓展迁移10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，BC=9，以点 B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 BA，BC 于 点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，则 DF 的长度为 . 11.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF .12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN．【课外作业】1．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（ ）A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）2．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ ）A．80° B．81° C．82° D．83°第1题 第2题 第4题3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ ）A．2.5 B．5 C．10 D．154．如图，在 中，∠ABC ，∠BCD 的平分线分别交AD于点E，F，若，AB=3,AD=4，则EF的长是（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 _____．6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是______．课堂作业参考答案第5题 第6题7．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是_____．能力提升8.在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且AD=6，则四边形BEGF的面积是（ ）拓展迁移9．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．(1)求证：△ADE≌△FCE ；(2)当∠BAF=90° ，CD=3，AD=2.5时，求AF的长；(3)在（2）的条件下，连接BE，求△BEF的面积．10．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．(1)求证：BC＝CD+ED；(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的课堂作业参考答案DCCDB8cm80°5cm1510、311、证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD, ∠BAE=∠DCE,∵BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线∴ ∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)，所以 AE=CF．12、证明 ∵DM⊥AC，BN⊥AC，∴∠AMD=∠CNB=90 ，∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD=BC 且 AD∥BC，∠DAM=∠BCN．在 △ADM 与 △CBN 中，∠AMD=∠CNB,∠DAM=∠BCN,AD=BC,∴△ADM≌△CBNAAS，∴DM=BN．课外作业参考答案DBCA74分情况讨论: C点在第一象限，C(3,4)；C点在第二象限，C(-3,4)；C点在第四象限，C(3,-4)9、(1)证明：∵E是边CD的中点,∴CE=DE四边形ABCD是平行四边形，BF∥AD∴∠CFE=∠DAE∠FEC=∠AED（对顶角）△ADE≌△FCE（AAS)；(2)解：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD∠BAF=90°∴∠FEC==∠AED=90°DE=EC=1.5∵△ADE≌△FCE∴EF=AE∴AF=2AF=4（3）解：AE=2 ,AB=CD=3E是AF的中点10、（1）证明：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB=CD∠ABE=∠AEB∴AB=AEBC=AD=AE+ED=AB+ED=CD+ED∴BC=CD+ED（2）解：过F作FG垂直BC∵BE是∠ABC的角平分线，AF⊥AB,FG⊥BC∴AF=FG=3,AB=BG在直角三角形GFC中，FC=AC-AF=5,FG=3∴CG=4设AB=AE=BG=x解得x=6∴AE=621世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 【精2】北师大版（2024）八下6.1平行四边形性质定理（2）导学案.docx 【精2】北师大版（2024）八下6.1平行四边形的性质定理（2）.pptx 【精2】北师大版（2024）八下6.1平行四边形的性质定理（2）教学设计.doc 北师大版（2024）八年级数学下册第六章《平行四边形》单元教学设计.doc
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