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第六章 《平行四边形》导学案
6.2平行四边形的判断定理（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.
2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.
3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情
学习重点：
平行四边形判定方法的探究、运用.
学习难点：
对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
预习自测
一、知识链接
平行四边形的判定定理
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言描述为： .
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言描述为： .
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言描述为： .
教学过程
任务一：探究平行四边形的对角线
工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？
思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？
已知：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明: ∵ OA=OC,OB=OD
且 ∠AOB=∠COD
∴ △AOB≌△COD
∴ AB=CD
同理可得:BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
用数学语言描述为：
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形。
例1:已知,如图6-13(1),在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．求证:四边形BFDE是平行四边形.
证明: 如图,连接BD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC OB=OD
又∵AE=CF ∴OA-AE=OC-CF
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
2． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
第2题 第4题
3．在四边形ABCD中，AD∥CB，分别添加下列条件：①；AB∥CD，②AB=CD,③AD=CB,④，∠B=∠D⑤∠A=∠C,其中能使四边形成为平行四边形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（　　）
A．AE＝CF B．BE＝DF C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD
5．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
6.有两块全等的含30°角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7. 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解答提示：根据HL先证△DCF≌△BAE.其他问题迎刃而解。
第7题 第8题
8.如图，在 ABCD 中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且，CG=3BG，平行四边形BGPE的面积是1.5，则平行四边形AEPH的面积是 。
能力提升：
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
拓展迁移
如图，点E、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（E、F都不与两端点重合），连结AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交于点G，DE和CF交于点H令
求四边形FGEH的面积．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．若BC=8，AB=6,∠BCD=120°．延长FG交AB于点P，连接AG，记△APG的面积为，△BPG的面积为，若，FP⊥AB , 则 =
总结反思、拓展升华
平行四边形的判定定理（3）
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
用数学语言描述为：
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形。
五、【作业布置】
基础达标：
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
2．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF
第1题图 第2题图 第3题 第4题
3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定
4. 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 　 D．3个
5. 在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是( )
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分
6.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD=∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一种情况）.
7.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 （添序列号即可
能力提升：
8.如图，在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线BD平移，得到△GEF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，连接EC、CG，则 的最小值为 45 。
拓展迁移：
9.如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC，求证：四边形ABDF是平行四边形．
10．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.求证：BE＝AF.
课堂作业参考答案：
B
C
B
B
C
C
D
4.5
解答提示： ∵BD是平行四边形的对角线
∴ AEPH的面积= PGCF的面积
PGCF的面积=1.5×3=45
∴ AEPH的面积=45
9、解答提示：（1） 把y=0代入y＝－ x＋ 可求B点坐标；
把两直线解析式联立起来，解二元一次方程组，可求A点坐标。
答案是A(1,1);B(3,0)
（2）分三种情况
C点在AB的右侧；C点在OA的左侧；C点在B的下方；
根据平行四边形的性质，求出C（－2，1）或（4，1）或（2，－1）；
（3）分二种基本情况：
D在第一象限；OB=OD或OD=BD或OB=BD
D在第三象限：OB=OD
根据等腰三角形性质求解，答案是：
10.解：连接EF
∵
∴AF=m×BC，EC=n×BC
∴AF+EC=BC(m+n)=BC=BE+EC
∴AF=BE而AD=BC
∴DF=EC
∴四边形ABEF,ECDF是平行四边形
11.解答提示：先证四边形BFDE是平行四边形,得到BF=DE.
延长DA,FP相较于N,证△BFG≌△ENG，得到BF=EN
由于∠BCD=120°，PF⊥AB,∴∠BFP=30°
设BP=a，则BF=ED=NE=2a,,AN=NE+ED-AD=4a-8
再证△BFP∽△ANP.得到
结合AB=AP+BP=6
求出AP：PB=4:5
由于这两个三角形等高，
∴
课外作业参考答案
B
B
A
B
C
AB=CD或AD∥BC
①②③
8、解答提示：先证CDEG是平行四边形，得到CG=ED
连接AE,作点D关于AE的对称点M.得到DE=EM.延长BA较DM于N
GC+EC=EM+EC,当E、M、C 三点共线时GC+EC最小。
再证CDEG是平行四边形,得到∠EAD=∠MDA=45°
得到△ADM是等腰直角三角形。AM=AB=BC=3
在直角三角形BCN中利用勾股定理求出MC的平方即可
9.证明：∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，∴∠DAF＝∠ADE，
易知AD＝CD，BD⊥AC，
∴∠CDB＝∠ADE，∴∠DAF＝∠CDB.
又∵∠BCD＝∠ADF，AD＝DC，
∴△ADF≌△DCB，
∴AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形
10.证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，
∴AF＝DE.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，∴BE＝AF
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 上册第六单元
课标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，结合北师大版（2024）八年级数学下册《平行四边形》章节，课标要求如下：内容要求：理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理，探索并证明三角形的中位线定理学业要求：培养学生的逻辑推理、空间观念、几何直观、模型观念、运算能力：
内容分析 本章位于北师大版八年级下册第六章，是初中平面几何的核心内容，以 “定义 — 性质 — 判定 — 应用” 为主线，承接三角形、平行线等旧知，为后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形奠定基础，同时重点发展学生的几何直观、逻辑推理与规范表达能力。整体框架以 “定义→性质→判定→综合应用→拓展延伸” 为逻辑链，模块清晰、层层递进。教材特色：强化探究过程：通过观察、测量、旋转、说理等活动，引导学生从直观猜想过渡到严谨证明。新增 “持续思考” 栏目：聚焦元认知，强调几何学习的思维过程，而非仅记结论，证明前设 “分析” 环节：明确推理思路，降低证明难度，培养逻辑表达。
学情分析 八年级学生处于直观形象向抽象逻辑过渡的关键期，对平行四边形有直观认知，但从 “实验猜想” 到 “严谨证明” 的过渡存在明显挑战，几何证明规范性、知识迁移能力与综合题解题力分层显著，是本单元学习的核心痛点。小学已直观认识平行四边形，能识别特征与计算面积。七年级系统学习平行线、三角形 全等、图形平移旋转，为本单元证明提供核心工具。掌握多边形内角和与一般四边形概念 ，对 “边、角、对角线” 的研究路径有初步经验。具备观察、测量、折纸、旋转等动手 操作能力，喜欢 “探索 — 发现” 的学习方式。有小组合作交流经验，能在任务中分享 思路、协作探究。。
单元目标 教学目标一、知识与技能目标1、理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，并能进行简单计算与推理。2、掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件准确判断一个四边形是否为平行四边形。3、理解三角形中位线定理，能运用中位线定理进行线段平行与数量关系的证明与计算。4、能规范书写几何证明过程，正确使用几何符号语言，初步掌握将四边形问题转化为三角形问题的解题方法。二、过程与方法目标1、经历 “观察 — 操作 — 猜想 — 证明 — 归纳” 的探究过程，发展合情推理与演绎推理能力。2、在探究平行四边形性质与判定的活动中，体会转化、类比、分类讨论等数学思想。3、通过小组合作交流、一题多解等活动，提高分析问题、表达思路和解决问题的能力。4、初步学会从复杂图形中分离出基本图形，提升几何直观与识图能力。三、情感态度与价值观目标1、感受平行四边形在生活中的广泛应用，体会几何与现实生活的联系，激发学习兴趣。2、在自主探究与合作交流中获得成功体验，增强学习数学的自信心。3、培养严谨求实的科学态度，养成规范书写、步步有据的良好学习习惯。4、初步形成几何建模意识，提升运用数学知识解决实际问题的意愿与能力。教学重点· 平行四边形的概念、性质与判定定理的理解与应用。· 三角形中位线定理的探索、证明与应用。· 综合运用性质与判定进行推理证明和计算。教学难点· 性质与判定的灵活选择，避免混淆。· 性质定理的严谨证明（如通过连接对角线构造全等三角形）。· 三角形中位线定理的推导与综合应用（与平行四边形结合）。· 规范几何证明格式，培养演绎推理能力
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数01平行四边形性质定理（1）102平行四边形性质定理（2）103平行四边形判断定理（1）104平行四边形判断定理（2）105平行线间的距离106三角形的中线107回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质定理（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、回顾平行四边形的定义，理解定义的两重含义。3、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。4、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。5、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。6、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性和书写的规范性。7、课堂练习8、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形性质定理（2）探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分4、推理验证等腰三角形的两底角相等，两对角线的长度相等。5、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（1）会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法，理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。经历平行四边形判断定理的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的判断定理，并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形判断定理1、25、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（2）1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理1、2，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、推理验证正确性。5、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行线间的距离理解平行线间距离的定义：明确两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，就是这两条平行线间的距离。能利用“平行线间的距离处处相等”这一性质，解决几何图形中的面积计算、线段等量证明等问题。通过观察、操作、验证等活动，提升抽象概括能力。在证明“平行线间的距离处处相等”时，锻炼演绎推理和逻辑表达能力。完成检测题。复习平行四边形的定义，性质定理和判断定理。探究什么是平行线之间的距离、性质。学习例题。5、课堂练习6、课堂总结环节一：课前检测环节二：回顾知识环节三；探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置三角形的中线理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4、在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2、画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、运用知识解决问题，学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。5、课堂练习6、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、展示展示架构图。2、回顾平行四边形的性质定理、判断定理、三角形的中位线进行知识梳理。3、进行相应的练习。综合运用知识解决实际问题。4、课堂练习5、课堂总结环节一：知识架构环节二；知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：布置作业
《平行四边形》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理1、2
任务一：平行四边形性质定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理3
任务二：平行四边形性质定理（2）
活动三：典例分析
平行四边形
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判断定理1、2
任务三：平行四边形判断定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判定定理3
任务四：平行四边形判断定理（2）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：复习旧知
活动三：探究新知
任务五：平行线之间的距离
活动四：典例分析
活动五：课堂练行四边形
活动六：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：探究新知
活动三：典例分析
任务六：三角形中位线
活动思：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务六：回顾与思考
活动三：课堂练习
活动思：课堂总结
活动五：作业布置
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北师大版（2026）八年级数学下册第六章《平行四边形》教学设计
6.2平行四边形的判断定理（2）
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 六
课题 平行四边形的判断定理（2） 课时 1
课标要求 课标要求不仅需要掌握判断方法，更要经历“探索-猜想-验证-证明”的几何思维闭环，需要理解判定定理的由来，本节课重点是探究“对角线相等的平行四边形是平行四边形”判定定理。
教材分析 本节课是平行四边形的判定的第2课时，是在平行四边形的定义、性质的基础上又学行四边形的两种判定方法进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用．“承上”，首先，在探究判定定理的证明方法和运用判定定理时，用到了前一节课的探究方法及证明；其次，平行四边形的判定定理和性质定理是两两对应的互逆定理； “启下”，首先，平行四边形的性质定理、判定定理是研究特殊的平行四边形的基础；其次，平行四边形性质、判定的探究模式从方法上为研究特殊的平行四边形奠定了基础．并且，本节内容还是学生运用化归思想、数学建模思想的良好素材，培养了学生的创新思维和探索精神
学情分析 学生知识技能基础:学生在小学已经学行四边形,对平行四边形有直观的感知和认识。在第一节也学行四边形的性质,第二节第一课时学生也已经掌握了几种判定的方法。学生活动经验基础:在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程和平行四边形性质的学习中,学生已经初步经历过观察、操作等活动过程,获得了一定的探索图形性质的活动经验;同时,在学习数学的过程中也经历了很多合作过程,具有了一定的学习经验,具备了一定的合作和交流能力。
核心素养目标 1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.
教学重点 平行四边形判定方法的探究、运用.
教学难点 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 平行四边形的判定定理两组对边分别平行的四边形是平行四边形几何语言描述为：∵AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形几何语言描述为：∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形几何语言描述为：∵ AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形 学生回顾平行四边形的判断定理1、2，并正确的用几何语言来描述。 通过回顾平行四边形的判断定理的复习，既加深学生对所学知识的掌握，又为这节课做好铺垫.
二、探究 任务一：探究平行四边形的对角线工具:两根不同长度的细木条.动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？已知：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。证明: ∵ OA=OC,OB=OD 且 ∠AOB=∠COD ∴ △AOB≌△COD ∴ AB=CD 同理可得:BC=AD ∴ 四边形ABCD是平行四边形.平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。用数学语言描述为：∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。验证猜测的正确性。推理验证正确性。 通过学生动手来提高学生参与的积极性，猜测平行四边形的对角线互相平分，并证明这一定理的正确性。同时让学生分析证明的过程，让学生知道几何说理的必要性，锻炼了学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.同时给学生充足的时间进行书写，从而提高学生做题的规范性.
三、变式 例1:已知,如图6-13(1),在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．求证:四边形BFDE是平行四边形.证明: 如图,连接BD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC OB=OD 又∵AE=CF ∴OA-AE=OC-CF ∴OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形 用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。 运用知识解决问题，深化对新知的运用和掌握。
四、尝试 基础达标：1．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ B ）A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等2． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　C　）BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE第2题 第4题3．在四边形ABCD中，AD∥CB，分别添加下列条件：①；AB∥CD，②AB=CD,③AD=CB,④，∠B=∠D⑤∠A=∠C,其中能使四边形成为平行四边形的条件有（　B　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（　B　）A．AE＝CF B．BE＝DF C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD5．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ C ）个．A．1 B．2 C．3 D．无数6.有两块全等的含30°角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ C ）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种7. 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ D ）A．0 B．1 C．2 D．3解答提示：根据HL先证△DCF≌△BAE.其他问题迎刃而解。 第7题 第8题8.如图，在 ABCD 中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且，CG=3BG，平行四边形BGPE的面积是1.5，则平行四边形AEPH的面积是 4.5 。 解∵BD是平行四边形的对角线∴ AEPH的面积= PGCF的面积 PGCF的面积=1.5×3=45 ∴ AEPH的面积=45能力提升：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解答提示：（1） 把y=0代入y＝－ x＋ 可求B点坐标；把两直线解析式联立起来，解二元一次方程组，可求A点坐标。答案是A(1,1);B(3,0)（2）分三种情况C点在AB的右侧；C点在OA的左侧；C点在B的下方；根据平行四边形的性质，求出C（－2，1）或（4，1）或（2，－1）；（3）分二种基本情况：D在第一象限；OB=OD或OD=BD或OB=BDD在第三象限：OB=OD根据等腰三角形性质求解，答案是：拓展迁移如图，点E、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（E、F都不与两端点重合），连结AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交于点G，DE和CF交于点H令 求四 边形FGEH的面积．解：连接EF∵∴AF=m×BC，EC=n×BC∴AF+EC=BC(m+n)=BC=BE+EC∴AF=BE而AD=BC∴DF=EC∴四边形ABEF,ECDF是平行四边形11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．若BC=8，AB=6,∠BCD=120°．延长FG交AB于点P，连接AG，记△APG的面积为，△BPG的面积为，若，FP⊥AB , 则 = 解答提示：先证四边形BFDE是平行四边形,得到BF=DE.延长DA,FP相较于N,证△BFG≌△ENG，得到BF=EN由于∠BCD=120°，PF⊥AB,∴∠BFP=30°设BP=a，则BF=ED=NE=2a,,AN=NE+ED-AD=4a-8再证△BFP∽△ANP.得到结合AB=AP+BP=6求出AP：PB=4:5由于这两个三角形等高，∴ 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 平行四边形的判定定理（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。用数学语言描述为：∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（　B　）A．40° B．50° C．60° D．80°2．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　B　）A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF 第1题图 第2题图 第3题3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　A　）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定4. 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有(　B　)A．2个 B．4个 C．6个 　 D．3个5. 在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是( C )A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分6.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD=∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是【AB=CD或AD∥BC】（只需写出一种情况）.7.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有【①②③.】（添序列号即可能力提升：8.如图，在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线BD平移，得到△GEF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，连接EC、CG，则 的最小值为 45 。解答提示：先证CDEG是平行四边形，得到CG=ED连接AE,作点D关于AE的对称点M.得到DE=EM.延长BA较DM于NGC+EC=EM+EC,当E、M、C 三点共线时GC+EC最小。再证CDEG是平行四边形,得到∠EAD=∠MDA=45°得到△ADM是等腰直角三角形。AM=AB=BC=3在直角三角形BCN中利用勾股定理求出MC的平方即可。拓展迁移：9.如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC，求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴AF∥BD，∴∠DAF＝∠ADE，易知AD＝CD，BD⊥AC，∴∠CDB＝∠ADE，∴∠DAF＝∠CDB.又∵∠BCD＝∠ADF，AD＝DC，∴△ADF≌△DCB，∴AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形10．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.求证：BE＝AF.证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，∴AF＝DE.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝AF
教学反思
A
B
C
D
A
B
C
D
Ｏ
平行四边形的判断定理
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵ AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形。
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第六章 平行四边形
6.2平行四边形的判断定理（2）
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.
01
经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.
02
通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.
03
02
复习导入
平行四边形的判定定理
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
02
复习导入
几何语言描述为：
∵AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
∵ AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
03
新知探究
任务一：探究平行四边形的对角线
工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？
思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？
03
新知探究
已知：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明: ∵ OA=OC,OB=OD
且 ∠AOB=∠COD
∴ △AOB≌△COD
∴ AB=CD
同理可得:BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
03
新知探究
平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
用数学语言描述为：
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
Ｏ
03
典例精析
例1:如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．求证:四边形BFDE是平行四边形.
证明: 如图,连接BD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC OB=OD
又∵AE=CF ∴OA-AE=OC-CF
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
知识要点1
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理（3）
用数学语言描述为：
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
2． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
B
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．在四边形ABCD中，AD∥CB，分别添加下列条件：①；AB∥CD，②AB=CD,③AD=CB,④，∠B=∠D⑤∠A=∠C其中能使四边形成为平行四边形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（　　）
A．AE＝CF B． BE＝DF
C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD
B
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
6.有两块全等的含30°角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
7. 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
D
解答提示：根据HL先证△DCF≌△BAE.其他问题迎刃而解
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
8.如图，在 ABCD 中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且，CG=3BG，平行四边形BGPE的面积是1.5，则平行四边形AEPH的面积是
．
4.5
∵BD是平行四边形的对角线
∴ AEPH的面积= PGCF的面积
PGCF的面积=1.5×3=45
∴ AEPH的面积=45
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=－ x＋ 与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
解答提示： 把y=0代入y＝－ x＋
可求B点坐标；
把两直线解析式联立起来，解二元一次方程组，可求A点坐标。
答案是A(1,1);B(3,0)
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
A(1,1)
B(3,0)
●
●
O
解答提示：分三种情况
C点在AB的右侧；C点在OA的左侧；
C点在B的下方；根据平行四边形的性质，求出C（－2，1）或（4，1）或（2，－1）；
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
解答提示:分二种基本情况：
D在第一象限；OB=OD或OD=BD或OB=BD
D在第三象限：OB=OD
根据等腰三角形性质求解，答案是：
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10．如图，点E、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（E、F都不与两端点重合），连结AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交于点G，DE和CF交于点H．令 ，求四边形FGEH的面积．
解：∵
∴AF=m×BC，EC=n×BC
∴AF+EC=BC(m+n)=BC=BE+EC
∴AF=BE而AD=BC
∴DF=EC
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：连接EF
∴四边形ABEF,ECDF是平行四边形
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．若BC=8，AB=6,∠BCD=120°．延长FG交AB于点P，连接AG，记△APG的面积为 ，△BPG的面积为 ，若，FP⊥AB , 则 = ．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解答提示：先证四边形BFDE是平行四边形,得到BF=DE.
延长DA,FP相较于N,证△BFG≌△ENG，得到BF=EN
由于∠BCD=120°，PF⊥AB,∴∠BFP=30°
设BP=a，则BF=ED=NE=2a,,AN=NE+ED-AD=4a-8
再证△BFP∽△ANP.得到
结合AB=AP+BP=6
求出AP：PB=4:5
由于这两个三角形等高，
∴
N
05
课堂小结
平行四边形的判定定理
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（　　）
A．40° B．50 °C．60° D．80°
2．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF
B
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定
4. 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 　D．3个
A
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5. 在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是( )
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分
6.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD=∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一种情况）.
7.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 （添序列号即可）
C
AB=CD或AD∥BC
①②③
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.如图，在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线BD平移，得到△GEF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，连接EC、CG，则 的最小值为 ____________
45
M
解答提示：先证CDEG是平行四边形，得到CG=ED
连接AE,作点D关于AE的对称点M.得到DE=EM.延长BA较DM于N
GC+EC=EM+EC,当E、M、C 三点共线时GC+EC最小。
再证CDEG是平行四边形,得到∠EAD=∠MDA=45°
得到△ADM是等腰直角三角形。AM=AB=BC=3
在直角三角形BCN中利用勾股定理求出MC的平方即可。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9. 如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC，求证：四边形ABDF是平行四边形．
证明：∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，∴∠DAF＝∠ADE，
BD垂直平分AC
∴∠CDB＝∠ADE，∴∠DAF＝∠CDB.
又∵∠BCD＝∠ADF，AD＝DC，
∴△ADF≌△DCB，
∴AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.求证：BE＝AF.
证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，
∴AF＝DE.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，∴BE＝AF
【人物插图小图标】
【人物插图小图标】
【探究环节小图标】
说一说
例1
探究一
多项式乘法的运算法则
【备用文本框】
【备用文本框】
【备用文本框】
分析
111111
11111
【备用文本框】
解析
1
1
1
【备用文本框】
注意：
1.
2.
总结
【备用文本框】
定理：
1.
2.
3.
4.
【备用文本框】
总结：
1.
2.
3.
4.
5.
总结：
1.
2.
3.
4.
5.
【备用文本框】
【备用文本框】
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
结论
(1) 系数相乘；
(2) 相同字母的幂相乘；
(3) 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意
【备用文本框】
【备用文本框】
1.单项式乘单项式：结果仍是单项式；
2.结果中含有单项式中的所有字母；
3.结果中每一个字母的指数都等于前面单项式中同一字母的指数和.
归纳：
尺规作图：
作一条线段等于已知线段
已知线段a,用直尺和圆规作一条线段,使它等于已知线段a.
作法:第一步,任意画一条射线AC，
第二步,用圆规量取已知线段a的长度，
第三步,在射线AC上截取AB=a，
线段AB就是所求作的线段.
【备用文本框】
Thanks!
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