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2025-2026学年江苏省南通市海安实验中学高三（下）学情检测
数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则复数( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知所在平面内一点满足，为中点，则长度是长度的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
4.已知是等比数列，则“数列是递增数列”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.下列命题中真命题是( )
A. 命题：，的否定：，
B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
C. 若随机变量服从正态分布，，则
D. 圆上的点到直线距离为的点恰有个
7.已知函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
8.已知正方体的棱长为，为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知直线与双曲线交于，两点，，是的左，右焦点，为坐标原点，且，，则下列结论正确的是( )
A. 的离心率为 B.
C. 到的距离为 D. 到和的距离之和为
11.已知数列共有项为不小于的正整数，且若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 中不可能出现连续五项构成等比数列
D. 当时，，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 ．
13.直线与曲线相切，则 ．
14.四边形中，与交于点，已知，且是的中点，，又，则四边形的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统型与型对果实品质的影响农场随机选取株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：
灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计
型
型
合计
根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；
该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为：
使用传统土壤栽培时的分布列为：
从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的株番茄总产量大于的概率．
附：，其中．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，．
证明：平面平面；
在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知点是函数的一个对称中心．
求的值；
若函数的最大值为，求的最小值和单调区间．
18.本小题分
已知点，点，动点的满足．
若点的轨迹为曲线，求此曲线的方程；
过点向曲线作切线，求切线方程．
19.本小题分
已知，设函数，是的导函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若在区间上存在两个不同的零点，
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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16.解：证明：在中，，，，
有，可得，
又，，可得平面，
即有，
由四边形是边长为的正方形，可得，
而，可得平面，
又平面，则平面平面；
在线段上存在点，使得，且．
理由如下：由可得，以为原点，
，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
设，，
所以，解得，，，
所以，，要使，
则需，即，解得．
故线段上存在点，使得，且．
17.

18.解：设点坐标为
因为，点，点，
所以，
整理得：．
此曲线的方程为：，即．
由曲线：可得：圆心，半径．
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意．
当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即．
则，解得，
此时切线方程为，即．
综上可得：切线方程为或．
19.解：当时，，
则，且，
所以，，
故函数在点处的切线方程为，即；
当时，由等可得，
令，则，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，，
因为在上存在两个不同的零点，，则，
所以，即．
取，则，
故，又，
所以在和上各有一个零点，故，
故的取值范围为；
证明：因为，
所以，
结合知：．
设，则，在上，在上，
所以函数在上递增，在上递减，
故，即，
所以，即，当时取等号，
所以．
由知在上单调递增，且，
所以，即．
因为在上是减函数，且，
所以，得证．
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