资源简介

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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 上册第六单元
课标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，结合北师大版（2024）八年级数学下册《平行四边形》章节，课标要求如下：内容要求：理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理，探索并证明三角形的中位线定理学业要求：培养学生的逻辑推理、空间观念、几何直观、模型观念、运算能力：
内容分析 本章位于北师大版八年级下册第六章，是初中平面几何的核心内容，以 “定义 — 性质 — 判定 — 应用” 为主线，承接三角形、平行线等旧知，为后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形奠定基础，同时重点发展学生的几何直观、逻辑推理与规范表达能力。整体框架以 “定义→性质→判定→综合应用→拓展延伸” 为逻辑链，模块清晰、层层递进。教材特色：强化探究过程：通过观察、测量、旋转、说理等活动，引导学生从直观猜想过渡到严谨证明。新增 “持续思考” 栏目：聚焦元认知，强调几何学习的思维过程，而非仅记结论，证明前设 “分析” 环节：明确推理思路，降低证明难度，培养逻辑表达。
学情分析 八年级学生处于直观形象向抽象逻辑过渡的关键期，对平行四边形有直观认知，但从 “实验猜想” 到 “严谨证明” 的过渡存在明显挑战，几何证明规范性、知识迁移能力与综合题解题力分层显著，是本单元学习的核心痛点。小学已直观认识平行四边形，能识别特征与计算面积。七年级系统学习平行线、三角形 全等、图形平移旋转，为本单元证明提供核心工具。掌握多边形内角和与一般四边形概念 ，对 “边、角、对角线” 的研究路径有初步经验。具备观察、测量、折纸、旋转等动手 操作能力，喜欢 “探索 — 发现” 的学习方式。有小组合作交流经验，能在任务中分享 思路、协作探究。。
单元目标 教学目标一、知识与技能目标1、理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，并能进行简单计算与推理。2、掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件准确判断一个四边形是否为平行四边形。3、理解三角形中位线定理，能运用中位线定理进行线段平行与数量关系的证明与计算。4、能规范书写几何证明过程，正确使用几何符号语言，初步掌握将四边形问题转化为三角形问题的解题方法。二、过程与方法目标1、经历 “观察 — 操作 — 猜想 — 证明 — 归纳” 的探究过程，发展合情推理与演绎推理能力。2、在探究平行四边形性质与判定的活动中，体会转化、类比、分类讨论等数学思想。3、通过小组合作交流、一题多解等活动，提高分析问题、表达思路和解决问题的能力。4、初步学会从复杂图形中分离出基本图形，提升几何直观与识图能力。三、情感态度与价值观目标1、感受平行四边形在生活中的广泛应用，体会几何与现实生活的联系，激发学习兴趣。2、在自主探究与合作交流中获得成功体验，增强学习数学的自信心。3、培养严谨求实的科学态度，养成规范书写、步步有据的良好学习习惯。4、初步形成几何建模意识，提升运用数学知识解决实际问题的意愿与能力。教学重点· 平行四边形的概念、性质与判定定理的理解与应用。· 三角形中位线定理的探索、证明与应用。· 综合运用性质与判定进行推理证明和计算。教学难点· 性质与判定的灵活选择，避免混淆。· 性质定理的严谨证明（如通过连接对角线构造全等三角形）。· 三角形中位线定理的推导与综合应用（与平行四边形结合）。· 规范几何证明格式，培养演绎推理能力
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数01平行四边形性质定理（1）102平行四边形性质定理（2）103平行四边形判断定理（1）104平行四边形判断定理（2）105平行线间的距离106三角形的中线107回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质定理（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、回顾平行四边形的定义，理解定义的两重含义。3、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。4、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。5、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。6、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性和书写的规范性。7、课堂练习8、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形性质定理（2）探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分4、推理验证等腰三角形的两底角相等，两对角线的长度相等。5、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（1）会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法，理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。经历平行四边形判断定理的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的判断定理，并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形判断定理1、25、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（2）1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理1、2，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、推理验证正确性。5、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行线间的距离理解平行线间距离的定义：明确两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，就是这两条平行线间的距离。能利用“平行线间的距离处处相等”这一性质，解决几何图形中的面积计算、线段等量证明等问题。通过观察、操作、验证等活动，提升抽象概括能力。在证明“平行线间的距离处处相等”时，锻炼演绎推理和逻辑表达能力。完成检测题。复习平行四边形的定义，性质定理和判断定理。探究什么是平行线之间的距离、性质。学习例题。5、课堂练习6、课堂总结环节一：课前检测环节二：回顾知识环节三；探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置三角形的中线理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4、在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2、画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、运用知识解决问题，学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。5、课堂练习6、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、展示展示架构图。2、回顾平行四边形的性质定理、判断定理、三角形的中位线进行知识梳理。3、进行相应的练习。综合运用知识解决实际问题。4、课堂练习5、课堂总结环节一：知识架构环节二；知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：布置作业
《平行四边形》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理1、2
任务一：平行四边形性质定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理3
任务二：平行四边形性质定理（2）
活动三：典例分析
平行四边形
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判断定理1、2
任务三：平行四边形判断定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判定定理3
任务四：平行四边形判断定理（2）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：复习旧知
活动三：探究新知
任务五：平行线之间的距离
活动四：典例分析
活动五：课堂练行四边形
活动六：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：探究新知
活动三：典例分析
任务六：三角形中位线
活动思：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务六：回顾与思考
活动三：课堂练习
活动思：课堂总结
活动五：作业布置
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北师大版（2026）八年级数学下册第六章《平行四边形》教学设计
6.3三角形的中位线
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 六
课题 三角形的中位线 课时 1
课标要求 概念理解：明确三角形中位线的定义，即连接三角形两边中点的线段，能准确区分三角形中位线与中线的不同。定理掌握：熟练掌握三角形中位线定理，知道三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。应用能力：能够运用三角形中位线定理解决线段长度计算、角度推导、面积求解以及几何证明等问题，比如证明两条直线平行、线段的倍分关系等。
教材分析 《三角形的中位线》是北师大版八年级（下）第六章《平行四边形》第三节的教学内容，教材安排一个学时完成.三角形的中位线是继三角形的中线、高线、角平分线后的第四种重要线段，三角形的中位线定理揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，特别地，它为我们解决中点相关问题提供了另一条路径，为解决线段的倍分问题提供了直接的理论支持.因此，三角形的中位线是平面几何中的重要内容，在解决几何问题时有十分广泛的应用.同时，本节课的探究过程体现了我们研究几何问题的一般过程“探索---猜想---验证”，中位线定理的证明及应用中渗透了“联想---化归”的数学思想方法，这些对学生的数学学习及思维能力的培养都起着非常重要的作用.在学生学习本节课的过程中，应重视对数学学习的一般方法及数学思想的渗透.
学情分析 本节课的教学对象是八年级的学生，学生已经初步具备了逻辑推理的能力、用数学语言规范表达自己的想法的能力，对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握，同时也积累了一些解决几何问题的经验及方法.通过前面的几何部分的学习，学生思维活跃、参与意识强，对图形性质的探究非常感兴趣，喜欢参与探究性活动，也特别乐于解决一些有挑战性的问题.所以本节课学生对三角形中位线定义能够准确把握，但在添辅助线证明三角形中位线定理时会遇到困难
核心素养目标 理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.
教学重点 三角形中位线定理证明及应用
教学难点 添加辅助线的证明三角形中位线定理.
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 平行四边形的判断方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、对角线互相平分的四边形是平行四边形 回顾旧知 回顾旧知，为新授铺垫。
二、探究 探究1：中位线定义请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线想一想：（1）一个三角形有几条中位线？仿照上面的说法说一说。∵AD=BD ,AE=EC，∴ DE是△ABC的中位线∵DE是△ABC的中位线，∴ AD=BD ,AE=EC（2）三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？中位线的两个端点是两边的中点，而中线的两个端点是一个顶点和对边的中点.探究2：探究三角形中位线定理1、连接任意一个三角形三边的中点，如图（1），分成了4个三角形，猜想它们的面积相等吗？2、通过剪拼，如图（2），猜想拼成的四边形BDFC是平行四边形吗？3、三角形的中线与底边的关系（位置关系、数量关系）如何？证明猜想已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE= BC分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,∴△ADE≌△CFE.∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB.∵BD＝AD，∴CF＝BD.∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴ DF∥BC(平行四边形的定义)，DF＝BC(平行四边形的对边相等).∴DE∥BC，DE＝ BC.探究小结三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半用几何语言表示：∵DE是△ABC的中位线∴ DE∥BC，DE= BC定理的理解（1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用. 画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。验证猜测的正确性。 设计画图，认识中位线，比较中位线和中线，使学生掌握中位线定理，经历观察、猜想、验证等过程引出中位线定理，严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.
三、变式 例题1：证明:，连接任意一个三角形三边的中点，分成了4个三角形，它们的面积相等证明：∵AD=DA.AE=EC∴DE∥BC.DE= BC=BF∴四边形EDCF是平行四边形∴同理 ,∴例题2；如图6-21，平行四边形的对角线AC与BD相交于O,E为AB的中点，∠ADB=90°AC=6,OE=1,求AD和BD的长度。解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于O∴OA=OC,OD=OB(平行四边形对角线互相平分）∵E是AB的中点∴OE是△ABD的中位线（三角形中位线定义）∴AD=2OE=2(三角形中位线定理）∵AC=6,OA=OC=3在Rt△ADO中，∴BD=2OD=2 运用知识解决问题，学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。 例题一般要由浅入深，有拓展性和延伸性。在该教学环节，教师从课本例题出发，适当挖掘扩充，使得学生思维更具灵活性。
四、尝试 基础达标：1、己知：D、E分别为AB、AC的中点. (1)∵ D、E分别为AB、AC的中点. ∴ DE∥BC（根据三角形中位线定理）(2)若BC =10cm，则DE = 5 ㎝.(3)若DE =6cm，则BC = 12 cm.(4)若∠ADE=60°，则∠B= 60 度第1题 第4题2.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ B ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 23.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( C )A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm4、如图，在长方形ABCD中，P、R分别是BC边和DC边上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为 2.55.在四边形ABCD中,AC=6cm，BD=8cm,分别是边AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长为 14cm . 6.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线AC的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=CD，∠PEF=30°， ∠FPE的度数是 120° 第5题 第6题已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明：如图，连接AC∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC EF= AC∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC HG= AC∴EF=HG EF∥HG∴四边形EFGH是平行四边形.能力提升：如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成三个三角形，以此类推，第2022个三角形的周长是 .9、将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是( D )A、0.5 B、1 C、2 D、3拓展迁移10.在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由。解：∵ 点E,F分别为BC,AC的中点∴ EF ∥AB,EF= AB∴ ∠DAC= ∠EFC=90 °∵ AD= AB， ∴ AD=EF,∵ AF=CF, ∴ △ADF≌ △FEC (SAS)∴ DF=EC ∵ BE=EC, ∴ DF=BE11.如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点 （１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？　 （２）若AD=a，BC=b，求EF的长。解：（１）AD∥EF∥BC证明如下：连接DF并延长交BC于G∵AD∥BC∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF又AF＝FC∴△ADF≌△CFG(AAS)∴DF=FG又∵DE=EB∴EF∥ BC(三角形的中位线平行于第三边)又∵AD∥BC∴AD∥EF∥BC2）由（１）可知：EF是△DBG的中位线∴EF=BG=(BC-GC)　（三角形的中位线 等于第三边的一半。）而GC=AD∴EF=(BC-AD)=(b-a) 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 三角形的中位线定义：三角形两边中点的连线，区别于三角形的中线.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．联想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形. 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．几何语言(如图)：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC．DE= BC 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.如图：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= 60 度，为什么？ （2）若BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？2．【 中考·怀化】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为 10 cm.3.如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、F分别是各边中点, AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长= 18 cm。4.如图,已知△ABC中,AB = 4㎝,BC=4.6 ㎝ AC=6㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长是 7.3 ㎝. 第2题图 第3题图 第4题5.如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　D　)A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm 第5题图 第6题图 第7题6.【2016·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(　B　)A．5 B．7 C．9 D．117.【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(　A　)A．4.5 B．5 C．5.5 D．68.【 中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　B　)A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m 第8题 第9题已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.证明：由题意可知GF、HE分别是△ACD和△ABD的中位线∴GF//AD, GF=AD HE//AD, HE= AD∴ GF//HE, GF=HE∴四边形EGFH是平行四边形.能力提升：10.如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：AB＝2OF.证明∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE.∴四边形ABEC是平行四边形．∴点F是BC的中点．又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线．∴ AB＝2OF.拓展迁移：11.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．如图，连接BD.∵点E，H分别是边AB，DA的中点，∴EH为△ABD的中位线．∴EH∥BD，EH＝BD.同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.∴EH∥FG，EH＝FG.∴四边形EFGH是平行四边形．同学们，你还有其他方法吗？
教学反思
D
E
B
C
A
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
C
D
A
F
E
D
C
B
G
A
F
H
E
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第六章 平行四边形
6.3三角形的中位线
01
教学目标
02
课前检测
03
知识回顾
04
导入新课
06
典例精析
07
课堂作业
05
探究新知
07
课堂总结
01
教学目标
理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；
01
进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力；
02
在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；
03
在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.
04
02
复习导入
平行四边形的判定
边
角
对角线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
02
探究新知
活动一：探究三角形中位线定义
请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．
定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
D E
03
新知探究
一个三角形有几条中位线？仿照上面的说法说一说。
∵AD=BD ,AE=EC
∴ DE是△ABC的中位线
∵DE是△ABC的中位线
∴ AD=BD ,AE=EC
03
新知探究
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？
中位线的两个端点是两边的中点，而中线的两个端点是一个顶点和对边的中点.
03
观察与思考
1、连接任意一个三角形三边的中点，如图（1），分成了4个三角形，猜想它们的面积相等吗？
2、通过剪拼，如图（2），猜想拼成的四边形BDFC是平行四边形吗？
3、三角形的中线与底边的关系（位置关系、数量关系）如何？
活动二：探究三角形中位线定理
03
新知探究
证明猜想
已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE= BC
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
D
E
B
C
A
03
新知探究
如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形).
∴ DF∥BC(平行四边形的定义)，
DF＝BC(平行四边形的对边相等).
∴DE∥BC，DE＝ BC.
知识要点1
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
：用几何语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE= BC
E
A
B
C
D
03
新知探究
（1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
定理的理解
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
03
典例精析
证明：连接任意一个三角形三边的中点，分成了4个三角形，它们的面积相等
F
证明：∵AD=DA.AE=EC
∴DE∥BC.DE= BC=BF
∴四边形EDCF是平行四边形
∴
同理 ,
∴
03
典例精析
例题；如图6-21，平行四边形的对角线AC与BD相交于O,E为AB的中点，∠ADB=90°AC=6,OE=1,求AD和BD的长度。
解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于O
∴OA=OC,OD=OB(平行四边形对角线互相平分）
∵E是AB的中点
∴OE是△ABD的中位线（三角形中位线定义）
∴AD=2OE=2(三角形中位线定理）
∵AC=6,OA=OC=3
在Rt△ADO中，
∴BD=2OD=2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、己知：D、E分别为AB、AC的中点.
(1)∵ D、E分别为AB、AC的中点.
∴ DE∥BC（根据 ）
(2)若BC =10cm，则DE = ㎝.
(3)若DE =6cm，则BC = cm.
(4)若∠ADE=60°，则∠B= 度
三角形中位线定理
5
12
60
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( )
A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm
4、如图，在长方形ABCD中，P、R分别是BC边
和DC边上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如
果DR=3，AD=4，则EF的长为______
B
C
2.5
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.在四边形ABCD中,AC=6cm，BD=8cm,分别是边AB,BC,
CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长为 .
6.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线AC的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=CD，∠PEF=30°， ∠FPE的度数是 ( )
14cm
120°
04
课堂练习
7.已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC EF= AC
∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC HG= AC
∴EF=HG EF∥HG
∴四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
【知识技能类作业】必做题：
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成三个三角形，以此类推，第2022个三角形的周长是 .
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
9、将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是( )
A、0.5 B、1 C、2 D、3
D
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD= AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由。
A
B
C
D
E
F
解：∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
∴ EF ∥AB,EF= AB
∴ ∠DAC= ∠EFC=90 °
∵ AD= AB， ∴ AD=EF,
∵ AF=CF,
∴ △ADF≌ △FEC (SAS)
∴ DF=EC ∵ BE=EC,
∴ DF=BE
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
11.如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点
（１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？　
（２）若AD=a，BC=b，求EF的长。
A
B
C
D
E
F
G
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
A
B
C
D
E
F
G
解：（１）AD∥EF∥BC
证明如下：连接DF并延长交BC于G
∵AD∥BC
∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF
又AF＝FC
∴△ADF≌△CFG(AAS)
∴DF=FG又∵DE=EB
∴EF∥ BC(三角形的中位线平行于第三边)
又∵AD∥BC
∴AD∥EF∥BC
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
A
B
C
D
E
F
G
（2）由（１）可知：EF是△DBG的中位线
∴EF= BG= (BC-GC)　
（三角形的中位线 等于第三边的一半。）
而GC=AD
∴EF= (BC-AD)= (b-a)
05
课堂小结
三角形的中位线
定义：
三角形两边中点的连线，区别于三角形的中线
联想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°， 则∠B= 度，为什么？
（2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？
2.【 中考·怀化】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为______cm.
60
4
10
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、F分别是各边中点, AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长=______cm。
4.如图,已知△ABC中,AB = 4㎝,BC=4.6 ㎝ AC=6㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长是 ㎝.
E
F
B
A
D
c
18
7.3
A
B
C
D
E
F
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　　)
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.【2016·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
B
7.【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(　　)
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
8.【 中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
9.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.
D
C
B
G
A
F
H
E
证明：由题意可知GF、HE
分别是△ACD和△ABD的中位线
∴GF//AD, GF= AD HE//AD, HE= AD
∴ GF//HE, GF=HE
∴四边形EGFH是平行四边形.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
10.如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB＝2OF.
证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE.
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线．
∴ AB＝2OF.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
11.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．
如图，连接BD.
∵点E，H分别是边AB，DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线．
∴EH∥BD，EH＝ BD.
同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
同学们，你还有其他方法吗？
Thanks!
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第六章 《平行四边形》导学案
6.2三角形的中位线
学习目标与重难点
学习目标：
理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；
进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力；
在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；
在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.
学习重点：
三角形中位线定理证明及应用
学习难点：
添加辅助线的证明三角形中位线定理.
预习自测
知识链接
平行四边形的判断方法：
的四边形是平行四边形.
2、 的四边形是平行四边形.
3、 四边形是平行四边形.
4、 的四边形是平行四边形.
5、 是平行四边形.
教学过程
探究1：中位线定义
请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．
定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
想一想：
（1）一个三角形有几条中位线？仿照上面的说法说一说。
∵AD=BD ,AE=EC，∴ DE是△ABC的中位线
∵DE是△ABC的中位线，∴ AD=BD ,AE=EC
（2）三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？
中位线的两个端点是( )，而中线的两个端点是( )和( )
探究2：
探究三角形中位线定理
观察思考
1、连接任意一个三角形三边的中点，如图（1），分成了4个三角形，猜想它们的面积相等吗？
2、通过剪拼，如图（2），猜想拼成的四边形BDFC是平行四边形吗？
3、三角形的中线与底边的关系（位置关系、数量关系）如何？
证明猜想
已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE= BC
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形( )
∴ DF∥BC( )，
DF＝BC( ).
∴DE∥BC，DE＝ BC.
探究小结
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
用几何语言表示：∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE= BC
定理的理解
（1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
典例精析
例题1：证明:，连接任意一个三角形三边的中点，分成了4个三角形，它们的面积相等
证明：∵AD=DA.AE=EC
∴DE∥BC.DE= BC=BF
∴四边形EDCF是平行四边形
∴
同理 ,
∴
例题2；如图6-21，平行四边形的对角线AC与BD相交于O,E为AB的中点，∠ADB=90°AC=6,OE=1,求AD和BD的长度。
解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于O
∴OA=OC,OD=OB( ）
∵E是AB的中点
∴OE是△ABD的中位线（ ）
∴AD=2OE=2( ）
∵AC=6,OA=OC=3
在Rt△ADO中，
∴BD=2OD=2
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1、己知：D、E分别为AB、AC的中点.
(1)∵ D、E分别为AB、AC的中点. ∴ DE∥BC（根据 ）
(2)若BC =10cm，则DE = ㎝.
(3)若DE =6cm，则BC = cm.
(4)若∠ADE=60°，则∠B= 度
第1题 第4题 第5题 第6题
2.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( )
A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm
4、如图，在长方形ABCD中，P、R分别是BC边和DC边上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为 。
5.在四边形ABCD中,AC=6cm，BD=8cm,分别是边AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长为 .
6.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线AC的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=CD，∠PEF=30°， ∠FPE的度数是 .
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
能力提升：
如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中
位线又组成三个三角形，以此类推，第2022个三角形的周长是 .
9、将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是( )
A、0.5 B、1 C、2 D、3
拓展迁移
10.在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由。
11.如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点
（１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？　
（２）若AD=a，BC=b，求EF的长。
总结反思、拓展升华
三角形的中位线
定义：
三角形两边中点的连线，区别于三角形的中线.
定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
联想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
五、【作业布置】
基础达标：
1.如图：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°， 则∠B= 度，为什么？
（2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？
2．【 中考·怀化】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为 cm.
3.如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、F分别是各边中点, AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长= cm。
4.如图,已知△ABC中,AB = 4㎝,BC=4.6 ㎝ AC=6㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长是 ㎝.
第2题图 第3题图 第4题
5.如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　 　)
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
第5题图 第6题图 第7题
6.【2016·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是( 　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
7.【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(　　)
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
8.【 中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
第8题 第9题
已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.
能力提升：
10.如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF.
拓展迁移：
11.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．
课堂作业参考答案
（1）三角形中位线定理.（2）5 ， （3）12， （4）60。
B
C
2.5
14cm
120°
7、证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC EF= AC
∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC HG= AC
∴EF=HG EF∥HG
∴四边形EFGH是平行四边形.
8、
D
10\解：∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
∴ EF ∥AB,EF= AB
∴ ∠DAC= ∠EFC=90 °
∵ AD= AB， ∴ AD=EF,
∵ AF=CF,
∴ △ADF≌ △FEC (SAS)
∴ DF=EC ∵ BE=EC,
∴ DF=BE
11、解：（１）AD∥EF∥BC
证明如下：连接DF并延长交BC于G
∵AD∥BC
∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF
又AF＝FC
∴△ADF≌△CFG(AAS)
∴DF=FG又∵DE=EB
∴EF∥ BC(三角形的中位线平行于第三边)
又∵AD∥BC
∴AD∥EF∥BC
2）由（１）可知：EF是△DBG的中位线
∴EF=BG=(BC-GC)　（三角形的中位线 等于第三边的一半。）
而GC=AD
∴EF=(BC-AD)=(b-a)
课外作业参考答案
（1）60，（2）4.
10
18
7.3
D
B
A
B
9、证明：由题意可知GF、HE
分别是△ACD和△ABD的中位线
∴GF//AD, GF=AD HE//AD, HE= AD
∴ GF//HE, GF=HE
∴四边形EGFH是平行四边形.
10、证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE.
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线．
∴ AB＝2OF.
11、证明：如图，连接BD.
∵点E，H分别是边AB，DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线．
∴EH∥BD，EH＝BD.
同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
同学们，你还有其他方法吗？
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