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(共17张PPT)
升级版的消元法
数学活动课
教学目标及重难点
教学目标
1、能够根据题意找出等量关系，列出三元一次方程组，借助整体思想解决实际问题。
2、通过实际问题感受三元一次方程组的广泛应用，体会列三元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识。
3、在探究三元一次方程组解决实际问题的过程中，利用数学语言表示问题，感受整体思想，体会数学与生活的紧密联系。
重点：以三元一次方程为工具，利用整体思想解决含有多个未知数的实际问题。
难点：整体思想在三元一次方程中的探究及应用。
复习旧知，情景唤醒
我们在前面学习过了三元一次方程组的解法，你还记得吗？
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
求出第三个未知数的值
求出第二个未知数的值
求出第一个未知数的值
消元
消元
问题提出，新知探索
小红、小莉去花店买花。小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合, 花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合, 花了32元。小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？
若给出一个三元一次方程组，其中只有两个等式，应该怎样解题？
你能根据以上问题列出方程，并解该方程吗？
小红、小莉去花店买花。小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元。小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？
分析：
之前学习的解三元一次方程组都有三个方程。三个未知数，有三个方程才能求出每个未知数的解。该方程组只有两个方程，不能求出每个未知数的解。
可以设玫瑰、康乃馨、百合的单价分别为元、元、元，从而列出方程组：
该方程组与之前学习过的三元一次方程组有什么相同之处？有什么不同之处？
小红、小莉去花店买花。小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元。小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？
分析：
不妨看一下要求的结果是什么，小莹想每种花各买2枝，即问题是要求整体的值。
可以设玫瑰、康乃馨、百合的单价分别为元、元、元，从而列出方程组：
本题中两个方程，三个未知数，无法求解，怎么办？
上述问题可转化为，已知方程，求。
对方程组
消去，可得
问题要求的是整体值，故不需求出每个未知数的值，可试着在上式中“分离”出。
请同学们试着分离出。
观察以上方程，你有什么想法？
看做一个整体
方法一
可将④×3-⑤×2，消去“多余部分”，即，得到
=20
则，小莹要付40元。
★用到的是多元方程的消元、转化的思想方法。
方法二
可将③代入④⑤两式中的任意一式，得到
=20
则，小莹要付40元。
★消去的是一个代数式整体。
小红、小莉去花店买花。小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元。小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？
解：设玫瑰、康乃馨、百合的单价分别为元、元、元，则列出方程为
②-①消去，可得
原方程可化为
将③代入④⑤两式中的任意一式，可得
=20
则，小莹要付40元。
解题方法提炼
用整体思想解题，是指将题目中的某些条件或结论看作一个整体，使问题转化为对这个整体的研究，这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还可以解决一些按常规方法解决不了的问题，从而起到化繁为简的目的.
课堂练习，巩固提升
1、已知二元一次方程组，则______，______。
方法：1.利用第一个方程减去第二个方程，再乘2，即可得出；2.先将两个方程相加可得的值，再两边同除以3即可得。
解：
，
①-②=
①+②=
2、若，则______。
课堂练习，巩固提升
方法：将两个方程相加，再除以2，即可得出
解：
实践活动，拓展升华
某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖。原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人。最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分。 已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的高多少？
可设原定一等奖平均分为分，二等奖平均分为分，三等奖平均分为分。
一等奖 二等奖 三等奖
原定人数 5 15 40
原定平均分
调整后人数 10 20 30
调整后平均分
解：设原定一等奖平均分为分，二等奖平均分为分，三等奖平均分为分，则调整后一等奖、二等奖、三等奖的平均分分别为分、分、分。
由题意得
等量关系
①变形得
②化简得
将③代入④，得
因为调整后一等奖的平均分降低3分，二等奖的平均分降低2分，所以调整后一等奖比二等奖平均分高（分）
答：调整后一等奖比二等奖平均分高5分。
本节课为数与代数领域的内容，问题主要依靠整体思想解决，可见整体思想在数学中的重要性。你还知道数学中哪些地方能够用到整体思想吗？
在图形与几何领域，求阴影部分的面积时，也能用到整体思想。如下问题：
如图，两两不相交，且半径都是1cm，求图中阴影部分的面积。
知识迁移，能力提升
课堂总结，归纳知识
1、对于只有两个方程的三元一次方程组，我们不能求出每一个未知数的值，但能求出其中某个代数式的值，利用代数式对方程变形，将代数式看做一个整体，便可得出所需结果。这样的思想方法被称为整体思想。
2、有些关于方程组的问题，包括二元一次方程组和三元一次方程组，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值。此时，不必将每个未知数的值都算出来再代入代数式，可观察是否能够利用整体思想直接得出结果。
你学到了什么？

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