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人教版数学7年级下册培优精做课件7.1.2两条直线垂直第七章相交线与平行线授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.人教版数学七年级下册7.1.2两条直线垂直练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题3分，共15分）1.下列说法正确的是（）A.两条直线相交，就一定互相垂直B.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直C.两条直线垂直，它们的夹角是60°D.垂线段比斜线段短2.直线AB与CD相交于点O，若AB⊥CD，则下列结论正确的是（）A. ∠AOC=45°B. ∠BOC=90°C. ∠AOD=60°D. ∠BOD=30°3.过点P画直线l的垂线，下列操作正确的是（）A.用直尺直接画B.用三角板的直角边与l重合，沿另一直角边画直线过PC.随意画一条过P且与l相交的直线D.用直尺和量角器画一个30°的角4.点P到直线l的距离是指（）A.点P到直线l的垂线段B.点P到直线l的垂线段的长度C.点P到直线l的线段长度D.点P与直线l上任意一点的距离5.直线AB⊥CD于点O，OE平分∠BOC，则∠AOE的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°二、填空题（每题3分，共15分）1.若直线l ⊥l ，垂足为O，则∠l Ol =________°.2.过直线上一点，能画________条直线与已知直线垂直；过直线外一点，能画________条直线与已知直线垂直.3.如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2=________°.4.跳远时，运动员的成绩是指从起跳点到落地点的________的长度，依据是________.5.直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOE=55°，则∠BOD=________°.三、解答题（共70分）1.（10分）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE=35°，求∠BOD的度数.2.（15分）按要求画图：（1）过点P画射线AB的垂线，垂足为M；（2）过点P画线段CD的垂线，垂足为N；（3）说明：过点P能画几条线段CD的垂线？依据是什么？3.（15分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，AB=5cm.（1）求点B到AC的距离和点A到BC的距离；（2）画出点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长度；（3）比较AC与CD的大小，并说明理由.4.（15分）直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，ON平分∠AOC，∠1=30°，求∠CON和∠BOD的度数.5.（15分）已知直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠BOE:∠EOC=1:4，求∠AOC的度数，并画出OF⊥CD，直接写出∠EOF的度数.参考答案提示：一、1.B 2.B 3.B 4.B 5.C二、1.90 2.1，1 3.55 4.垂线段，垂线段最短5.35或145三、1.55°（提示：先求∠AOC，再利用对顶角相等求∠BOD）2.（1）（2）画图略；（3）1条，依据：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.（1）4cm，3cm；（2）画图略，CD=2.4cm；（3）AC＞CD，理由：垂线段最短4.∠CON=30°，∠BOD=60°5.∠AOC=30°，∠EOF=30°或150°◆知识与技能目标：学生能够准确理解两条直线垂直的定义，掌握垂线的性质，会用符号语言表示垂直关系，能够运用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，能根据垂直关系进行简单的角度计算和推理。
◆过程与方法目标：通过观察生活实例、动手操作、合作探究等活动，培养学生的观察能力、空间想象能力、逻辑推理能力以及动手实践能力，进一步提升学生的数学思维水平。
◆情感态度与价值观目标：激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的合作交流意识和探索精神，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值。
你能再举出类似的实例吗？
知识点1 认识垂线和垂直
如图，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化.
a
b
α
α
α
α
α
b
b
b
b
思考：当∠α=90°时，木条a，b所形成的其他三个角的度数是多少？
由对顶角和邻补角的性质可知，其他三个角的度数都是90°
文字表述：两条有斜率的直线互相垂直，当且仅当它们的斜率之积为-1。
幻灯片4 补充说明 特殊情况的垂直判定
注意：上述结论的前提是两条直线都存在斜率，平面中还有两类特殊的垂直直线，需要单独记忆：
1. 一条直线的斜率为0（水平直线，如$$y=3$$），另一条直线的斜率不存在（竖直直线，如$$x=2$$），此时两条直线互相垂直。
2. 总结：平面内两条直线垂直的完整判定
- 若两条直线都有斜率：$$l_1\perp l_2 \Leftrightarrow k_1\cdot k_2=-1$$
- 若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在：两条直线垂直
幻灯片5 概念辨析 易错点强调
判断下列说法是否正确，加深理解：
1. 若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线一定垂直
2. 若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定为-1 （反例：水平直线和竖直直线垂直，无此关系）
3. 若直线$$l_1$$斜率为2，直线$$l_2$$斜率为$$-\frac{1}{2}$$，则$$l_1\perp l_2$$
核心提醒：使用$$k_1\cdot k_2=-1$$判定垂直，必须先确认两条直线都有斜率。
幻灯片6 例题精讲 类型一：利用斜率判定两条直线是否垂直
例1：已知直线$$l_1:y=3x-1$$，$$l_2:y=-\frac{1}{3}x+2$$，判断$$l_1$$与$$l_2$$是否垂直。
解：由直线解析式可得，$$l_1$$的斜率$$k_1=3$$，$$l_2$$的斜率$$k_2=-\frac{1}{3}$$
计算斜率之积：$$k_1\cdot k_2 = 3\times(-\frac{1}{3}) = -1$$
根据垂直判定结论，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$
例2：已知直线$$l_1:x=5$$，$$l_2:y=-2$$，判断两直线是否垂直。
解：直线$$l_1$$是竖直直线，斜率不存在；直线$$l_2$$是水平直线，斜率为0
根据特殊垂直判定，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$
幻灯片7 例题精讲 类型二：利用垂直关系求直线的斜率/解析式
例3：已知直线$$l_1$$的斜率为$$k_1=-\frac{2}{3}$$，直线$$l_2$$与$$l_1$$垂直，求$$l_2$$的斜率$$k_2$$。
解：∵ $$l_1\perp l_2$$，且两条直线都有斜率
∴ $$k_1\cdot k_2 = -1$$，代入得：$$-\frac{2}{3} \cdot k_2 = -1$$
解得：$$\boldsymbol{k_2=\frac{3}{2}}$$
例4：求过点$$(2,1)$$，且与直线$$y=-2x+3$$垂直的直线的解析式。
解：步骤1：求所求直线的斜率
已知直线斜率$$k=-2$$，设所求直线斜率为$$k'$$，由垂直得：$$-2\cdot k'=-1 \Rightarrow k'=\frac{1}{2}$$
步骤2：用点斜式写解析式
过点$$(2,1)$$，斜率为$$\frac{1}{2}$$，则直线解析式为：$$y-1=\frac{1}{2}(x-2)$$，整理得$$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x}$$。
幻灯片8 课堂小结 梳理核心知识点
1. 核心定理：两条都有斜率的直线垂直 $$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$$ 斜率之积为 $$\boldsymbol{-1}$$
2. 特殊情况：斜率为0的水平直线 斜率不存在的竖直直线，互相垂直
3. 解题思路：
- 判垂直：先看斜率是否存在，再算斜率之积
- 求斜率/解析式：由垂直关系列斜率等式，求解后代入点坐标计算
4. 数学思想：数形结合，将直线的位置关系转化为斜率的数量关系
幻灯片9 结束页
本节课重点：牢记两条直线垂直的斜率判定规律
核心公式：$$\boldsymbol{k_1\cdot k_2=-1}$$（两直线均有斜率）
课堂小结：垂直是相交的特殊形式，斜率的乘积关系是判断垂直的核心依据，掌握规律、规避易错点，就能熟练解决相关问题。
a
α
b
木条a与木条b垂直
一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”.
概念引入
概念引入
两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
记法：
AB⊥CD，垂足为 O.
A
B
C
D
O
两条直线垂直是相交的一种特殊情况.
画图时，通常在垂足处标上垂直符号“ ”
A
B
C
D
O
符号语言：
因为 ∠AOD＝90°，
所以 AB⊥CD.
反之，
因为 AB⊥CD，
所以 ∠AOD=90°.
思考：判断两条直线互相垂直的关键是什么？
只要找到两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角.
垂线的定义具有双重作用：
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
①若 AB⊥CD，则∠AOD =∠AOC=∠BOC =∠BOD =90°；
②若∠AOD =90°，则 AB⊥CD.
A
B
C
D
O
练习1 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为（ ）
A.26°
B.36°
C.44°
D.54°
分析：
EO⊥CD
∠COE=90°
∠1=54°
∠2=180°-∠1-∠COE
B
用三角尺画：
落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合.
移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.
画：沿已知点所在的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
1
2
3
探究 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线.
知识点2 垂线的基本事实（垂线的性质1）
l
A
1.落
2.移
3.画
1条
（1）经过直线上一点 A 画 l 的垂线，
这样的垂线能画几条？
l
B
1.落
2.移
3.画
1条
（2）经过直线外一点 B 画 l 的垂线，
这样的垂线能画几条？
l
A
用量角器画：
点 A 在直线 l 上
l
B
点 B 在直线 l 外
垂线的性质1
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
可以在已知直线上，也可以在已知直线外
“有”指存在，“只有”指唯一性
例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
（1）
（2）
（3）
画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
知识点3 垂线的性质2——垂线段最短
思考
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？
实际问题
数学问题
如图，P点是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，称PO为点P到直线l的垂线段.
P
l
O
A是直线l上除点O外一点，连接PA，测量并比较线段PO与PA的长度，你能得出什么结论？
A
垂线的性质2
P
l
O
A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
线段 PO 的长度是点 P 到直线 l 的距离
垂线段只垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
现在你知道该如何修建水渠了吗？
（第1题）
1. 如图所示，直线与相交于点 .下列说法
不正确的是( )
D
A. 若 ，则
B. 若，垂足为，则
C. 当 时，称与 互相垂直
D. 与相交于点，点 为垂足
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2. 过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在( )
D
A. 这条线段上 B. 这条线段的端点上
C. 这条线段的延长线上 D. 以上都有可能
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3. 过直线外一点作直线的垂线和斜线，叙述正确的是( )
B
A. 都能作且只能作一条
B. 垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条
C. 垂线能作两条，斜线可作无数条
D. 均可作无数条
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（第4题）
4. 如图所示，为直线 上一
点， ，当____时， .
【点拨】因为，所以 .
因为 ，所以
.
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5.图中与线段 互相垂直的线段为_____________.
，，
（第5题）
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（第6题）
6.如图，， ，
，则 ________.
【点拨】因为， ，
所以 ， ,
所以
.
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垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系 垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系

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