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人教版数学7年级下册培优精做课件8.3.1实数的概念及分类第八章　实数授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.人教版七年级下册8.3.1实数的概念及分类练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕8.3.1“实数的概念及分类”核心知识点设计，涵盖基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，重点考查实数的定义、实数的两种分类方法（按正负性分类、按有理数和无理数分类）、有理数与无理数的区别与辨析，帮助同学们理解实数的本质，熟练掌握实数的分类标准，准确区分有理数和无理数，提升分类辨析能力。一、选择题（每题5分，共30分）1.下列说法中，正确的是（）A.实数只包括有理数B.实数只包括正数和负数C.实数包括有理数和无理数D.无理数就是无限小数2.下列各数中，属于无理数的是（）A. √4 B. 3.14 C. √7 D. 22/73.下列关于有理数和无理数的说法，错误的是（）A.有理数可以化为分数形式B.无理数是无限不循环小数C.有理数和无理数统称为实数D.无限小数都是无理数4.下列实数中，属于负无理数的是（）A. -√3 B. -3.14 C. -1/3 D. 05.将实数按正负性分类，下列分类正确的是（）A.实数分为正实数和负实数B.实数分为正有理数、负有理数和0C.实数分为正实数、0和负实数D.实数分为正无理数、负无理数和06.下列说法正确的是（）A.带根号的数都是无理数B.无理数都是带根号的数C.有理数和无理数都有无数个D.有理数比无理数多二、填空题（每题5分，共20分）1. ________和________统称为实数；整数和分数统称为________。2.无理数是________小数；有理数可以写成________形式，无理数不能写成这种形式。3.在实数√5、-3、0、3.14、√16、π、22/7中，属于有理数的是________________，属于无理数的是________________。4.实数按定义分类，可分为________和________；按正负性分类，可分为________、________和________。三、解答题（每题10分，共50分）1.判断下列各数是否为实数，若是，指出它是有理数还是无理数；若不是，说明理由。（1）√9；（2）-√11；（3）0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）；（4）-5/3；（5）3.1415926。2.将下列实数按两种分类方法进行分类（按定义分类、按正负性分类）：-√2、0、√16、-3.14、π/2、-2、1/3。3.判断下列说法是否正确，若是错误的，请说明理由。（1）所有的有理数都是实数；（2）所有的无理数都是无限不循环小数；（3）0是无理数；（4）带根号的数都是无理数；（5）实数可以分为正实数和负实数。4.请写出3个正无理数、2个负无理数和2个非负有理数，并说明它们的分类依据。5.已知a是实数，且a既不是有理数，也不是正数，求a的取值范围，并写出一个符合条件的数。参考答案与解析一、选择题1.C解析：A错误，实数包括有理数和无理数；B错误，实数包括正数、0和负数；C正确；D错误，无理数是无限不循环小数，无限循环小数是有理数。2.C解析：A. √4=2，是有理数；B. 3.14是有限小数，有理数；C. √7是无限不循环小数，无理数；D. 22/7是分数，有理数。3.D解析：A、B、C说法均正确；D错误，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。4.A解析：A. -√3是负无理数；B. -3.14是负有理数；C. -1/3是负有理数；D. 0既不是正数也不是负数，是有理数。5.C解析：A错误，遗漏了0；B错误，是有理数的分类，不是实数的分类；C正确；D错误，遗漏了正有理数和负有理数。6.C解析：A错误，如√4=2是有理数；B错误，如π是无理数，但不带根号；C正确，有理数和无理数都有无数个；D错误，有理数和无理数都是无限多个，无法比较多少。二、填空题16.有理数；无理数；有理数无限不循环；分数（或有限小数、无限循环小数）-3、0、3.14、√16、22/7；√5、π有理数；无理数；正实数；0；负实数三、解答题19.解：所有数都是实数；（1）√9=3，是有理数；（2）-√11是无限不循环小数，是无理数；（3）0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数；（4）-5/3是分数，是有理数；（5）3.1415926是有限小数，是有理数。20.解：按定义分类：有理数：0、√16（=4）、-3.14、-2、1/3；无理数：-√2、π/2；按正负性分类：正实数：√16、π/2、1/3；0：0；负实数：-√2、-3.14、-2。21.解：（1）正确；理由：实数包括有理数和无理数，所有有理数都是实数；（2）正确；理由：无理数的定义就是无限不循环小数；（3）错误；理由：0是整数，属于有理数，不是无理数；（4）错误；理由：带根号且开方开不尽的数才是无理数，如√4=2是有理数；（5）错误；理由：实数按正负性分类，应分为正实数、0和负实数，遗漏了0。22.解：正无理数：√3、√5、π（答案不唯一）；负无理数：-√2、-π/3（答案不唯一）；非负有理数：0、5（答案不唯一）；分类依据：正无理数是大于0的无理数（无限不循环小数）；负无理数是小于0的无理数；非负有理数是大于或等于0的有理数（整数或分数）。23.解：∵a是实数，且a既不是有理数，也不是正数，∴a是负无理数（实数分为有理数和无理数，不是有理数则是无理数；不是正数，则是负数或0，0是有理数，故a是负无理数）；符合条件的数：-√7（答案不唯一）。一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够理解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，知道实数与数轴上的点一一对应。
了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用，能熟练进行实数的简单加、减、乘、除、乘方、开方运算，并能运用运算律简化运算。
（二）过程与方法目标
通过对无理数的探究，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力，经历从有理数扩展到实数的过程，体会类比、分类讨论等数学思想方法。
在实数运算的学习过程中，提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
感受数学知识的连续性和拓展性，激发学生对数学学习的兴趣和探索精神。
体会数学与生活的紧密联系，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学重难点
（一）教学重点
理解无理数和实数的概念，掌握实数的分类。
掌握实数的简单运算规则，能熟练进行实数的运算。
（二）教学难点
对无理数概念的理解，尤其是无限不循环小数的认识。
灵活运用运算律和运算法则进行实数的混合运算，准确处理运算中的符号问题。
-1 1 2 4
平方根
立方根
±1
1
不存在
-1
±2
填一填
上表中所填的这些数都是有理数吗？
±
情境导入
问题1 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
新课探究
探究点1 实数的概念及分类
整数可以写成小数点后为0的小数。
它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
发 现
有理数
整数
分数
有限小数或无限循环小数
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
想一想：所有的数都可以写成有限小数和无线循环小数的形式吗？
它们都是无限不循环小数
无理数
无理数
正无理数
负无理数
无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.
有理数与无理数的区别：
有理数 无理数
是有限小数或无限循环小数
是无限不循环小数
都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数）
不能写成分数的形式
(1)开方开不尽的数，如 ， 等；
(2) π及化简后含有π的式子，如π，2-π等；
(3)有规律但不循环的小数，如1.212212 221…（相邻的两个1之间依次多一个2）等；
(4)有理数和无理数的和、差，如 ， 等；
常见的无理数有哪些：
溯源
我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。
刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给了用有限小数无线逼近无理数的算法“求微数法”。
有理数
整数
自然数
负数
分数
无理数
实数
有理数和无理数统称实数
思考：
仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？
按概念分
按大小分
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
按概念分
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
按大小分
实数分类的原则：
分类可以有不同的方法，但要按同一标准，不重复不遗漏。
典例精析
将下列各数填入相应的括号内
有理数集合：
无理数集合：
整数集合：
分数集合：
正实数集合：
负实数集合：
…
…
…
…
…
…
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢
你能在数轴上画出 吗？
0
2
1
3
-1
-2
正无理数a
a个单位长度
负无理数
- b(b>0)
b个单位长度
探究点2 实数与数轴上的点的对应关系
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π。如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点由原点O到达点 O'。点O' 对应的数是多少？
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
O
从图中我们可以看出OO'的长就是这个圆的周长π，所以对应点O' 对应的数就是π，数轴上的点O'就表示无理数π。
几何画板
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 。(为什么？)
-1
-2
0
2
1
3
每一个实数都可以用数轴上的_________来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．
实数
实数
数轴上的点
一一对应
-1
-2
0
2
1
3
4
一个点
探究点3 实数的大小比较
-1
-2
0
2
1
3
-3
4
(1) 回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？
(2) 猜想一下， 和 谁比较大？为什么
数轴上右边的数比左边的数大.
大， 在数轴上对应的点在原点的右边，而 在数轴上对应的点在原点的左侧。
你还有其他方法比较这几个实数的大小吗？
对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
负实数 ＜ 零 ＜ 正实数
比较下面几个实数的大小，并用“<”连接：
解：取近似值进行比较
所以
-3 < -1.732 < 2 < 2.236 < 3.142
即
比较实数大小的常用方法：
（1）利用法则比较大小；
（2）利用估算（取近似值，估算范围）比较大小；
（3）利用平方法比较大小；
（4）利用数轴比较大小；
（5）利用作差法比较大小.
总结
1. [2024重庆一中期末] 下列四个数中，是无理数的是( )
A
A. B. C. 0.3 D. 5
2. [2024重庆八中期末] 下列说法中，正确的是( )
C
A. 无限小数都是无理数
B. 无理数分为正无理数、0和负无理数
C. 实数与数轴上的点是一一对应的
D. 无理数的平方一定是有理数
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3. 实数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数
小的是( )
A
A. B. C. 0 D.
4. 写出一个比大且比 小的整数：
___________.
2（或3）
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5.如图，在数轴上，点表示,点与点 位于原点的两侧，
且与原点的距离相等，则点 表示的数是_____.
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6.把下列各数填入相应的集合内：
，， ，，，，， .
（1）有理数集合{_____________________…}；
（2）无理数集合{_ ______________________…}；
（3）正实数集合{___________________________…}；
（4）负实数集合{_ ________________…}.
，，，
， ，，
， ，，，
，，
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7.在如图所示的数轴上表示下列各数：，，， .并
把它们按从小到大的顺序排列.
【解】如图所示.
.
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8. 下列说法错误的是( )
A
A. 是分数 B. 是有理数
C. 是有理数 D. 的平方根是
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9. 如图，将面积为7的正方形 放在数
轴上，以表示实数2的点 为圆心，以正方
形的边长为半径画弧，交数轴于点 ，则
点 表示的数为( )
C
A. B. C. D.
10.李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家.
小丽抽到的卡上写的是 ，小颖抽到的卡上写的是2，那
么赢家是______.
小颖
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11.“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较 与2的大小.
,即 ，
， .
请根据上述方法解答以下问题：
比较与 的大小.
【解】 .
,即 ，
.
返回

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