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人教版数学7年级下册培优精做课件10.2.1.2代入消元法解复杂的二元一次方程组第10章二元一次方程组授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.人教版七年级下册10.2.1.2用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕10.2.1.2“用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组”核心知识点设计，涵盖基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，重点考查稍复杂二元一次方程组（含未知数系数不为1、需先去括号/移项变形）的代入消元技巧、变形方法，以及代入消元法在稍复杂场景中的应用，帮助同学们熟练掌握“先变形、再代入”的解题思路，突破稍复杂方程组的变形难点，规范解题步骤，提升方程组的求解能力和逻辑思维能力。一、选择题（每题5分，共30分）1.用代入消元法解方程组{2x + 3y = 10, 3x - y = 4}时，最简便的变形是（）A.由第一个方程得x = (10 - 3y)/2，代入第二个方程B.由第一个方程得y = (10 - 2x)/3，代入第二个方程C.由第二个方程得y = 3x - 4，代入第一个方程D.由第二个方程得x = (y + 4)/3，代入第一个方程2.用代入消元法解方程组{4x - 3y = 5, 2x + y = 3}时，代入后得到的一元一次方程正确的是（）A. 4x - 3(3 - 2x) = 5 B. 4x - 3(2x - 3) = 5 C. 4(3 - y)/2 - 3y = 5 D. 4x - 3×2x + 3 = 53.解方程组{2(x + y) - 3y = 1, 3x - 2y = 8}时，第一步变形正确的是（）A.直接把第二个方程代入第一个方程B.把第一个方程去括号，整理为2x - y = 1C.把第一个方程变形为x = (1 + 3y)/2D.把第二个方程变形为y = (3x + 8)/24.方程组{3x + 2y = 13, 2x - 5y = -4}用代入消元法求解，消去x后得到的一元一次方程是（）A. 2×(13 - 2y)/3 - 5y = -4 B. 3×(5y - 4)/2 + 2y = 13C. 2×(13 + 2y)/3 - 5y = -4 D. 3×(5y + 4)/2 + 2y = 135.已知方程组{ax + 2y = 7, 3x - by = 1}的解是{x=1, y=2}，则a、b的值分别是（）A. a=3，b=1 B. a=2，b=2 C. a=3，b=2 D. a=1，b=36.用代入消元法解方程组{5x - 2y = 7, 3x + 4y = 1}时，若先消去y，正确的变形是（）A.由第一个方程得y = (5x - 7)/2，代入第二个方程B.由第一个方程得y = (7 - 5x)/2，代入第二个方程C.由第二个方程得y = (1 - 3x)/4，代入第一个方程D.由第二个方程得y = (3x + 1)/4，代入第一个方程二、填空题（每题5分，共20分）1.用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组时，若方程组中没有未知数系数为1的方程，需先将其中一个方程变形为________________的形式，再代入另一个方程。2.解方程组{2x - 3y = 5, 5x + 4y = 1}时，若先消去y，可将第一个方程两边同乘________，第二个方程两边同乘________，再将变形后的方程相加（或直接变形一个方程代入）。3.用代入消元法解方程组{3(x - 1) = y + 5, 5(y - 1) = 3(x + 5)}时，先把第一个方程整理为________，再代入第二个方程，可消去未知数________。4.已知方程组{2x + my = 8, x - 2y = 0}的解是正整数，则m的值为________（写出一个即可）。三、解答题（每题10分，共50分）1.用代入消元法解下列稍复杂的二元一次方程组（写出详细步骤）：（1）{3x + 2y = 11, 2x - y = 3}（2）{4x + 3y = 15, 3x - 2y = 7}2.用代入消元法解下列含括号的二元一次方程组（写出详细步骤）：（1）{2(x + 1) - y = 6, 3x - 2(y - 1) = 11}（2）{3(x - 2) = 2y + 1, 2(x + 1) = 3(y - 1)}3.用代入消元法解下列未知数系数不为1的二元一次方程组（写出详细步骤）：（1）{5x + 4y = 14, 2x - 3y = 1}（2）{7x + 2y = 19, 3x + 4y = 11}4.已知{x = 2, y = 1}是方程组{2ax + by = 5, ax - 3by = 6}的解，用代入消元法求a、b的值，并解方程组{ax + by = 4, 2ax - by = 3}。5.已知二元一次方程组{mx + ny = 10, 2mx - 3ny = 1}的解满足x = 3，y = 2，用代入消元法求m、n的值，并求代数式2m - 3n的值。参考答案与解析一、选择题1.C解析：第二个方程3x - y = 4可直接变形为y = 3x - 4（未知数y的系数为1），代入第一个方程无需复杂分数运算，最简便。2.A解析：由第二个方程2x + y = 3变形得y = 3 - 2x，代入第一个方程4x - 3y = 5，得4x - 3(3 - 2x) = 5，符合代入消元步骤。3.B解析：第一个方程含括号，第一步需去括号整理，2(x + y) - 3y = 2x + 2y - 3y = 2x - y = 1，整理后再变形代入更简便，A、C、D步骤均不合理。4.A解析：消去x，由第一个方程3x + 2y = 13变形得x = (13 - 2y)/3，代入第二个方程2x - 5y = -4，得2×(13 - 2y)/3 - 5y = -4，B、C、D变形均错误。5.C解析：把{x=1, y=2}代入方程组，得{a + 4 = 7, 3 - 2b = 1}，解得a=3，b=2，故选C。6.A解析：消去y，需把第一个方程5x - 2y = 7变形为y = (5x - 7)/2，代入第二个方程；B变形符号错误，C、D是消去x的变形，故选A。二、填空题16.用含一个未知数的式子表示另一个未知数4；3解析：消去y，需使两个方程中y的系数互为相反数或相等，第一个方程乘4得8x - 12y = 20，第二个方程乘3得15x + 12y = 3，也可直接将第一个方程变形为y = (5x - 7)/2代入。y = 3x - 8；y解析：第一个方程去括号得3x - 3 = y + 5，整理为y = 3x - 8，代入第二个方程可直接消去y。2（答案不唯一）解析：由x - 2y = 0得x = 2y，代入2x + my = 8，得4y + my = 8，即(4 + m)y = 8，解为正整数，4 + m是8的正因数，故m可为2（此时y=1，x=2）。三、解答题19.解：（1）{3x + 2y = 11①, 2x - y = 3②}由②变形，得y = 2x - 3③把③代入①，得3x + 2(2x - 3) = 11去括号，得3x + 4x - 6 = 11合并同类项，得7x = 17解得x = 17/7把x = 17/7代入③，得y = 2×17/7 - 3 = 34/7 - 21/7 = 13/7∴方程组的解为{x=17/7, y=13/7}；（2）{4x + 3y = 15①, 3x - 2y = 7②}由②变形，得y = (3x - 7)/2③把③代入①，得4x + 3×(3x - 7)/2 = 15去分母，得8x + 9x - 21 = 30合并同类项，得17x = 51解得x = 3把x = 3代入③，得y = (9 - 7)/2 = 1∴方程组的解为{x=3, y=1}。20.解：（1）{2(x + 1) - y = 6①, 3x - 2(y - 1) = 11②}先整理①：2x + 2 - y = 6→y = 2x - 4③把③代入②，得3x - 2(2x - 4 - 1) = 11去括号，得3x - 2(2x - 5) = 11→3x - 4x + 10 = 11合并同类项，得-x = 1→x = -1把x = -1代入③，得y = 2×(-1) - 4 = -6∴方程组的解为{x=-1, y=-6}；（2）{3(x - 2) = 2y + 1①, 2(x + 1) = 3(y - 1)②}整理①：3x - 6 = 2y + 1→3x - 2y = 7③整理②：2x + 2 = 3y - 3→2x - 3y = -5④由③变形，得y = (3x - 7)/2⑤把⑤代入④，得2x - 3×(3x - 7)/2 = -5去分母，得4x - 9x + 21 = -10合并同类项，得-5x = -31→x = 31/5把x = 31/5代入⑤，得y = (93/5 - 35/5)/2 = 58/5÷2 = 29/5∴方程组的解为{x=31/5, y=29/5}。21.解：（1）{5x + 4y = 14①, 2x - 3y = 1②}由②变形，得x = (3y + 1)/2③把③代入①，得5×(3y + 1)/2 + 4y = 14去分母，得15y + 5 + 8y = 28合并同类项，得23y = 23→y = 1把y = 1代入③，得x = (3 + 1)/2 = 2∴方程组的解为{x=2, y=1}；（2）{7x + 2y = 19①, 3x + 4y = 11②}由①变形，得y = (19 - 7x)/2③把③代入②，得3x + 4×(19 - 7x)/2 = 11化简，得3x + 2(19 - 7x) = 11去括号，得3x + 38 - 14x = 11合并同类项，得-11x = -27→x = 27/11把x = 27/11代入③，得y = (19 - 189/11)/2 = (209/11 - 189/11)/2 = 20/11÷2 = 10/11∴方程组的解为{x=27/11, y=10/11}。22.解：把{x=2, y=1}代入{2ax + by = 5, ax - 3by = 6}，得{4a + b = 5①, 2a - 3b = 6②}由①变形，得b = 5 - 4a③把③代入②，得2a - 3(5 - 4a) = 6去括号，得2a - 15 + 12a = 6→14a = 21→a = 3/2把a = 3/2代入③，得b = 5 - 4×3/2 = 5 - 6 = -1∴a = 3/2，b = -1；解方程组{ (3/2)x - y = 4④, 3x - (-1)y = 3⑤}整理⑤：3x + y = 3→y = 3 - 3x⑥把⑥代入④，得(3/2)x - (3 - 3x) = 4去分母，得3x - 6 + 6x = 8→9x = 14→x = 14/9把x = 14/9代入⑥，得y = 3 - 3×14/9 = 3 - 14/3 = -5/3∴方程组的解为{x=14/9, y=-5/3}。23.解：把{x=3, y=2}代入{mx + ny = 10, 2mx - 3ny = 1}，得{3m + 2n = 10①, 6m - 6n = 1②}由①变形，得m = (10 - 2n)/3③把③代入②，得6×(10 - 2n)/3 - 6n = 1化简，得2(10 - 2n) - 6n = 1→20 - 4n - 6n = 1合并同类项，得-10n = -19→n = 19/10把n = 19/10代入③，得m = (10 - 2×19/10)/3 = (10 - 19/5)/3 = (31/5)/3 = 31/15∴m = 31/15，n = 19/10；代数式2m - 3n = 2×31/15 - 3×19/10 = 62/15 - 57/10 = (124 - 171)/30 = -47/30。1.理解并掌握代入消元法的意义；(重点)
2.会用代入法解二元一次方程组.(难点)
探索新知
例3 用代入法解方程组
2x-5y = -11，
9x+7y = 39.
所以这个方程组的解是
x = 3，
y = 2.
把 y = 3 代入③，得 x = 2.
把③代入②，得 9( y - )+7y = 39.
解：由①，得 x = y - . ③
解这个方程，得 y = 3.
①
②
方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.
2x-5y = -11，
9x+7y = 39.
2x-5y = -11，
9x+7y = 39.
所以这个方程组的解是
x = 2，
y = 3.
把 x = 2 代入③，得 y = 3.
把③代入②，得 9x + 7( x + ) = 39.
解：由①，得 y = x + . ③
解这个方程，得 x = 2.
①
②
用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧:
① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入；
② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形；
③ 当未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形.
1.用代入法解下列方程组：
【选自教材P95 练习第1题】
4x-3y=-2，
5x+4y=13.
（1）
3m+2n=17 ，
2m-3n+6=0.
（2）
①
②
所以这个方程组的解是
x = 1，
y = 2.
把 x = 1 代入③，得 y = 2.
把③代入②，得 5x + 4( x + ) = 13.
解：(1) 由①，得 y = x + . ③
解这个方程，得 x = 4.
1.用代入法解下列方程组：
【选自教材P95 练习第1题】
4x-3y=-2，
5x+4y=13.
（1）
3m+2n=17 ，
2m-3n+6=0.
（2）
①
②
所以这个方程组的解是
m = 3，
n = 4.
把 m = 3 代入③，得 n = 4.
把③代入②，得 2m - 3(- m + ) +6=0.
(2) 由①，得 n =- m + . ③
解这个方程，得 m = 3.
例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析:
送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270，
送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185.
分析:
送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270，
送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185.
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.
120x+45y=270，
90x+25y=185.
由①，得
把③代入②，得
①
②
x= - y
③
90( - y)+25y=185.
解这个方程，得
y = 2.
把 y=2 代入③，得
x = 1.5 .
所以这个方程组的解是
x = 1.5，
y = 2.
答:这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
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D
1.
[廊坊期末]已知方程2x＋5y＝1，用含x的式子表示y为(　　)
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2.
y＝12－2x
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3.
B
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4.
x
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5.
2y＝2
6.
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