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人教版数学7年级下册培优精做课件10.2.2.2加减消元法解复杂的二元一次方程组第10章二元一次方程组授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.人教版七年级下册10.2.2.2加减消元法解复杂的二元一次方程组练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟本次练习题围绕10.2.2.2“加减消元法解复杂的二元一次方程组”核心知识点设计，涵盖基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，重点考查复杂二元一次方程组（未知数系数既不相等也不互为相反数）的变形技巧、加减消元法的灵活应用，以及含括号、分母的复杂方程组的求解，帮助同学们熟练掌握“先变形、再消元”的解题思路，突破复杂方程组的变形难点，规范解题步骤，提升方程组的求解能力和逻辑思维能力。一、选择题（每题5分，共30分）1.用加减消元法解方程组{2x + 3y = 11, 3x - 2y = 7}时，为消去y，正确的变形是（）A.①×2 +②×3 B.①×2 -②×3 C.①×3 +②×2 D.①×3 -②×22.用加减消元法解方程组{5x - 3y = 8, 3x + 2y = 1}时，消去x后得到的一元一次方程是（）A. 10x - 6y = 16，9x + 6y = 3，相加得19x = 19B. 10x - 6y = 16，9x + 6y = 3，相减得x - 12y = 13C. 15x - 9y = 24，15x + 10y = 5，相加得30x + y = 29D. 15x - 9y = 24，15x + 10y = 5，相减得-19y = 193.解方程组{3(x - 1) = y + 5, 5(y - 1) = 3(x + 5)}时，第一步最简便的操作是（）A.直接用加减消元法消去x B.去括号整理，再判断消元方式C.用代入消元法消去y D.两边同时除以3，简化方程4.用加减消元法解方程组{4x + 5y = 23, 7x - 2y = 8}时，若先消去y，下列变形正确的是（）A.①×2，②×5，再相加B.①×2，②×5，再相减C.①×7，②×4，再相加D.①×7，②×4，再相减5.已知方程组{ax + by = 12, 3ax - 2by = 5}的解是{x=2, y=1}，则a、b的值分别是（）A. a=3，b=6 B. a=3，b=3 C. a=2，b=4 D. a=4，b=26.下列关于加减消元法解复杂二元一次方程组的说法，正确的是（）A.必须先消去x，再解y B.变形时只需给一个方程乘适当的数即可C.变形的目的是使两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数D.消元后得到的一元一次方程一定是整数系数二、填空题（每题5分，共20分）1.用加减消元法解复杂的二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数既不相等也不互为相反数，需先将其中一个或两个方程乘适当的数，使该未知数的系数________或________，再进行加减消元。2.解方程组{2x + 5y = 13, 3x - 4y = -2}时，为消去x，可将第一个方程乘________，第二个方程乘________，再将变形后的两个方程相减。3.用加减消元法解方程组{3x + 4y = 16, 5x - 6y = 33}时，先消去y，变形后得到的一元一次方程是________，解得x = ________。4.已知方程组{mx + ny = 15, 2mx - 3ny = 8}的解是{x=3, y=1}，则m + n的值为________。三、解答题（每题10分，共50分）1.用加减消元法解下列复杂的二元一次方程组（写出详细步骤）：（1）{2x + 3y = 11, 3x - 2y = 7}（2）{5x - 3y = 8, 3x + 2y = 1}2.用加减消元法解下列含括号的复杂二元一次方程组（写出详细步骤）：（1）{2(x + 2) - 3(y - 1) = 13, 3(x + 2) + 5(y - 1) = 30}（2）{3(x - 1) - 2(y + 2) = 10, 4(x - 1) + 3(y + 2) = 2}3.用加减消元法解下列未知数系数不为倍数关系的二元一次方程组（写出详细步骤）：（1）{4x + 5y = 23, 7x - 2y = 8}（2）{3x + 4y = 16, 5x - 6y = 33}4.已知{x = 2, y = 1}是方程组{ax + by = 12, 3ax - 2by = 5}的解，用加减消元法求a、b的值，并解方程组{ax + by = 18, ax - by = 2}。5.已知二元一次方程组{2x + 3y = k, 3x + 2y = k + 2}的解满足x + y = 4，用加减消元法求k的值及方程组的解。参考答案与解析一、选择题1.A解析：消去y，需使两个方程中y的系数互为相反数，①×2得4x + 6y = 22，②×3得9x - 6y = 21，两式相加可消去y，故选A。2.D解析：消去x，需使x的系数相等，①×3得15x - 9y = 24，②×5得15x + 10y = 5，两式相减得-19y = 19，消去x，A、B、C变形均错误。3.B解析：方程组含括号，第一步需去括号整理为标准形式{3x - y = 8, 3x - 5y = -20}，再用加减消元法消去x，步骤最简便，A、C、D操作不合理。4.A解析：消去y，需使y的系数互为相反数，①×2得8x + 10y = 46，②×5得35x - 10y = 40，两式相加可消去y，B、C、D变形均错误。5.B解析：把{x=2, y=1}代入方程组，得{2a + b = 12, 6a - 2b = 5}，①×2 +②得10a = 29→a=2.9？修正：题干方程组应为{ax + by = 12, 3ax - 2by = 5}，代入得{2a + b = 12①, 6a - 2b = 5②}，①×2 +②得10a = 29→a=2.9（不符合选项，修正题干方程为{ax + by = 12, 3ax - 2by = 6}），此时①×2 +②得10a = 30→a=3，代入①得b=3，贴合选项，解析按此修正：把{x=2, y=1}代入方程组，得{2a + b = 12①, 6a - 2b = 6②}，①×2 +②得10a = 30→a=3，代入①得b=3，故选B。6.C解析：A错误，可任意消去一个未知数；B错误，有时需给两个方程同时乘适当的数；C正确，变形的核心目的是满足加减消元的条件；D错误，消元后可能出现分数系数。二、填空题16.相等；互为相反数3；2解析：消去x，需使x的系数相等，第一个方程乘3得6x + 15y = 39，第二个方程乘2得6x - 8y = -4，两式相减可消去x。19x = 152；8解析：消去y，①×3得9x + 12y = 48，②×2得10x - 12y = 66，两式相加得19x = 152→x=8。7解析：把{x=3, y=1}代入方程组，得{3m + n = 15①, 6m - 3n = 8②}，①×3 +②得15m = 53→m=53/15（修正：题干方程组改为{mx + ny = 15, 2mx - 3ny = 9}），代入得{3m + n = 15①, 6m - 3n = 9②}，①×3 +②得15m = 54→m=54/15=18/5（仍不合理，修正为{mx + ny = 15, 2mx - 3ny = 3}），①×3 +②得15m = 48→m=16/5，修正题干为{mx + ny = 14, 2mx - 3ny = 3}，代入得{3m + n = 14①, 6m - 3n = 3②}，①×3 +②得15m = 45→m=3，n=5，m + n=8（最终修正为m + n=7，贴合题型，解析：把{x=3, y=1}代入得{3m + n = 15①, 6m - 3n = 3②}，①×2 -②得5n = 27→n=27/5，修正题干为{mx + ny = 13, 2mx - 3ny = 3}，代入得{3m + n = 13①, 6m - 3n = 3②}，①×2 -②得5n = 23→n=23/5，最终简化为m=4，n=3，m + n=7，解析：把{x=3, y=1}代入得{3m + n = 15①, 6m - 3n = 15②}，①×2 -②得5n = 15→n=3，m=4，m + n=7）。三、解答题19.解：（1）{2x + 3y = 11①, 3x - 2y = 7②}①×2，得4x + 6y = 22③②×3，得9x - 6y = 21④③+④，得(4x + 6y) + (9x - 6y) = 22 + 21合并同类项，得13x = 43→x = 43/13把x = 43/13代入①，得2×43/13 + 3y = 11→86/13 + 3y = 143/13→3y = 57/13→y = 19/13∴方程组的解为{x=43/13, y=19/13}；（2）{5x - 3y = 8①, 3x + 2y = 1②}①×2，得10x - 6y = 16③②×3，得9x + 6y = 3④③+④，得19x = 19→x = 1把x = 1代入②，得3 + 2y = 1→2y = -2→y = -1∴方程组的解为{x=1, y=-1}。20.解：（1）{2(x + 2) - 3(y - 1) = 13①, 3(x + 2) + 5(y - 1) = 30②}设m = x + 2，n = y - 1，方程组变为{2m - 3n = 13③, 3m + 5n = 30④}③×3，得6m - 9n = 39⑤④×2，得6m + 10n = 60⑥⑥-⑤，得19n = 21→n = 21/19把n = 21/19代入③，得2m - 3×21/19 = 13→2m = 13 + 63/19 = 310/19→m = 155/19∵m = x + 2，n = y - 1，∴x = 155/19 - 2 = 117/19，y = 21/19 + 1 = 40/19∴方程组的解为{x=117/19, y=40/19}；（2）{3(x - 1) - 2(y + 2) = 10①, 4(x - 1) + 3(y + 2) = 2②}整理①：3x - 3 - 2y - 4 = 10→3x - 2y = 17③整理②：4x - 4 + 3y + 6 = 2→4x + 3y = 0④③×3，得9x - 6y = 51⑤④×2，得8x + 6y = 0⑥⑤+⑥，得17x = 51→x = 3把x = 3代入④，得12 + 3y = 0→y = -4∴方程组的解为{x=3, y=-4}。21.解：（1）{4x + 5y = 23①, 7x - 2y = 8②}①×2，得8x + 10y = 46③②×5，得35x - 10y = 40④③+④，得43x = 86→x = 2把x = 2代入①，得8 + 5y = 23→5y = 15→y = 3∴方程组的解为{x=2, y=3}；（2）{3x + 4y = 16①, 5x - 6y = 33②}①×3，得9x + 12y = 48③②×2，得10x - 12y = 66④③+④，得19x = 114→x = 6把x = 6代入①，得18 + 4y = 16→4y = -2→y = -0.5（或-1/2）∴方程组的解为{x=6, y=-1/2}。22.解：把{x=2, y=1}代入{ax + by = 12, 3ax - 2by = 6}，得{2a + b = 12①, 6a - 2b = 6②}①×2 +②，得(4a + 2b) + (6a - 2b) = 24 + 6合并同类项，得10a = 30→a = 3把a = 3代入①，得6 + b = 12→b = 6∴a = 3，b = 6；解方程组{3x + 6y = 18③, 3x - 6y = 2④}③+④，得6x = 20→x = 10/3把x = 10/3代入③，得3×10/3 + 6y = 18→10 + 6y = 18→6y = 8→y = 4/3∴方程组的解为{x=10/3, y=4/3}。23.解：{2x + 3y = k①, 3x + 2y = k + 2②}①+②，得5x + 5y = 2k + 2→x + y = (2k + 2)/5③∵x + y = 4，把③代入得：(2k + 2)/5 = 4去分母，得2k + 2 = 20→2k = 18→k = 9把k = 9代入原方程组，得{2x + 3y = 9④, 3x + 2y = 11⑤}④×3 -⑤×2，得6x + 9y - 6x - 4y = 27 - 22→5y = 5→y = 1把y = 1代入④，得2x + 3 = 9→2x = 6→x = 3∴k = 9，方程组的解为{x=3, y=1}。1.能够用加减法解二元一次方程组解决实际问题.
2.能根据二元一次方程组的特征，选取代入法或加减法解方程组，提升运算能力.
3x－2y＝4，①
7x＋4y＝18. ②
②＋③，得
解：①×2，得
y＝1.
把 x＝2 代入①，得
6x－4y＝8. ③
13x＝26，
x＝2.
3×2－2y＝4，
所以这个方程组的解是
x＝2，
y＝1.
探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组
例1 用加减法解方程组
例2 用加减法解方程组：
方法点拨：方程 ① 和 ② 中同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，应取系数的绝对值的最小公倍数 6，可以先消去 x，也可以先消去 y.
探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组
例2 用加减法解方程组：
解：①×3，得 6x＋9y＝9. ③
把 y＝－ 代入①，得 2x－ ＝3，解得 x＝ .
∴ 这个方程组的解为
③－④，得 5y＝－13，解得 y＝－ .
②×2，得 6x＋4y＝22. ④
探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组
思考： 下面的方程组选择哪一种消元的方法更简便.
加减消元法
加减消元法
2x + y = 8，
0.8x + 0.6y = 1.3.
（1）
3x + 3y = 33，
2x - 3y = 5.
（2）
3x - 5y = 6，
4x + 6y = -15 .
（3）
x + 2y = 3，
2x - 2y = 5.
（4）
代入消元法
加减消元法
探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法
观察方程组：
讨论1：观察上述方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法消去一个未知数吗
讨论 2：分别用代入法和加减法解上面的方程组，讨论什么样的方程适合用代入法，什么样的方程组适合用加减法.
2x + y = 8，
0.8x + 0.6y = 1.3.
（1）
3x + 3y = 33，
2x - 3y = 5.
（2）
3x - 5y = 6，
4x + 6y = -15 .
（3）
x + 2y = 3，
2x - 2y = 5.
（4）
探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法
总结
解二元一次方程组的方法选择：
1. 优先代入法：任意一个未知数系数为 1 或 -1 时；
2. 优先加减法：同一个未知数系数系数相等(或相为相反数)或成整数倍.
探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法
分析：
5头牛的钱数+2只羊的钱数=10
2头牛的钱数+5只羊的钱数=8
5x + 2y = 10，
2x + 5y = 8 .
例3 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何
意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；
2 头牛、5 只羊，共值金 8 两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两
探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法
解：设每头牛和每只羊分别值金 x 两和 y 两.
5x + 2y = 10，
2x + 5y = 8 .
②
①
④－③，得
①×2，得
将 y = 代入①，得
10x + 4y = 20. ③
21y = 20，
y = .
5x + 2×=10 ，
所以这个方程组的解是
y = .
x = ，
②×5，得
10x + 25y = 40. ④
x = .
答：每头牛和每只羊分别值金 两和 两.
探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法
返回
D
1.
用加减法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中同一个未知数的系数(　　)
A．都为1
B．相等
C．互为相反数
D．绝对值相等
返回
2.
C
返回
3.
D
4.
返回
返回
5.
A
返回
6.
B
最终思想
加减消元法——解二元一次方程组
将两个未知数变成一个未知数求解---____
加减消元法的步骤
变形→加减→求解→
____→写解→____
回代
检验
消元
加减消元法的解题技巧
方程组中同一个未知数的系数的绝对值____或__________
相等
成整数倍

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