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2026年甘肃省陇南市武都实验中学等模四校高高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是椭圆：上关于原点对称的两点，是椭圆的左焦点，在中有，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 的定义域是 B. 是偶函数
C. 的值域为 D. 在单调递减
10.已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，相互独立，则
C. 若，相互独立，则
D. 若，则
11.已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则 ．
13.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点在第二象限，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则 ．
14.已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面四边形中，，，．
若的面积为，求；
若，，求．
16.本小题分
如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，分别是，，的中点．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
为验证抽球试验成功的概率不超过，有名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并预测成功的总人数精确到；
证明：．
附：经验回归方程系数：
参者数据：其中
18.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围；
若对任意恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
设抛物线：为常数，且的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．
若点的坐标为，求．
设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．
证明：的周长为定值．
证明：的离心率大于．
参考答案
1.
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13.
14.
15.； ．
16.解：证明：连接，，
，分别为，中点，
且，又且，
四边形为平行四边形，且，
又为中点，且，
，，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
连接，，，，设，，
则由直四棱柱性质可知平面，
四边形为菱形，，
以为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：
，，，，，
取中点，连接，则，
，，
四边形为菱形且，为等边三角形，，
又平面，平面，，
又，，平面，
平面，即平面，
为平面的一个法向量，且，
设平面的一个法向量为，
则，取，
，
，
二面角的正弦值为．
17.解：由题知，的取值可能为，，所以；
，
所以的分布列为：


所以数学期望为，
令，则，由题知：，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为，
证明：由题知，在前轮就成功的概率为
，
又因为在前轮没有成功的概率为
，
故．
18.解：的定义域为，
，
令，解得或，
当时，时，；时，；
故的递减区间是，递增区间是；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
当时，，故的单调递增区间为；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是．
令得，设，则，
当时，，递减；当时，，递增，
，因为时，时，
要使直线与函数的图象有两个交点，则，即，
故的取值范围是；
由得，
当时上式显然恒成立，
当时可转化为，
设，则，
设，，则，
因为所以，所以在上递增，所以，
所以，所以在上递增，所以
，
要使恒成立，则，
综上，的取值范围是．
19. 证明：设号，，则，
由题意知，，，
因为经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，
所以根据椭圆的对称性，得的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标，
又因为的焦点均在轴上，所以在轴上，即，
设的长半轴长为，则，
设的左焦点为，则，
则的周长，
因为，且，所以，
故的周长为定值；证明：设的焦距为，离心率为，则，
由知，为的右顶点，为右焦点，则，
由在轴正半轴上可知则，所以，
设的短半轴长为，则，
将点的坐标代入的方程，
并结合，得，
整理得代入与，
化简得，解得，
因为点在第一象限且为的右顶点，所以，即，
由知，则，
要证，只需证，
即证，即证，
故C的离心率大于，得证
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