资源简介

2026年东北三省三校高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数是方程的根，则( )
A. B. C. D.
4.在空间四边形中，，，分别是、上的点，且，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.人工智能领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出．是最常用的激活函数，下面关于表述错误的是( )
A. B.
C. D.
6.设函数的极大值为，则函数的极小值为( )
A. B. C. D.
7.在中，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A.
B. 公差
C.
D. 若，则
10.下列说法正确的是( )
A. 随机事件，相互独立的充要条件是
B. 设为随机变量，则
C. 若，则，
D. 若，记函数，，则的图象关于点对称
11.曲线：是优美的封闭曲线，其围成的面积记为，是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点，，则( )
A. B.
C. 当时，的最大值是 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过引直线，与圆：相切于，则 ．
13.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
14.已知向量满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，最小正周期的范围为．
求的取值范围；
若，函数的图象关于直线对称，求的值．
16.本小题分
四棱柱的底面是菱形，且，，侧面是矩形，且是的中点．
求证：平面平面；
若平面与平面所成二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述设道路只有两条车道，分别记为车道和车道每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率，矩阵为一步转移概率矩阵已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为．
已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为．
写出该模型的一步转移概率矩阵；
若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率．
在第问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列结果用含的式子表示．
18.本小题分
已知．
设函数，讨论函数的单调性；
当，时，证明：；
当时，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为．
求双曲线的标准方程；
为坐标原点，点、、是双曲线上不同三点，且、两点关于轴对称的外接圆经过点．
求证：直线与圆相切；
直线与渐近线交于，两点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
，
因为最小正周期，
由题设，即，解不等式可得，，
故；
由得唯一正整数解，此时，
令，，解得，
则．
16.证明：取的中点，连接，，，则，，
所以，，，四点共面，
因为侧面是矩形，
所以，所以，
因为底面是菱形，且，
所以是等边三角形，
所以，
又，、平面，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
解：由知，，
所以就是平面与平面所成二面角，即，
因为平面平面，
故以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，
而，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题意可知，从状态转移到状态的概率，则，
从状态转移到状态的概率为，则，
故一步转移概率矩阵为：；
记事件为“时刻车辆处于车道”，事件为“时刻车辆处于车道”，
已知，，
由全概率公式，，
由贝叶斯公式，所求概率为；
记，则，
由全概率公式及转移矩阵可得递推关系：，
则，
故数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
故，
故随机变量的分布列为：
18.解：，，
当时，，在单调递增，
当时，令；令，
在单调递减，在单调递增；
证明：当时，原不等式，
当时，，原不等式
，
设，则，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，；
原不等式，
当时，当时，，，
，不合题意；
当时，原不等式，
设，
则，，
，
当时，，在单调递减，，
在单调递增，，不合题意；
当时，，，在单调递增，，
在单调递减，；
当时，令，
在单调递减，，
在单调递增，，不合题意，
综上，实数的取值范围为
19.解：已知双曲线实轴长为，则，所以．
因为双曲线的一条渐近线为，即，所以，即，
所以双曲线的标准方程为；
证明：设，，则，均满足．
因为的外接圆经过点，所以可设的外接圆方程为，
所以，，
两式相减得，，故外接圆方程为，则，，
所以．
又，，
代入中整理得，
因为，所以．
设直线的方程为，联立双曲线方程整理，
当时，．
，，
则，
所以，即原点到直线的距离为，等于圆的半径，
故直线与圆相切．
因为点、、是双曲线上不同三点，所以．
直线与渐近线交于，与渐近线交于，
则．
直线与双曲线相交的弦长，
故．
由直线与双曲线相交可得，
即且，故．
当时，，即；
当时，，即
综上，的取值范围为
第1页，共1页

展开更多......

收起↑