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4.1　认识三角形
第1课时　三角形的内角和
一、选择题
1．观察下列图形，是三角形的是( )
2．如图，以AB为边的三角形共有( )
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
3．下列关于三角形分类正确的是(整个大方框表示全体三角形)( )
4．在△ABC中，∠C＝30°，∠A与∠B的度数比是1∶2，则∠B的度数( )
A．30° B．50° C．100° D．120°
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝2∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝2∠C
6．如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝( )
A．282° B．180° C．258° D．360°
7．如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　)
A．85°　　B．80°　　C．75°　　D．70°
8．在下列条件：①∠A＋∠B＋∠C＝180°；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝∠B＝2∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有(　　)
A．5个　　B．4个 C．3个　　D．2个
9．如图,在中,,,是上一点,将沿折叠,使点落在边上的处,则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
10．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是______，∠A的对边是______，∠A，∠C的公共边是_______．
11．(1)在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝_______；
(2)已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC三个角度数分别是_______、________、_______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A＝________度；
13．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝_______；
14．如图，在△ABC中，直线DE分别交AB，AC于点D，E，DE∥BC，∠1＝105°，∠B＝65°，则∠A＝________．
15．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1＝_______度．
16．如图，在长方形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点E，F在边AD上(不与点A，D重合)，点G在边BC上(不与点B，C重合)，若图中直角三角形有m个，钝角三角形有n个，则(n－m)2 025的值为_______．
三、解答题
17．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，∠2与∠A有什么关系？请说明理由．
18．满足下列条件的△ABC是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形？
(1)∠A＝30°，∠B＝75°；
(2)∠A－∠B＝30°，∠B－∠C＝30°；
(3)∠A＝∠B＝∠C.
19．如图所示，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E.仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
(3)若∠B＝70°，那么∠A和∠CED各是多少度？
20．问题情景：如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝______度，∠PBC＋∠PCB＝______度，∠ABP＋∠ACP＝______度；
(2)类比探索：请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的关系；
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
21．如图①，线段，相交于点，连接， ，我们把形如图①的图形称为“8字形”.如图②，在图①的条件下，和的平分线和相交于点 ，并且与，分别相交于点，.试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出，，， 之间的数量关系：___________________；
(2)仔细观察，在不添加辅助线的情况下，图②中“8字形”有___个；
(3)在图②中，若，，试求的度数；
(4)如果图②中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)
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参考答案
一、选择题
1．观察下列图形，是三角形的是( )
【答案】C
2．如图，以AB为边的三角形共有( )
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【答案】B
3．下列关于三角形分类正确的是(整个大方框表示全体三角形)( )
【答案】B
4．在△ABC中，∠C＝30°，∠A与∠B的度数比是1∶2，则∠B的度数( )
A．30° B．50° C．100° D．120°
【答案】C
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝2∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝2∠C
【答案】B
6．如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝( )
A．282° B．180° C．258° D．360°
【答案】C
7．如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　)
A．85°　　B．80°　　C．75°　　D．70°
【答案】A
8．在下列条件：①∠A＋∠B＋∠C＝180°；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝∠B＝2∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有(　　)
A．5个　　B．4个 C．3个　　D．2个
【答案】D
9．如图,在中,,,是上一点,将沿折叠,使点落在边上的处,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,,所以.由折叠的性质可知,所以,所以.
二、填空题
10．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是______，∠A的对边是______，∠A，∠C的公共边是_______．
【答案】∠B BC AC
11．(1)在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝_______；
(2)已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC三个角度数分别是_______、________、_______．
【答案】100° 30° 60° 90°
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A＝________度；
【答案】34
13．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝_______；
【答案】75°
14．如图，在△ABC中，直线DE分别交AB，AC于点D，E，DE∥BC，∠1＝105°，∠B＝65°，则∠A＝________．
【答案】40°
15．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1＝_______度．
【答案】50
16．如图，在长方形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点E，F在边AD上(不与点A，D重合)，点G在边BC上(不与点B，C重合)，若图中直角三角形有m个，钝角三角形有n个，则(n－m)2 025的值为_______．
【答案】－1
三、解答题
17．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，∠2与∠A有什么关系？请说明理由．
解：相等，理由如下：
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDA＝90°，
∴∠2＋∠ACD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠A
18．满足下列条件的△ABC是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形？
(1)∠A＝30°，∠B＝75°；
(2)∠A－∠B＝30°，∠B－∠C＝30°；
(3)∠A＝∠B＝∠C.
解：(1)∵∠C＝180°－∠A－∠B＝75°，∴△ABC是锐角三角形　
(2)由题意得∠B＝∠C＋30°，∴∠A－∠C＝60°，即∠A＝∠C＋60°，由∠A＋∠B＋∠C＝180°得∠C＋60°＋∠C＋30°＋∠C＝180°，∴∠C＝30°，∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形　
(3)由题意得∠B＝2∠A，∠C＝6∠A，∴∠A＋∠B＋∠C＝9∠A＝180°，∴∠A＝20°，∴∠C＝120°，∴△ABC是钝角三角形
19．如图所示，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E.仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
(3)若∠B＝70°，那么∠A和∠CED各是多少度？
解：(1)因为DH⊥AB，AC⊥BD，
所以∠AHE＝∠BHD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝90°.
所以△AEH，△CDE，△ABC，△BDH是直角三角形．
所以图中有4个直角三角形．
(2)由(1)知，△AEH，△CDE，△ABC，△BDH是直角三角形，
所以∠AEH＋∠A＝∠A＋∠B＝90°.
所以∠AEH＝∠B.
(3)因为∠A＋∠B＝90°，∠B＝70°，
所以∠A＝20°.
因为∠AEH＝∠B，∠CED＝∠AEH，
所以∠CED＝∠B＝70°.
20．问题情景：如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝______度，∠PBC＋∠PCB＝______度，∠ABP＋∠ACP＝______度；
(2)类比探索：请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的关系；
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
解：(1)∵∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－50°＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC＋∠PCB＝90°，∴∠ABP＋∠ACP＝130°－90°＝40°，故答案为：130　90　40　
(2)结论：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.理由：∵90°＋(∠ABP＋∠ACP)＋∠A＝180°，∴∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°，∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A　
(3)不成立； 存在∠ACP－∠ABP＝90°－∠A.理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∵∠MPN＝90°，∴∠PBC＋∠PCB＝90°，∴(∠ABC＋∠ACB)－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－∠A－90°，即∠ABC＋(∠ACP＋∠PCB)－(∠ABP＋∠ABC)－∠PCB＝90°－∠A，∴∠ACP－∠ABP＝90°－∠A
21．如图①，线段，相交于点，连接， ，我们把形如图①的图形称为“8字形”.如图②，在图①的条件下，和的平分线和相交于点 ，并且与，分别相交于点，.试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出，，， 之间的数量关系：___________________；
【答案】
(2)仔细观察，在不添加辅助线的情况下，图②中“8字形”有___个；
【答案】6
(3)在图②中，若，，试求的度数；
解：如图，
由(1)知 .
易知，.因为 ， ，
所以 .
所以 .
在与构成的“8字形”中， ，
所以 .
(4)如果图②中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)
.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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