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4.1　认识三角形
第2课时　三角形的三边关系
一、选择题
1．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是( )
A．①不等边三角形 B．②等腰三角形
C．③等边三角形 D．②③等边三角形
2．若△ABC三条边分别为m，n，3，且|m－n|＋(n－3)2＝0，则这个三角形为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
4．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，3 cm B．3 cm，8 cm，5 cm
C．4 cm，5 cm，10 cm D．4 cm，5 cm，6 cm
5．用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( )
A．9 cm B．7 cm C．2 cm D．1 cm
6．如图，长度为10 m的木条，从两边各截取长度为x m的木条，若得到的三根木条能组成三角形，则x可以取的值为( )
A．2 m B． m C．3 m D．6 m
7．已知等腰三角形有两条边的长分别是2，5，则这个等腰三角形的腰长为(　　)
A．2　　B．5 C．2或5　　D．12
8．已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简|a－b＋c|－|a－b－c|得( )
A．2a－2b B．2a－2c C．a－2b D．0
9．已知三角形的三边长分别为,,.其中,满足，且，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10．如图①所示，将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．(1)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为__________；
(2)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长为__________________．
12．已知三角形的两边a＝3，b＝7，第三边是c.
(1)第三边c的取值范围是______________；
(2)若第三边c的长为偶数，则c的值为________；
(3)已知△ABC的两边长分别是2和3，且周长为偶数，则第三边长为____．
13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为____；
(2)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成如图所示的五边形，则d的长可能是__________________(填一个满足条件的值即可).
14．已知,,为的三边长，且,满足，为奇数，则的周长为____________.
15．边长为整数且最大边长是5的三角形共有_______个.
三、解答题
16．判断下列各组线段是否能组成三角形．
(1)a＝3.2 cm，b＝2.1 cm，c＝5 cm；
(2)a＝136 cm，b＝232 cm，c＝370 cm；
(3)三条线段之比为2∶3∶5；
(4)5 cm，5 cm，a cm(0＜a＜10).
17．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长为多少？
18．用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为7 cm的等腰三角形吗？
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围；
(2)若x是小于18的偶数，
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
20．如图，在△ABC中，点D在AB上，点O在CD上，试说明：AB＋AC＞OB＋OC.
21．如图，草原上有4口油井，位于四边形 的4个顶点处，现在要建一个维修站,试问维修站 建在何处，才能使它到4口油井的距离之和 最小 请说明理由.
22．设一个三角形的三边长是,, .
(1),,一定可以是一个三角形的三边长吗 若是，说明理由；若不是，请举例说明.
(2),,一定可以是一个三角形的三边长吗 若是，说明理由；若不是，请举例说明.
(3)试说明：,,一定可以是一个三角形的三边长.
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参考答案
一、选择题
1．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是( )
A．①不等边三角形 B．②等腰三角形
C．③等边三角形 D．②③等边三角形
【答案】D
2．若△ABC三条边分别为m，n，3，且|m－n|＋(n－3)2＝0，则这个三角形为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
4．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，3 cm B．3 cm，8 cm，5 cm
C．4 cm，5 cm，10 cm D．4 cm，5 cm，6 cm
【答案】D
5．用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( )
A．9 cm B．7 cm C．2 cm D．1 cm
【答案】B
6．如图，长度为10 m的木条，从两边各截取长度为x m的木条，若得到的三根木条能组成三角形，则x可以取的值为( )
A．2 m B． m C．3 m D．6 m
【答案】C
7．已知等腰三角形有两条边的长分别是2，5，则这个等腰三角形的腰长为(　　)
A．2　　B．5 C．2或5　　D．12
【答案】B
8．已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简|a－b＋c|－|a－b－c|得( )
A．2a－2b B．2a－2c C．a－2b D．0
【答案】A
9．已知三角形的三边长分别为,,.其中,满足，且，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得， ，由三角形的三边关系定理得，即.因为 ，所以 .故选D.
10．如图①所示，将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
二、填空题
11．(1)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为__________；
(2)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长为__________________．
【答案】2cm 11 cm或13 cm
12．已知三角形的两边a＝3，b＝7，第三边是c.
(1)第三边c的取值范围是______________；
(2)若第三边c的长为偶数，则c的值为________；
(3)已知△ABC的两边长分别是2和3，且周长为偶数，则第三边长为____．
【答案】4＜c＜10 6或8 3
13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为____；
(2)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成如图所示的五边形，则d的长可能是__________________(填一个满足条件的值即可).
【答案】6 6(答案不唯一)
14．已知,,为的三边长，且,满足，为奇数，则的周长为____________.
【答案】8
【解析】因为 ,所以,,解得,,所以 ,
即.因为为奇数，所以.所以 的周长 .
15．边长为整数且最大边长是5的三角形共有_______个.
【答案】9
【解析】三条边长都为5,这样的三角形共有1个；当两边长分别为5,5时， 第三边 ,即第三边可取1,2,3,4,共4个三角形；当两边长为5,4时， 第三边 ,即第三边可取2,3,4,共3个三角形；当两边长为5,3时， 第三边 ,即第三边可取3,4,共2个三角形；当两边长为5,2时， 第三边 ,即第三边可取4,共1个三角形；当两边长为5,1时， 第三边 ,不能组成三角形，去掉重复的5,4,3;5,4,2,这样的三角形共有 （个）.
三、解答题
16．判断下列各组线段是否能组成三角形．
(1)a＝3.2 cm，b＝2.1 cm，c＝5 cm；
(2)a＝136 cm，b＝232 cm，c＝370 cm；
(3)三条线段之比为2∶3∶5；
(4)5 cm，5 cm，a cm(0＜a＜10).
解：(1)∵3.2＋2.1＞5，∴能构成三角形
(2)∵136＋232＜370，∴不能组成三角形
(3)∵三条线段之比为2∶3∶5，∴设三条线段为2k，3k，5k，∵2k＋3k＝5k，∴不能组成三角形　(4)∵0＜a＜10，5＋5＞a，∴能构成三角形
17．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长为多少？
解：根据三角形三边关系得AB－BC＜AC＜AB＋BC，∴9－2＜AC＜9＋2，即7＜AC＜11，又∵AC为奇数，∴AC＝9，∴△ABC的周长＝9＋9＋2＝20
18．用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为7 cm的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长x cm，则腰长为3x cm，由3x＋3x＋x＝35得x＝5，∴等腰三角形的各边长分别为5 cm，15 cm，15 cm　
(2)若底边长为7 cm，则腰长为(35－7)＝14(cm)，∵14＋14＞7，∴此种情况成立；若腰长为7 cm，则底边长为35－7×2＝21(cm)，∵7＋7＜21，∴此种情况不成立，综上，能围成一个底边长为7 cm的等腰三角形
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围；
(2)若x是小于18的偶数，
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
解：(1)∵a＝4，b＝6，∴2＜c＜10.故周长x的范围为12＜x＜20　
(2)①∵周长为小于18的偶数，∴x＝16或x＝14.当x＝16时，c＝6；当x＝14时，c＝4.综上，c的长为6或4　
②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．综上，△ABC是等腰三角形
20．如图，在△ABC中，点D在AB上，点O在CD上，试说明：AB＋AC＞OB＋OC.
解：延长BO交AC于E，∵在△EOC中，EO＋EC＞OC，∴EO＋EC＋OB＞OC＋OB，∴BE＋EC＞OC＋OB，∵在△ABE中，AB＋AE＞BE，∴AB＋AE＋EC＞BE＋EC，∴AB＋AC＞BE＋EC，∴AB＋AC＞OB＋OC
21．如图，草原上有4口油井，位于四边形 的4个顶点处，现在要建一个维修站,试问维修站 建在何处，才能使它到4口油井的距离之和 最小 请说明理由.
解：维修站建在两条对角线, 的交点处，才能使它到4口油井的距离之和 最小.理由如下：
如图，现不妨任取异于的一点 ,连接,,, ,则 ,同理 ,由,得 .
故对角线,的交点 处到4口油井的距离之和最小.
22．设一个三角形的三边长是,, .
(1),,一定可以是一个三角形的三边长吗 若是，说明理由；若不是，请举例说明.
解：,,不一定是一个三角形的三边长.如, ,是一个三角形的三边长，此时，, ,,因为 ，这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾，所以,, 不一定是一个三角形的三边长.
(2),,一定可以是一个三角形的三边长吗 若是，说明理由；若不是，请举例说明.
,,不一定是一个三角形的三边长.如,,是一个三角形的三边长，此时,, ,因为 ，这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾，所以,, 不一定是一个三角形的三边长.
(3)试说明：,,一定可以是一个三角形的三边长.
因为 ,所以 .因为,所以 .同理可证, ,所以,, 一定可以是一个三角形的三边长.
【总结】 ,所以 .同理可证, ,所以,, 一定可以是一个三角形的三边长.
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