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4.1　认识三角形
第3课时　三角形的高、中线和角平分线
一、选择题
1．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
2．有两条高在三角形外部的三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
3．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
4．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是( )
5．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
6．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中( )
A．①、②都正确 B．①、②都不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
7．如图，点O是△ABC的重心，连接BO，CO并延长分别交AC，AB于点E，点F，则下列说法中一定正确的是( )
A．∠ABE＝∠CBE B．BO＝CO C．∠AEB＝90° D．AF＝BF
8．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )
A．40° B．45° C．80° D．85°
9．如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC＝5 cm，AD＝3 cm，CE＝4 cm.则AB的长为( )
A．6 cm B． cm C． cm D． cm
10．如图，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D，∠B之间存在的数量关系为( )
A．∠P＝2(∠B－∠D) B．∠P＝(∠B＋∠D)
C．∠P＝∠B＋∠D D．∠P＝∠B＋∠D
11．如图，点为的重心，,若,则面积的最大值是( )
A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
二、填空题
12．(1)AE是△ABC的中线(E在BC所在直线上)，且BE＝4 cm，那么BC＝___cm；
(2)如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为____．
13．在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是____________度．
14．如图，∠DAE＝∠EAF，∠BAD＝∠CAF，则下列结论：①AD平分∠BAF；② AE平分∠DAF；③AF平分∠EAC；④AE平分∠BAC，正确的有________.(填序号)
15．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是_________．
16．如图，,都是的高，过点作交的延长线于点,,,若,,则_________.
三、解答题
17．如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，∠ACB的平分线交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，求∠BDC和∠EDC的度数．
18．如图，AD，BE，CF三条高交于O点，若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把△ABC的周长分为24和30的两部分，求△ABC各边的长．
20．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1)若已知△ABC是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，则∠DAE＝_______；
(2)若已知∠B＝25°，∠C＝85°，则∠DAE＝_______；
(3)若已知∠B＝α，∠C＝β，求∠DAE的度数．(结果用含α，β的代数式表示)
21．在中，，平分 .
(1)如图①，过点作 射线于点，则与 有何大小关系？请说明理由；
(2)如图②，过点作于点，则，，又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
(3)如图③，过点作于点，则 与， 又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
22．如图①,有一块三角形菜地，若从顶点修一条笔直的小路交于点 ,小路正好将菜地分成面积相等的两部分.
(1)画出 点的位置并说明理由.
(2)假设在菜地中有一点,如图②所示，上是否存在点 ,使折线将 分为面积相等的两部分.若存在，请画出点 的位置，并说明理由.
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参考答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
2．有两条高在三角形外部的三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】B
3．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
4．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是( )
【答案】D
5．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【答案】B
6．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中( )
A．①、②都正确 B．①、②都不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】C
7．如图，点O是△ABC的重心，连接BO，CO并延长分别交AC，AB于点E，点F，则下列说法中一定正确的是( )
A．∠ABE＝∠CBE B．BO＝CO C．∠AEB＝90° D．AF＝BF
【答案】D
8．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )
A．40° B．45° C．80° D．85°
【答案】A
9．如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC＝5 cm，AD＝3 cm，CE＝4 cm.则AB的长为( )
A．6 cm B． cm C． cm D． cm
【答案】D
10．如图，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D，∠B之间存在的数量关系为( )
A．∠P＝2(∠B－∠D) B．∠P＝(∠B＋∠D)
C．∠P＝∠B＋∠D D．∠P＝∠B＋∠D
【答案】B
11．如图，点为的重心，,若,则面积的最大值是( )
A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】因为点为的重心，所以 ,是的中线，所以, ,所以, ,即,所以, 所以,所以 ,所以.因为, 所以当时， 面积有最大值.因为,所以 面积的最大值为 .故选C.
二、填空题
12．(1)AE是△ABC的中线(E在BC所在直线上)，且BE＝4 cm，那么BC＝___cm；
(2)如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为____．
【答案】8 2
13．在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是____________度．
【答案】80或40
14．如图，∠DAE＝∠EAF，∠BAD＝∠CAF，则下列结论：①AD平分∠BAF；② AE平分∠DAF；③AF平分∠EAC；④AE平分∠BAC，正确的有________.(填序号)
【答案】②④
15．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是_________．
【答案】100°
16．如图，,都是的高，过点作交的延长线于点,,,若,,则_________.
【答案】
【解析】如图，连接 .因为 ,所以,所以.因为 ，所以.因为 ,所以 ,所以,所以 .
三、解答题
17．如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，∠ACB的平分线交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，求∠BDC和∠EDC的度数．
解：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠A＝65°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－65°－70°＝45°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝×45°＝22.5°.又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝22.5°.又∵∠B＋∠BDC＋∠BCD＝180°，∴∠BDC＝180°－70°－22.5°＝87.5°
18．如图，AD，BE，CF三条高交于O点，若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．
解：∵CF⊥AB，∴∠CFA＝90°.∴∠FAC＋∠ACF＝90°.又∵BE⊥AC，∴∠ACF＋∠COE＝90°，∴∠COE＝∠FAC＝60°.∴∠BOC＝180°－∠COE＝180°－60°＝120°
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把△ABC的周长分为24和30的两部分，求△ABC各边的长．
解：设AD＝x，则AB＝AC＝2x，①当AD＋AB＝24时，有3x＝24，解得x＝8，∴AD＝CD＝8，AB＝AC＝16，∵CD＋BC＝30，∴BC＝30－CD＝22，能构成三角形；②当AD＋AB＝30时，有3x＝30，解得x＝10，∴AD＝CD＝10，AB＝AC＝20，∵CD＋BC＝24，∴BC＝24－CD＝14，能构成三角形，综上所述，三角形各边的长分别为16，16，22或20，20，14
20．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1)若已知△ABC是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，则∠DAE＝_______；
(2)若已知∠B＝25°，∠C＝85°，则∠DAE＝_______；
(3)若已知∠B＝α，∠C＝β，求∠DAE的度数．(结果用含α，β的代数式表示)
解：(1)25°
(2)30°
(3)∠DAE＝(β－α)
21．在中，，平分 .
(1)如图①，过点作 射线于点，则与 有何大小关系？请说明理由；
解：.理由：在中，因为射线，所以 ，所以 .因为平分，所以 .所以.又因为在 中，，所以 .
(2)如图②，过点作于点，则，，又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
.
(3)如图③，过点作于点，则 与， 又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
.
22．如图①,有一块三角形菜地，若从顶点修一条笔直的小路交于点 ,小路正好将菜地分成面积相等的两部分.
(1)画出 点的位置并说明理由.
解：如图①,取的中点,点 即为所求.理由：连接.因为为 的中点，所以,所以与 等底同高，所以 .
(2)假设在菜地中有一点,如图②所示，上是否存在点 ,使折线将 分为面积相等的两部分.若存在，请画出点 的位置，并说明理由.
存在.如图②,取的中点,连接, ,,过点作,交于点,点 即为所求.
理由如下：连接交于点 ,
由(1)知， .
因为,所以点到的距离与点到 的距离相等，
所以, 所以 ,
所以 .
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