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2026年广东省深圳市南方科技大学附中高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若函数且在上为减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设是等比数列，且，，则( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，点在正方体内包含边界运动若直线与所成角为，则线段所扫过的区域的面积是( )
A. B. C. D.
6.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为，则该方斗杯可盛水的总体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数为自然对数的底数的图像上存在个点、分别与的图像上个点、关于轴对称，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，这组数据的第百分位数为
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，且，则
D. 对一组样本数据，，，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10.已知函数，则( )
A. 为奇函数
B.
C. 当时，
D. 曲线在点处的切线方程为
11.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线：被称为“四叶玫瑰线”如图所示，是上在第一象限内的一点给出的下列三个结论中，正确结论的选项是( )
A. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过
B. 曲线经过个整点即横纵坐标均为整数的点
C. 存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内含边界．
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ．
13.已知数列的前项和，当取最小值时， ．
14.如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点异于点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求的单调递增区间；
若，且，求的值．
16.本小题分
如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段中点．
求证：平面平面；
若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，．
若，求在上的极大值；
若函数，讨论函数在上零点的个数．
18.本小题分
某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行记甲同学第局赢的概率为．
求乙同学第局赢的概率；
求；
若存在，使成立，求整数的最小值．
19.本小题分
如图所示，由椭圆和抛物线组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”．
求“等差椭圆”的离心率；
在“七星属虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且．
Ⅰ求与和都相切的直线的方程；
Ⅱ直线：，且与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，为原点的斜率之积为定值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：根据题意可得，，
所以，所以，
又根据五点法可得，所以，
所以，
令，
解得，，
所以的单调递增区间为，；
若，则，又，
所以，
所以．
16.解：证明：因为内接于圆，为圆的直径，所以．
因为平面，平面，所以．
又因为，平面，，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为平面，，平面，
所以，．
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
所以．
设平面的法向量，则，，
所以，设，则，
所以平面的一个法向量．
又因为，
设平面的法向量，则，
所以，设，则，
所以平面的一个法向量．
所以，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17.解：当时，，
则，
令，得或或，
，随的变化情况如表所示：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，有极大值，极大值为．
，
当时，由，得或，
其中，，则，
当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点，
当或时，方程无解，此时函数只有一个零点，
当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点，
当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点．
综上，当或时，函数只有一个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点．
18.解：由题意甲同学第局赢的概率为，
所以乙同学第局赢的概率为
由已知时，，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以
即，
令，则，
易知是减函数，，所以时，，单调递减，
显然，因此要求的最小值，即求的最大值，
又，
为偶数时，，单调递减，所以，
为奇数时，，单调递增，所以，
所以是中的最大值，
所以，
又因为，所以满足题意的整数的最小值为．
19.解：设椭圆的半焦距为，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又，所以，则，
两边同时除以，得，解得舍去．
所以“等差椭圆”的离心率为．
Ⅰ解：若是“等差椭圆”，且，
则由，得，则，，解得．
故，．
易知与和都相切的直线斜率存在且不为，设方程为：．
联立消去得，
则，得，
联立消去得，
则，得；
联立，解得或
故C和都相切的直线方程为或．
Ⅱ证明：设与相交于，，
线段的中点，则，，
两式相减，得，
所以，即，
由已知，，所以，
即，则，
联立得，
又，则，，
故，
所以中点的坐标为，可得，
所以，为定值．

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