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达州市普通高中2026届第二次诊断测试
数学试题
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，并检查条形码
粘贴是否正确
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效」
3.考试结束后，将答题卡交回
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.已知集合A={p=风，集合B={p=2+1,则AnB=
A.[1+o)B.[0,+oo)
C.(0,+o)
D.(1,+oo）
2.一组数据1,6,4，x,9的平均数为5，则该组数据的第40百分位数为
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
3.已知数列{an}满足a1=3an,若45十a6=81,则a43+a4为
A.3
B.9
C.27
D.81
4.已知向量m=(a-1,a-5),n=(-l,a-2),则“a=-1”是“m∥n”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知B为第四象限角，且sin0=3sin20,则tan0的值为
A.35
B.35
c.35
D.-√35
35
35
11
6.已知
<
<0,下列不等式正确的是
a b
A.eaB.In(-a)>In(-b)
c.a-1>b-1
D.alakb bl
a
b
“二诊”数学试题第1页共4页
7.“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首
位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是m（m=1,2,3,·,9)的
概率为1g1+马)，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差
m
约为（参考数据：1g3≈0.477）》
A.0.046
B.0.023
C.0.262
D.0.131
8.若实数x,y满足e*+ln(-x)=(y+)2，下列说法正确的是
A.x存在最小值
B.x存在最大值
C.y存在最小值
D.y存在最大值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=c0s(2x-,下列说法正确的是
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在x=
5π处取得最大值
12
C.f(x)的图象关于直线x=
7工对称
D.f)在(0，上有2个零点
6
10:椭圆C:
之+少=1的左、右焦点为R,乃，P为C上动点，下列说法正确的是
1612
A.△PFF的周长为12
B.存在点P,使∠EP5=2
3
C.PE·PE的最大值为12
D.F到PF,的距离的最大值为4
11.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，M为对角线AC上的动点，
B
C示=2WC，下列说法正确的是
A.AM⊥BD
B.点M到直线BD,的距离的最小值为Y
2
C.过品，N,A三点的平面截正方体所得截面的周长为210+4N2G
D
D.当G1=3Cd时，三棱锥M-4BC外接球的体积为273m
2
“二诊”数学试题第2页共4页达州市普通高中 2026 届第二次诊断性测试
数学参考答案详解
1.【答案】A
【解析】 A 0， ， B 1， , A B 1，
2.【答案】B
4 5
【解析】易得 x 5，5 40% 2，从小到大排序为1， 4，5，6，9，所以 4.5
2
3.【答案】B
a5 a6
【解析】因为 an 1 3an ，所以等比数列公比为3，所以 9a3 a4
4.【答案】A
【解析】因为 (a 1)(a 2) (a 5) a 2 2a 3 0 ，所以 a 1或者 a 3.所以“ a 1”
是“m∥n”的充分不必要条件.
5.【答案】D
1
【解析】由sin 3sin 2 得 sin 6sin cos ， cos 由 为第四象限角，得
6
tan 35 .
6.【答案】C
1 1
【解析】由 0得b a 0，选项 A错误，选项 B错误；a | a | a2，b | b | b2，
a b
所以 a2 b2 ， a2 b2 选项 D错误
7.【答案】A
1 1 4 5
【解析】 lg(1 ) lg(1 ) lg lg 10 1 2lg3 1 0.954 0.046
3 5 3 6 9
8.【答案】B
【解析】由 ex ln( x) (y 1)2得，ex ln( x)≥0，也即 ex≥- ln( x)，在同一坐标系
下作出 f (x)=ex， g(x) - ln( x)的图像得 x存在最大值.
9.【答案】AC
f (5π【解析】 ) cos(2 5π π ) cos π 没有取到最值，所以选项 B错误；
12 12 3 2
f (7π) cos(2 7π π ) cos 2π取到最值，所以选项 C正确；
6 6 3
x (0 π， )时，2x π ( π 2π ， )，结合余弦函数图象，只有一个零点.所以选项 D错误.
2 3 3 3
10. 【答案】ACD
【解析】周长为 2a 2c 8 4 12，选项 A正确；P为C的上顶点时， F1PF2取最大，
π π
此时， F1PO ， F6 1
PF2 选项 B错误；3

由极化恒等式得 PF1 PF2 PO
2 OF 21 PO
2 4， PO最大值为 4，易得 PF1 PF2 的最大
数学答案第 1页（共 6页）
值为12，选项 C正确；由数形结合，当 F1F2 PF2时，距离最大，此时，距离为 4 .
11. 【答案】ABD
【解析】由于 BD 平面 ACC1A1，选项 A正确；记 B1D1 A1C1 O1 ,过O1作O1M AC1
OM CO
交 AC1于M ,
1 1 1
此时的O1M 即为距离最小值，由△C1O1M △C1AA1得 AA1 C1A
3 2
即O1M
6
2 ，所以O1M ，选项 B正确；过 B1，N ，A三点的平面截正方体所得截
3 3 3 2
面为等腰梯形，梯形上底3 2，下底 2 2，腰 10选项 C错误；
△A1B1C1为直角三角形，三棱锥M A1B1C1外接球球心在过 A1C1的中点O1，且与平面 A1B1C1
垂直的直线上，由于该直线也为 A1C1的中垂线，所以△MA1C1的外心即为球的球心,
△A1C1A中， cos AC A
3 2 6
1 1 ，△A1C1M 中,由余弦定理3 3 3
MA 2 ( 3)2 (3 2)2 2 61 3 3 2 9，所以，由正弦定理设△A1C1M 外接圆半径3
2R 3 3 3 3
为 R ,则 3 R 3 3 4πR 4π 81 3 27 3π，即 ，所以球体积为 .选项 D
3 2 3 3 8 2
正确.
12.【答案】1
1
【解析】 f (1) a 1，由 (a 1) 1得 a 1 .
2
13.【答案】 2 3
y2
【解析】双曲线 x2 1的一条渐近线为 2x y 0，圆心 (3，0)到 2x y 0的距
2
d 3 2离 6，所以弦长为 2 9 6 2 3 .
2 1
128π
14.【答案】16；64
3
【解析】由 A x，y |x | | y | 2 2 得平面图形 为以 (0， 2 2)， ( 2 2，0)为顶点的
边长为4的正方形， 的面积为16 .结合题意，满足条件的点 P所形成的几何体为三个方面；
第一方面：四边形 ABCD的正上方高为 2的正四棱柱， ABCD的正下方高为 2的正四棱柱，
数学答案第 2页（共 6页）
合为一个棱长为4正方体记V1 4 4 4 64；第二方面：在 AB边上，以 ABFE绕 AB边
分别向上和向下旋转90 形成半圆柱，BC，CD，DA边同理，一共四个半圆柱，合为两个
圆柱，记V2 2 π 2
2 4 32π 1 ；第三方面:FM 绕点 B分别向上和向下旋转90 形成 球4
4 3 32
体，绕 A，C，D点旋转同理，合为一个半径为 2的球，V3 π 2 π；所以，总3 3
体积为V V1 V2 V3 64 32π+
32 π=64+128π .
3 3
C 2 C 22 3 4
15.（1）由题意可得，选出的 2人选择社团种类个数相同的概率 P 2 ．C6 15
(2)由题意可得， X 的所有可能取值为 4，5，6，7 .
P(X 4) C
2 1 C1C1 6
22 ， P(X 5)
2 3
2 ，C6 15 C6 15
2 1 1 1 1
P(X 6) C3 C2C1 1 P(X C C 1 2 ， 7)
3 1
2 .C6 3 C6 5
故 X 的分布列为：
X 4 5 6 7
P 1 6 1 1
15 15 3 5
E(X ) 4 1 5 6 6 1 7 1 17 .
15 15 3 5 3
a5 a1 4d， a1 3，
16.（1）由题意可得 解得
a7 a1 6d， d 2，
an 2n 1.
（2）在 a1和 a 2之间插入 21个1，在 a2和 a3之间插入 22 个1，
在 a 和 a 之间插入 233 4 个1，……，在a8和 a9之间插入 28个1，
（2 1- 281 ）此时共插入 的个数为： （2 28 -1） 510 .
1 2
数学答案第 3页（共 6页）
T (a a a ) 510 (3 19) 9519 1 2 9 510 609 .2
17.（1）取 BC中点为O，连接 AO , B1O．
B BO π 1 .4
在△BOB 2 2 21中，据余弦定理可得 B1O BB1 BO 2BB1 BO cos
π
4，
4
于是， BB 21 BO
2
1 BO
2 ，所以 B1O BC．
易知 AO BC， AO B1O O，
BC 平面 AOB1．
AB1 平面 AOB1， AB1 BC．
(2) 平面 BB1C1C 平面 ABC，平面 BB1C1C 平面 ABC BC , B1O 平面 BB1C1C ，
B1O BC
B1O 平面 ABC ,
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，

3BM MC . z

B1(0，0，2)， B(0，2，0)， A(2，0，0)，M (0，1，0)， B1A1 BA (2， 2，0)
C B1
设平面 A1MB
1
1的法向量m (x, y, z)，

m B1A1 0
A
， 2x 2y 0， 1 O
M
m MB 0， y 2z 0，
C
1 B y
A
令 y 2，则 x 2， z 1，
x
平面 A1MB1的一个法向量m (2，2，1) .
又易知平面 ABC的一个法向量n (0，0，1)，
m ncos m 1 ，n .
| m | | n | 3
平面 A1MB ABC
1
1与平面 的夹角的余弦值为 .3
1 1
18. (1)由题意知，动点M 的轨迹为以F (0， )为焦点、以直线 y 为准线的抛物线，
2 2
因此动点M 的轨迹方程为 x2 2y .
2
(2) An (x 2
xn
n,yn )在抛物线M ： x 2y上， yn ，2

AnBn An 1Bn 1 , AnBn∥An 1Bn 1，
数学答案第 4页（共 6页）
A 3π1B1是倾斜角为的 的直线，即斜率为 1，4
2
过 An (x y )
x
n, n 且斜率为 1的直线 A nnBn： y (x x2 n
)，
x2
y n (x x )， x2 x2
联立方程组 2 n ，可得 n (x xn )，
2 x 2y
2 2
解得 x xn 2或 x xn （舍去）
直线 An 1Bn的斜率为0， Bn ( xn 1,yn 1) xn 1 xn 2 ∴ xn 1 xn 2 .
数列 xn 是以首项为2，公差为 2的等差数列，
xn 2 2(n 1) 2n .
x2 (2n)2(3)由(2)题意可知: y nn 2n
2
2 2
A 2 2n (2n, 2n ) , An 1(2n 2,2(n 1) ) , An 2 (2n 4,2(n 2)
2)
过 An， A yn 1， An 2分别向 轴作垂线，垂足分别为点Cn，Cn 1，Cn 2，
C A A C 1梯形 n n n 1 n 1的面积为 SCnA A (| A C | | A C |) |C C |n n 1Cn 1 2 n n n 1 n 1 n n 1
S 1C A A C (2n 2n 2)[2(n 1)
2 2n 2] 2(2n 1) 2 .
n n n 1 n 1 2
2
同理可得： SCn 1A 2(2n 3) .n 1An 2Cn 2
1
梯形CnAnAn 2Cn 2的面积为 SC A A C (2n 2n 4)[2(n 2)
2 2n 2] 16(n 1) 2 .
n n n 2 n 2 2
S△A A S S S .n n 1An 2 CnAnAn 1Cn 1 Cn 1An 1An 2Cn 2 CnAnAn 2Cn 2
S 2 2 2△A A A 2(2n 1) 2(2n 3) 16(n 1) .n n 1 n 2
S△A A A 16n
2 32n 20 (16n 2 32n 16) 4
n n 1 n 2
△ An An 1 An 2的面积为定值 4 .
19. (1) f (x) e x xe x (x 1)e x
当 x 1时， f (x) 0，当 x 1时， f (x) 0
f (x)单调递减区间为 ( ， 1)，单调递增区间为 ( 1， )
(2)（i）由题意得 xex ln x x a 0有两个正根 x1， x2
构建 t xex ， ln t x ln x
数学答案第 5页（共 6页）
等价于 t ln t a有两个正根 t1， t2 ， t1 f (x1)， t2 f (x2 )
h(t) t ln t h (t) 1 1 t 1令 h(t)在 (1， )上单增，在 (0，1)上单减.
t t
h(t)min h(1) 1 0 1
又 x 0时， h(t) ； x 时， h(t) .
a的范围为 (1, ) .
（ii） t (x 1)e x 0在 x (0， )时恒成立 t xex 上 x (0, )在单调递增
由 t1 f (x1)， t2 f (x2 ) 不妨设0 x1 x2 0 t1 t2
t1 ln t a 0， 1 ， ln
t2 t t
t2 ln t2 a 0 t
2 1，
1
u t令 2t ，则
u >1
1
u t 2 ， t lnu t 1 ，
1 u 1 ,整理可得 ，
ln t2 t t t u lnu
t 2 1

1
2 u 1
1 1 k 1 1
2
k u 1 u 1 u 1
f (x ) f (x ) ，即 t t ，也即 k .1 2 1 2 lnu u lnu u lnu
u2 1 ku lnu 0在u (1, )时恒成立.
令 (u) u 2 1 ku lnu， (u) 2u k(lnu 1) .
(1) 12 1 0 0 . (1) 2 k≥0 . k≤ 2 .
k
当 k≤ 2时，记w(u) (u)，则w (u) 2 ，
u
u (1, ) k①当 k≤0时 2 0 ,
u
k
②当 k≤ 2时w (u) 2 为增函数，w (u) w (1) 2 k≥0 ，
u
(u)在u (1, )单调递增.
(u) (1) 0 (u)在u (1, )单调递增.
(u) (1) 12 1 0 0，可知 k≤ 2时符合题意.
数学答案第 6页（共 6页）

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