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2026年陕西省西安一中高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.若函数在区间内有且只有两个极值点，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为( )
A.
B.
C.
D.
5.九章算术第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”例如：若，，三人分配奖金的“衰分比”为，且分得奖金元，则，所分得奖金分别为元，元某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为( )
A. ，元 B. ，元 C. ，元 D. ，元
6.已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相交”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量与，，，向量在向量方向上的投影向量是，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则( )
A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称
C. D. 在上单调递增
10.在棱长为的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点在四边形内运动，则( )
A.
B. 当点在上运动时，三棱锥的体积为
C.
D. 周长的最小值为
11.若，数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是( )
A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列
C. D. 数列的通项公式为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线：，直线与交于，两点，则以，为邻边的平行四边形面积的最大值为 ．
13.的展开式中常数项为 ．
14.在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，为直线上一点，且椭圆的离心率为，．
求椭圆的方程．
过点作椭圆的切线，切点为异于点．
证明：
若，求．
附：在椭圆上一点处的切线方程为．
16.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程．
若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知是单调递增数列，记为数列的前项和，且．
证明：是等差数列；
令，求．
18.本小题分
如图所示，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，．
证明：平面平面；
当点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值．
19.本小题分
某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点，初始时有个节点在线假设在线的不再宕机，个为宕机停摆，不能正常工作，每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望，
当时，求；
证明：．
参考答案
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14.
15.解：因为椭圆的离心率为，且，
所以，
解得，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
证明：不妨令点在第一象限，设，
所以切线的方程为：，
又，
令，解得，
所以，
又因为，
，
所以，所以，
又，
所以；
因为，所以，
因为，所以，
所以，
在中，．
16.解：由题求导得，则，而，
因此函数在处的切线方程为；
由，得，而，则，令，
函数有两个不同的零点，等价于函数的图象与直线有两个交点，
求导得，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，则，
而，当时，，又当时，，
则当且仅当时，函数的图象与直线有两个交点，
因此实数．
17.解：证明：令，得，；
由题意得，
当时，，即，
或，
或．
数列是单调递增数列，当时，，
，
，，即是首项为，公差为的等差数列．
由知，，
令，
则，
两边同乘以，得，
，得
，
．
18.解：证明：是直径，，
平面，，
，，平面，
平面，
，，
四边形是平行四边形，
则，平面，
平面，
平面平面；
依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，得，，则，
，
面与面所成的二面角的正弦值．
19.解：初始状态，即个在线、个宕机．
第个月选中在线节点的概率为，此时；
选中宕机节点的概率为，修复成功的概率为，此时；
修复失败的概率为，此时．
所以，．
，．
所以
，
故当时，．
证明：的可能取值有，，，，
所以，
，
，
，
所以
．
因为，
所以，
所以
，
所以．
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