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第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第1课时
光在真空中的速度大约是3×108m/s.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？
（1）怎样列式？
3×108 ×3×107×4.22=37.98×（108×107）
我们观察可以发现，108和107这两个幂的底数相同，是同底数幂的形式.
（2）观察这个算式，两个乘数108与107有何特点？
所以我们把108 ×107这种运算叫作同底数幂的乘法.
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
（1）104表示的意义是什么？其中10，4，104分别叫什么？
=10×10×10×10
4个10相乘
104
底数
幂
指数
( 2 )10×10×10×10×10可以写成什么形式
10×10×10×10×10=105
知识点1同底数幂相乘
10 8 ×107 =？
=(10×10×…×10)
（8个10）
×(10×10×…×10)
(7个10)
=10×10×…×10
(15个10)
=1015
=10 8+7
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
【议一议】
（1）25×22=2 （ ）
1.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现
什么规律？
=(2×2×2×2×2)
×(2×2)
=2×2×2×2×2× 2×2
=27
（2）a3·a2=a（ ）
=(a﹒a﹒a) (a﹒a)
=a﹒a﹒a﹒a﹒a
=a5
7
5
【试一试】
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
注意观察：计算前后，底数和指数有何变化
（3） 5m× 5n =5（ ）
1.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
=(5×5×5×…×5)
(m个5)
×(5×5×5 ×…×5)
(n个5)
=5×5×…×5
(m+n)个5
=5m+n
猜一猜
am · an =a（ ）
m+n
m+n
如果m,n都是正整数，那么am·an等于什么？
为什么？
am·an
( 个a)
·(a·a·…·a)
( 个a)
=(a·a·…·a)
( 个a)
=a( )
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
m
n
m+n
m+n
=(a·a·…·a)
【证一证】
am · an = am+n (m，n都是正整数).
同底数幂相乘,
底数　 ，指数　 .
不变
相加
同底数幂的乘法法则：
结果：①底数不变
②指数相加
注意
条件：①乘法
②底数相同
【归纳总结】
解：(1) (-3)7×(-3)6= (-3)7+6 = (-3)13;
(3) -x3 x5= -x3+5 = -x8 ;
【例题解析】
提醒：计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的．
注意指数是1
(4) b2m b2m+1 = b2m+2m+1 = b4m+1.
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)x4·x6=x24 ( 　) （2） x·x3=x3 ( 　)
(3) x4+x4=x8 (　 ) (4) x2·x2=2x4 (　 )
(5)(－x)2 · (－x)3 = (－x)5 (　 )
(6)a2·a3－ a3·a2 = 0 ( 　 )
(7)x3·y5=(xy)8 ( 　 )
(8) x7+x7=x14 ( 　 )
√
√
×
×
×
×
×
×
对于计算出错的题目，你能分析出错的原因吗？试一试！
【跟踪训练】
a · a5 · a4
类比同底数幂的乘法公式am · an = am+n (当m、n都是正整数)
am· an· ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
想一想:当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示 等于什么呢？
am · an · ap
= a6 · a4 =a10
【想一想】
例2 计算：(1)(x－y)2 (x－y) ；
(2)(a＋b)2 (a＋b)5．
【例题解析】
解：(1)(x－y)2 (x－y)＝(x－y)2+1＝(x-y)3；
(2)(a＋b)2 (a＋b)5＝(a＋b)2+5＝(a＋b)7.
分析：分别将x－y，a＋b看作一个整体，然后再利用同
底数幂的乘法法则进行计算．
重要补充
高频题型
【跟踪训练】
同底数幂的乘法
法则
am·an=am+n (m,n都是正整数）
注意
同底数幂相乘，底数不变，指数
相加
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
直接应用法则
常见变形：(－a)2n=a2n, (－a)2n+1=－a2n+1
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数,
再应用法则
第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第2课时
幂的意义:
a · a · … · a
n个a
=an
同底数幂乘法的运算法则：
am · an
=
am · an
am+n
（m,n都是正整数）
=(a · a · … · a)·
m个a
(a · a · … · a)
n个a
= a · a · … · a
(m+n)个a
= am+n
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
你知道(102)3等于多少吗？
1.理解并掌握幂的乘方法则;
2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用.
1.一个正方体的棱长是10，则它的体积是 多少？
2.一个正方体的棱长是102，则它的体积是 多少？
103
=10×10×10
=101+1+1
=101×3
(102)3
=102×102×102
=102+2+2
=102×3
知识点 幂的乘方
3.100个104相乘怎么表示？又该怎么计算呢？
(104)100
100个104
100个4
猜一猜
=am·am· …·am （乘方的意义）
=am+m+…+m （同底数幂的乘法法则）
（乘法的意义）
=a100m
=104×100
=104×104×…×104
=104+4+…+4
(am)100
（1）(a3)2
=a3·a3
am·am·…·am
n个am
= am+m+……+m
n个m
=am·am
（2）(am)2
=amn
（am）n=
=a3+3
=a6
=am+m
= a2m
(m是正整数)
请你观察上述结果的底数与指数有何变化？你能
猜想出幂的乘方是怎样的吗？
做一做
幂的乘方法则
(am)n= amn　(m，n都是正整数）
幂的乘方，底数 ＿＿，指数＿＿.
不变
相乘
【归纳小结】
例1 计算：
解:(1)(102)3=102×3=106；
(2)(b5)5 =b5×5=b25;
(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6 －a3×4
=2a12-a12
=a12.
(5)(y2)3 · y=y2×3·y=y6·y=y7;
注意：一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．
(3)(an)3=an×3=a3n;
(1)(102)3 ；
(2)(b5)5;
(5)(y2)3·y;
(6) 2(a2)6 － (a3)4 .
(3)(an)3;
(4)－(x2)m;
(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m;
【例题解析】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
判断对错：
（ × ）
（ × ）
（ √ ）
（ √ ）
【跟踪训练】
（ × ）
（ √ ）
例2 已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：∵2x＋5y－3＝0，
方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底
数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
∴2x＋5y＝3，
∴4x·32y＝(22)x·(25)y
＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
底数不同，需要化成同底数幂，才能进行运算.
【例题解析】
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的
区别：(am)n=amn; am﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
思考下面两道题:
(1)
(2)
我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律
进行运算.
这两道题有什么特点？
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的乘方.
知识点2 积的乘方
同理：
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a
n个b
=anbn.
证明：
思考：积的乘方(ab)n =
猜想结论：
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个
因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn （n为正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
积的乘方
乘方的积
【归纳小结】
例1 计算:
(1)(3x)2 ； (2)(－2b)5 ；
(3)(－2xy)4 ； (4)(3a2)n.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 9x2；
= －32b5；
=16x4y4；
=3na2n.
32x2
(－2)5b5
(－2)4x4y4
3n(a2)n
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个
因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏方．
【例题解析】
例2 太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R 分别代表球的体积和半径，那么V＝ πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积 公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．
解：原式
逆用幂的乘方的运算性质
幂的乘方的运算性质
逆用同底数幂的乘法运算性质
逆用积的乘方的运算性质
例3 计算:
提示：可利用 简化运算
幂的运算法则的反向应用
an·bn = (ab)n
am+n =am·an
amn =(am)n
作用：
使运算更加简便快捷！
【归纳小结】
幂的运算性质
性质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
反向运用
am · an =am+n、
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第3课时
问题 幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即aman=am＋n（m，n都是正整数）
an
底数
幂
指数
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个有害细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
1012÷109
（2）观察这个算式，它有何特点？
我们观察可以发现，1012 和109这两个幂的底数相同，
是同底的幂的形式.所以我们把1012 ÷109这种运算叫作同底数幂的除法.
（1）怎样列式？
1.了解同底数幂的除法的运算性质，会进行同底数幂
的除法运算并能解决一些实际问题.
2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负
整数指数幂的运算.
3.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
4.会用科学记数法解决相应的实际问题．
根据同底数幂的乘法法则进行计算：
28×27＝ 52×53＝
a2×a5＝ 　3m－n×3n＝
215
55
a7
3m
（　）× 27＝215
（　）×53＝ 55
（　）×a5＝a7 　　
（　　）×3n ＝ 3m
28
a2
52
乘法与除法互为逆运算
215÷27=( )
=215－7
55÷53=( )
=55-3
a7÷a5=( )
=a7-5
3m÷3m－n=( )
=3m－(m－n)
28
52
a2
3n
填一填：
上述运算你发现了什么规律吗？
　3m－n
知识点1 同底数幂的除法
猜想:am÷an=am－n(m＞n)
验证:am÷an=
m个a
n个a
=(a·a· ··· ·a)
m－n个a
=am－n
归纳小结：
(a≠0，m，n是正整数，且m＞n).
am÷an=am－n
即:同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例1 计算：
(1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3;
(3)(xy)4÷(xy); (4)b2m+2÷b2.
(1)a7÷a4=a7－4
=(－x)3
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1
(4)b2m+2÷b2
注意：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
解：
=a3；
(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3
=－x3；
=(xy)3
=x3y3；
=b2m+2－2
=b2m.
【例题解析】
已知：am=8,an=5. 求：
（1）am－n的值； (2)a3m－3n的值.
解:(1)am－n=am÷an=8÷5 = 1.6；
同底数幂的除法可以逆用：am－n=am÷an
这种思维叫作逆向思维 (逆用运算性质）.
猜一猜：
知识点2 零次幂与负整数次幂
3
2
1
0
–1
–2
–3
3
2
1
0
–1
–2
–3
我们规定
即任何不等于零的数的零次幂都等于1.
即用a-n表示an的倒数.
归纳小结：
适用范围扩大
例2 用小数或分数表示下列各数：
解：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
（1）10－3
=0.001.
（2）70×8－2
注意：a0 =1
（3）1.6×10－4
=1.6×0.0001
=0.00016.
【例题解析】
计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流.
(1)7－3÷7－5；
(2)3－1÷36；
(3)(－8)0÷(－8)－2.
解：(1)7－3÷7－5=
=7－3－(－5)；
(2)3－1÷36=
=3－1－6
(3)(－8)0÷(－8)－2=
=(－8)0－(－2)
【跟踪训练】
(a≠0，m，n是任意整数).
1.am÷an=am－n
即:同底数幂相除，底数不变，指数相减.
归纳小结：
因为
所以， 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
知识点3用科学计数法表示绝对值小于1的数
10－2= ___________; 10－4= ___________;
10－8= ___________.
议一议：指数与运算结果的0的个数有什么关系？
一般地，10的-n次幂，在1前面有_________个0.
想一想：10－21的小数点后的位数是几位？
1前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么？
n
算一算：
用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤ |a|<10.
n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
【归纳小结】
例3 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
【例题解析】
1.用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 006 4；
（3）0.000 0314；
2.用科学记数法填空：
（1）1 s是1 μs的1 000 000倍，则1 μs＝______s；
（2）1 mg＝______kg；（3）1 μm ＝______m；　　　　　
（4）1 nm＝______ μm ；（5）1 cm2＝______ m2 ；
（6）1 ml ＝______m3.
【例题解析】
1.同底数幂的除法法则:
同底数幂相除, 底数不变，指数相减.
(a≠0, m、n为任意整数)
2.任何不等于零的数的零次幂都等于1.
3.负整数指数幂：
（a≠0，n为正整数）
同底数幂的除法
4.用科学计数法表示较小的数：
当0<|N|<1时， N＝a×10－n，其中1≤|a|<10，
n=N中第一个非零数字前0的个数．

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