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专题02 二次函数综合压轴题
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测
1.近三年浙江中考二次函数均为必考核心考点，以解答题第 23 题为主，稳定考查图象性质、解析式求解、最值、实际应用、几何综合五大模块。 2. 题型高度固定：实际应用（抛物 / 滑行）+ 几何综合（线段、面积、特殊三角形 / 四边形、角度、几何变换） 两大板块交替或组合出现。 3.命题风格：代数 + 几何融合，强调建系、设点、列式、分类讨论、数形结合，计算规范、步骤分严格。 4. 高频考向：求解析式、线段长度 / 最值、面积最值、等腰 / 直角三角形存在性、平行四边形存在性、角度相等 / 倍角、平移对称旋转。 1. 继续以解答题压轴为主，分值、题位、难度保持稳定，侧重综合建模与逻辑推理。 2. 实际应用更贴近生活：抛物轨迹、滑行运动、拱桥、喷水、利润、面积仍是主流，情境更新颖但模型不变。 3. 几何综合深度提升：线段和差最值、铅垂高面积、特殊三角形 / 四边形、角度转化为高频核心，分类讨论更隐蔽。 4. 趋势：弱化纯计算，强化转化能力、临界分析、取值范围取舍，多小问递进，前问为后问铺垫。
重●难●要●点●剖●析
题型1 二次函数与线段的综合问题
用坐标表示线段长度：水平线段长 = 横坐标之差的绝对值；竖直线段长 = 纵坐标之差的绝对值；斜线段用一点间距离公式。 设点表示线段：设动点坐标，用含参数式子表示线段长，转化为代数式或方程。 线段相等 / 倍数关系：转化为方程求解，注意舍去不合题意的解。 线段最值：常转化为二次函数最值，用配方法或顶点公式求解。 5. 分类讨论：动点位置不同，线段表达式不同，需分情况列式。
1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B．
(1)求b，k的值；
(2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上．
①若，求m的值；
②若，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）把代入，解得，再把代入，求解即可；
（2）①当时，，解得，，由，，可得，再列方程求解即可；
②先求得，，，再分当M在之间时及当M在Q右边时，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
解得：，
把代入，解得：；
（2）解：①，
当时，，
解得：，，
当时，，即，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②点，在二次函数上，
，，，
当M在之间时，
，，
∵，
∴，
解得：，（舍），
当M在Q右边时，
，，
∵，
∴，
解得：，（舍），
综上所述，或，
或．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C一点，与x轴交于另一个点D．
(1)①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最小值．
【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②
(2)（0≥m≥3）；
【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；
（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；
②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y= x2+bx+c，
得，解得；
（2）解：由题意，得∠APB=70°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=70°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴，即．
整理，得，即（0≥m≥3）．
∴当时，n的值最小，最小值是．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键．
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，一点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标；
(3)以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)点M的坐标为
(3)的最小值为
【分析】（1）由 ，解得，然后代入解析式求解；
（2）当线段时，则点C在的中垂线上，即时，即可求解；
（3）先证明，然后利用当B、P、G三点共线时，最小，最小值为即可求解．
【详解】（1）∵对称轴是直线，
故 ，解得，
故抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点为；
（2）对于，令，
解得或，令，则，
故点A、B、C的坐标分别为，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式，
设点M的坐标为，则点D的坐标为，
当线段时，则点C在的中垂线上，即，
即，
解得（舍去）或2，
故点M的坐标为；
（3）在上取点G，使 ，即，则，则点，
∵，，
∴，
∴，故，
则，
故当B、P、G三点共线时，最小，最小值为，
则的最小值．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来以及利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．.
4．（2025·浙江杭州·二模）已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点为延长线上一动点，点在轴正半轴上，连接，且，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取点，连接交轴于点，取的中点，连接并延长交于点，当时，求的值．
【答案】(1)3
(2)
(3)4.5
【分析】题目主要考查一次函数与几何综合，全等三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用面积得出方程求解即可；
（2）由题意，得．过作于点．结合图形及线段间的关系确定，然后利用求解即可；
（3）连接．根据三角形中位线的性质得出，过作轴交于．连接，过点作于．过作于，则．利用全等三角形及相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：．
令，
．
，
令．
．
（舍）．
即的值为3．
（2）．
．
由题意，得．过作于点．
．
．
．
．
即．
（3）连接．
∵E是中点，，
是的中位线．
∴．
．
过作轴交于．
．
，
．
，
连接．
，
．
．
．
，
∴，
．
，
．
．
过点作于．
．
，
．
．
设，则，
．
过作于，则．
．
．
．
即．
．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、一点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
(3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）求出．．利用勾股定理即可求出答案；
（3）利用相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识求出的值即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：把代入，
得
．
抛物线的解析式为．
（2）由已知，得．
设直线的解析式为．
把代入，得
．
．
当时，．
．
．
．
在中，
．
．即．
（3），
设直线的解析式为．
则，
解得
直线的解析式为．
直线，
设直线的解析式为．
把代入，得．
直线的解析式为．
对于任意的值，直线过点，
．
当时，．即．
连接
．
对于．当时，．
．
四边形为平行四边形．
为菱形．
∴菱形为正方形．
连接．
．
，
．
．
．
．
，
．
，
．
．
．
在延长线上取点，使，连接．
，
．
．
．
．
，
．
在中，，
在中，，
即．
，，
．
解得（舍）．
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法、特殊四边形的判定和性质等知识，综合性强，难度大．
题型2 二次函数与线段和的最值综合问题
线段和最小值：优先用对称点法（将军饮马模型），找对称点后转化为一点之间线段最短。2. 线段和最小值：将线段和表示为单变量二次函数，用顶点式求最小值。 构造函数：设动点坐标，用解析式表示每条线段，再合并成函数。 确定自变量范围：根据点的位置确定 x 的取值范围，保证点在图象上。 5. 共线取最值：当三点共线时，线段和取得最小或最小，注意验证等号成立条件。
1．（2024·浙江·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最小？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点坐标为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得；
②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）把，，代入中得：
解得，
所以解析式为：；
（2）①点的横坐标是，
的纵坐标是
由，求得直线解析式为
的纵坐标是，
所以当时，
②存在，理由如下：
点在直线上，
点的横坐标是
，当时，最小
点坐标为．
2．（2024·广东汕头·二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，求点的坐标．
(3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为___________．
【答案】(1)，顶点的坐标为
(2)点的坐标为或
(3)
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点的坐标；
（2）过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解；
（3）过点作轴，使，连接，，证明，可得，由三角形的四边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）抛物线过，，
，
解得，
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为．
（2）如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，
解得，
，
，
，，
求直线的表达式为，
，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
，
解得，，
点的坐标为或；
（3）如图2，过点作轴，使，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键．
3．已知抛物线（为常数）与轴相交于一点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接．
当点的坐标为，且时，求的值；
当的最小值是时，求的值．
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（）把代入函数解析式，再转化成顶点式即可求解；
（）求出，根据点在轴负半轴，可得，进而得，再根据可得，解方程即可求解；
由点为的中点得点的运动轨迹为直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，中点坐标公式，勾股定理，轴对称的性质，三角形的四边性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：在中，当时，，
∴点的坐标为，
在中，当时，，，
∵点在轴负半轴，
∴，即，
∴，
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，点在轴负半轴上，
∴，
在中，由勾股定理，得．
∵，即，
∴，
解得或，
又∵，
∴；
由知点，，点，
∵点是轴上一点，点为的中点，
∴随着点的运动，点的运动轨迹为直线，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为，
由对称的性质可知，点的坐标为，
∵点在轴负半轴上，
∴，
在中，，
即，
解得或，
∵，
∴．
4．已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B一点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为．
(1)求a，c的值及抛物线顶点坐标；
(2)点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接．
①当最短时，求点P的坐标；
②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长．
【答案】(1)，，顶点坐标为
(2)①
②
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得a、c的值，再将解析式化成顶点式，即可求解；
（2）①由垂线段最短得，当时，最短，连接，过点P作于E，先根据，求得，再证明，得，即，代入即可求解；
②过点Q作交x轴于H，交y轴于G，则点P在移动，点Q在上移，根据，所以作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值，连接，可求得，再证明，得，即可求出的长．
【详解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）解：①∵当最短时，∴，连接，过点P作于E，如图，
∵抛物线与x轴交于A，B一点，
∴令，则，
解得：，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理，得，
∴；
②过点Q作交x轴于H，交y轴于G，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵点P在移动，
∴点Q在上移，
∵
∴作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值，
连接，
∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
∵点A关于的对称点，
∴，，
∴
∴
∵点C关于x轴对称点为D，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
∴当的值最小时， 的长为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，利用轴对称求最短距离问题．本题属二次函数综合题目，难度较大，错误作出辅助线是解题的关键．
题型3 二次函数与圆长面积的综合问题
面积常用方法：铅垂高法（面积 = 水平宽 × 铅垂高 ÷2）、割补法、坐标法。 圆长转化：将圆长拆成多条线段和，再用坐标表示各段长度。 设点列式：设抛物线上动点坐标，用函数式表示底、高、边长等几何量。 最值求解：把面积 / 圆长表示为二次函数，配方求顶点最值，注意开口方向。 取值范围：自变量要满足点在图象上、线段为正、图形存在等条件。 6. 特殊图形：三角形、梯形、平行四边形面积按对应公式计算。
1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，一点，与轴交于点．已知，并且当时，．
(1)填空：该二次函数的解析式为______．
(2)已知该二次函数的图象上有一点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
(3)过，一点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)以，，，为顶点的四边形的面积为8
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质：
（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到；
（3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵当时，，
∴，
把，代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵且，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴；
（3）解：当时，解得或
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，（舍去）或，（舍去），
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8．
2．（2024浙江·模拟）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当的圆长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的圆长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程 ，解方程即可；
（3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明 ，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可．
【详解】（1）解：将，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解： ，，
，，
，
，，
的圆长，
的圆长是线段长度的2倍，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
解得，（舍），
，
；
（3）解： ，
当时，y取最小值，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
设，过点M作轴于点N，

由题意知，
，
，
，
又 ，，
，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
将点代入，得，
解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，错误作出辅助线是解题的关键．
3．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的一点．
(1)求，的值；
(2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问：
①求面积的最小值；
②当垂直平分线段时，求点的坐标；
(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最小值．
【答案】(1)，
(2)①，②
(3)
【分析】将点坐标代入抛物线的解析式，从而求得的值，进而求得的值；
作轴，交于，设，可求得直线的解析式，从而表示出点坐标，从而表示出，进而表示出，从而得出结果；
设，根据垂直平分线的性质，得，故，解得即可；
过点B作于点G，设直线的解析式为，根据题意，得，设，，则是方程的两个根，根据根与系数关系定理得，过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M，，证明，，故直线过定点，故，根据直角三角形的斜边小于直角边，当点G与R重合时，取得最小值．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
，
．
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
作轴，交于，
设，则，故，
∴，
∵
∴当时，面积取得最小值，且．
设，根据垂直平分线的性质，得，故，
，
整理，得，
解得（舍去），
故，
故点．
（3）解： 过点B作于点G，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
得，
设，，
则是方程的两个根，
∴，
过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵E，B，F是不同点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
故
∴，
故直线过定点，
故，
∵边上的高，
根据直角三角形的斜边小于直角边，
当点G与R重合时，取得最小值，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，三角形相似的判定和性质，公式法解一元二次方程，直线过定点，一元二次方程根与系数关系定理，直角三角形的性质，熟练掌握最值，直线过定点，一元二次方程的解法，根与系数关系定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、L一点，交y轴于点D．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，点B在的延长线上，连接，设点B的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，与的面积相等，过点B作，过点L作的垂线，垂足为F，交抛物线于点E，交于H，过点E作于G，连接和，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）解方程，即可求解；
（2）先求得，得到，再利用三角形的面积公式列式求解即可；
（3）利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，结合已知求得，利用等角的余角相等求得，利用正切函数的定义求得，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
，，
；
（2）解：当时，，
，
，
点在轴负半轴上，点的横坐标为，
，
，
即；
（3）解：，
，
，
，，
在中，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，得
，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了二次函数与面积的综合、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
5．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B一点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最小值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值．
(3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q一点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)w有最小值为，此时
(3)直线过定点．
【分析】（1）由待定系数法求解即可．
（2）求出A，B，C点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设，过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H． 则，，利用一点之间的距离求出，，再由平行线的性质可得出，利用三角形等高可得出，最后利用二次函数的性质求最值即可．
（3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，，
解得：，，
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）∵
∴，，
∴，，
另，则，
∴点，
设的解析式为：，
∴，
解得：
∴的解析式为：．
设，
过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H．

∴，，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
当时，w有最小值为，此时．
（3）直线过定点，理由如下∶
设直线的解析式为，，，
当时，
整理得：
，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，
整理得：
，，
当时，
整理得∶ ，
，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴直线经过点．
【点睛】本题主要考查了二次函数与面积综合，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．平行线的性质等知识，此题运算量大，准确计算是解题的关键．
题型4 二次函数与角度的综合问题
角度相等：转化为正切值相等、相似三角形、等腰三角形或平行线内错角。 特殊角（45°、70°、90°）：利用三角函数、直角三角形性质、斜率关系求解。 倍角 / 半角：构造角平分线，转化为等角问题，再用相似或方程求解。 角度和差：用直角、平角、三角形内角和建立等式。 5. 坐标构造：过点作垂线构造直角三角形，用边长比表示角的三角函数。6. 分类讨论：点在不同象限、对称轴两侧，角度位置不同，需分情况。
1．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
(2)连接与能否相等？若能，求不不符合的点的横坐标；若不能，试说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)能，或或或．
【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．
【详解】（1）解：①∵，
∴顶点的横坐标为1．
∴当时，，
∴点的坐标是．
设抛物线的函数表达式为，把代入，
得，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为，
即．
②如图1，过点作于点．

设直线为，把代入，得，
解得，
∴直线为．
同理，直线为．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．
①如图，当时，存在．
记，则．
∵为的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为6．

②如图2-2，当时，存在．
记．
∵为的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．

③如图2-3，当时，存在．记．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
④如图2-4，当时，存在．记．
∵，
∴．

∴．
∴．
过点作轴于点，则．
在中，，
∴，解得．
∴点的横坐标为．
综上，点的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B一点，与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)如图1，求a的值；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且，连接、，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，即，推出，再利用待定系数法求解即可；
（2）过P作轴于M，设与y轴交点为N，得到，证明，推出，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）连接，过C作交的延长线于点R，延长交的延长线于点T，设，求得，证明四边形是平行四边形，证明，得到，，推出，得到，求得，过P作轴于点H，则，，利用三角函数的定义求得，再计算得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
，
过，
，
，
当时，，
，
，
过，
，
；
（2）解：过P作轴于M，设与y轴交点为N，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，过C作交的延长线于点R，延长交的延长线于点T，
设，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
或（舍去），
，，
过P作轴于点H，则，，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的图象和性质，三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B一点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．

(1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式．
(2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F，证明，得到，求出，，，得到，，，得到，求出的解析式，根据，得到，求出，得到，根据，，判定是直角三角形，，得到；
（2）过点C作平分，过点F作于点L，证明，得到，在中运用勾股定理求出，，根据正切定义，得到， ，设，则，，得到，得到，得到，得到，即得．
【详解】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F，
则，
∵，
∴，
∴，
在中，
当时，，
解得，或，
当时，，
∴，，，
∴，，，
∴，
设的解析式为，
则 ，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
；

（2）过点C作平分交x轴于点K，过点F作于点L，
则，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合．熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，角平分线定义，正切定义，是解决问题的关键．
4．（2023·浙江金华·三模）小聪同学在解决抛物线平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线的顶点为A，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C，连结，延长交原抛物线于点D，则．
(1)如图2，当时，请说明该结论成立．
(2)当时，求点D的坐标．
(3)过点D作轴，交原抛物线的对称轴于点E，若，直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】
（1）由题意知，，可得顶点，对称轴为y轴，设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，则平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，进而可得，由，，证明结论即可；
（2）由题意知，，则顶点，对称轴为y轴，同理（1）：平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，，则，如图1，过点B作轴于E, 则，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立得：，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可；
（3）如图2，过点B作于F，则，，由，可得，同理（1）可得，，，待定系数法求直线的解析式为，联立得：，求得点D的横坐标为，则，由，可得，证明，则，计算求解即可．
【详解】（1）
解：证明：当时，，
∴顶点，对称轴为y轴，
设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，
将代入，得，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴；
（2）
解：当时，，
∴顶点，对称轴为y轴，
同理（1）：平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，，
∴，
如图1，过点B作轴于E,
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得，（舍去），，
∴；
（3）
解：如图2，过点B作于F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，
将代入，得，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：，，
∴点D的横坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为4．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，正切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与相似综合等知识．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，正切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与相似综合是解题的关键．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，直线交轴于点，交轴正半轴于点，交抛物线于点，点的横坐标为10．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为线段上一点（不与点，重合），连接，若点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，点为线段上一点，过点作轴于点，作轴于点，交抛物线于点，点为上一点，．点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，过点作于点，连接，，．若，，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得和，再利用待定系数法求解即可；
（2）过作于点，利用列式计算即可求解；
（3）设，则，，，在上取点，连接，使，过作于点，则，，设，则，，，证明，求得，过作于点，过作，交于点，连接，过作，交于点，过作于点，则，解直角三角形求得，，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
，
在中，当时，，
，
将，代入，得
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
，
，
在中，当时，，，
左右，，
，
，
过作于点，
由题意，得，
，
，
，，
；
（3）解：当时，，
，
，轴，
，，
，
，
轴，
，
，
，
设，则，，
，
在上取点，连接，使，过作于点，则，，
，
，，
，
设，则，，，
，，
，
，
，
，
过作于点，，
，，
，，
，
；
，
，
或（舍去），，
轴，，，
，，
，
设，，，
；
过作，交于点，
，，
，
，
连接，过作，交于点，
则，，
，
，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
过作于点，则，
，，
；
设，则，
，，
，
，，
，，，
，，，
，轴，，
，
设直线的解析式为，把，代入，得
，
解得，
直线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式．作出合适的辅助线是解题的关键．
题型5 二次函数与特殊三角形的综合问题
等腰三角形：分四边两两相等三种情况，用距离公式列方程求解。 直角三角形：用勾股定理或斜率除积 =-1，确定直角顶点再列式。 等边 / 等腰直角：利用边长相等、特殊角，结合三角函数与距离公式。 步骤统一：设点→表示四边长→列等式→解方程→检验取舍。 避免漏解：按 “谁为腰、谁为直角顶点” 分类，做到不重不漏。 6. 舍去不合理解：点要在抛物线上，边长为正，三角形能构成。
1．（2023·浙江宁波·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B一点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使．
(1)求线段OC的长；
(2)求该抛物线的函数关系式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有不不符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，，，
【分析】（1）令抛物线中，可得出、的坐标．再由已知证明，得出，从而求出的长度，
（2）设，则，在中，可求出的值，继而就可得出，过点作于点，然后利用解直角三角形的知识，可求出点的坐标，代入可得出二次函数解析式．
（3）设出点坐标，用坐标系一点间距离公式表示出和的长，分和两种情况，分别列方程即可求出点坐标．
【详解】（1）解：由
得，．
、一点坐标分别为：，．
由知，．
又 ，，
，
．
．
线段的长为．
（2）解：由（1）知，，，
设，则
由得
解得，（舍去）
，
过点作于点，
的坐标为
将点的坐标代入抛物线的解析式得
抛物线的函数关系式为：．
（3）由（2）可知抛物线，
抛物线的对称轴，
设P点坐标为，
的坐标为，的坐标．
故：，，，
若等腰三角形中，，即：，解得：，
此时P点坐标为：，，
若等腰三角形中，，即：，解得：，
此时P点坐标为：，，
综上所述：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得是以BC为腰的等腰三角形，不不符合的点P的坐标为：，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的知识，其中涉及了数形结合问题，由抛物线求二次函数的解析式，用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识．注意这些知识的综合应用．
2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
(2)求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
(3)若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、等边三角形的性质、一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）将可得抛物线的解析式，化成顶点式，由此即可得；
（2）当时，，利用一元二次方程根的判别式即可得证；
（3）画出图形（见解析），先根据二次函数的对称性和等边三角形的性质可得点关于这个抛物线的对称轴对称，再求出，设点的横坐标为，则，，，从而可得的长，然后利用等边三角形的性质和勾股定理也可得的长，建立方程，解方程求出的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得．
【详解】（1）解：当时，
抛物线为，
则抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
（2）证明：当时，，
这个方程根的判别式
，
∴无论取任何实数，这个方程都有两个不相等的实数根，
∴无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
（3）解：由题意，画出图形如下：
抛物线化成顶点式为，
∴顶点的坐标为，其对称轴为直线，
∵是等边三角形，
∴，
∴点关于这个抛物线的对称轴对称，
如图，不妨设点在对称轴左侧的抛物线上，点在对称轴右侧的抛物线上，与对称轴的交点为点，则垂直平分，
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
∴，，
当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵在等边中，，，，
∴，
∴，
解得或（不不符合题意，舍去），
∴，，
∴的面积为．
3．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，动点在x轴上，过点C作x轴的垂线交线段于点D，交该抛物线于点P，连接交于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)当时，求线段的长．
(3)当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）令可确定点B的坐标，令可确定点A的坐标．
（2）可确定点P的坐标，求得的长度；求出的解析式，的解析式，确定E的坐标，过点E作于点M，利用平行线分线段成比例定理，确定点E为的中点，计算即可．
（3）分两种情形去求解即可．
【详解】（1）∵抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，
∴令得，
∴；
令得，
解得，
∵点A在x轴的正半轴，
可确定点A的坐标．
∴．
（2）∵抛物线，，
∴，
∴，；
设直线的解析式为，的解析式为，
∴，，
解得，，
∴直线的解析式为，的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点E作于点M，
则，，
∴，
∴点E为的中点，
∴．
（3）当时，点E在垂直平分线上，
∵，
∴垂直平分线为直线；
根据（2）得的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点E作于点N，
则，，
∴，
∵，
∴
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故；
当时，
∵，，
∴，
∴，
过点E作于点G，
则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了待定系数法，平行线分线段成比例定理，正切三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理，正切三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B一点，若已知A点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
(2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出不不符合的Q点坐标，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，或
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，错误的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可；
（2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线解析式中得，
解得，
∴抛物线解析式为；
∴对称轴为直线；
（2）解：在中，令，则，
∴点C的坐标为；
在中，令，则，
解得或，
∴点B的坐标为；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
由图象可知：或；
（3）解：存在， 设，
∴，，，
当时，则，此时方程无解，不不符合题意；
当时，则，
解得或，
∴点Q的坐标为或；
当时，则，
解得，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B一点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．
(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；
(2)若，求证：；
(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得 ，解方程即可．
【详解】（1）解：把，代入得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，，
∴，
解得（负值舍去）；
当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，
同理可得 ，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值舍去）；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
题型6 二次函数与特殊四边形的综合问题
平行四边形：利用对角线中点重合（中点坐标公式），或对边平行且相等。 三角形：在平行四边形基础上，减邻边垂直 / 对角线相等。 菱形：在平行四边形基础上，减邻边相等 / 对角线垂直。 正方形：同时满足三角形 + 菱形条件，垂直且相等。 分类核心：按对角线分类最清晰，不易漏解。 6. 坐标法：用中点公式、距离公式、斜率垂直快速列方程。
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C一点，与直线相交于E点．
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将沿着y轴翻元，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数、对称、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用配方法确定抛物线顶点坐标，学会分类讨论，知道可以利用方程组求两个函数图象交点坐标，属于中考压轴题．
（1）利用配方法求出顶点D坐标，令，可以求出点A坐标；
（2）求出直线解析式，利用方程组求出点E坐标，再求出点E关于y轴对称点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）分为边，为对角线两种情形分别讨论即可解决问题．
【详解】（1）∵，
∴顶点，
令，则，
∴点，
∴；
（2）设直线为，则，解得，
∴直线解析式为，
由，解得，
∴点E坐标为，
∴点关于y轴的对称点，
∵点在抛物线上，
∴，
∴或，
∵，
∴；
（3）如图，
①当为边时，，，
令，则，
∴点C的坐标为，
∴
根据平移可以得到点P坐标，
∴，
∴或(舍弃)，
②当为对角线时，为边，
根据平移可得点坐标，
∴，
∴或(舍弃)
∴抛物线解析式为或．
2．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B一点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
(3)点E的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用一点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可；
（3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可．
【详解】（1）解；把代入到中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解；如图2-1所示，当点P在下方时，
∵，
∴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴点P的坐标为；
如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H，
∵，
∴，
∴
设，
∴，
解得，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线，
∵，
∴由对称性可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为，
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
综上所述，点E的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，一点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解．
3．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，三角形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若三角形的邻边之比为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得的值；然后把点A的坐标代入二次函数解析式求出的值，即可得到答案；
（2）根据点的坐标，表示出点的坐标，点的坐标，从而可表示点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式；
（3）设，当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，由∽，可求出，，故，又在直线上，有，可解得；
当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，同理可得．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
解得：，
，
点是抛物线上的一点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：如图，
直线的解析式为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
把点代入得：
，
、之间的关系式为；
（3）解：设，
当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图：
，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
在直线上，
，
解得此时与重合，舍去或，
；
当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，如图：
同可得，
代入得：，
解得舍去或，
；
综上所述，点在点右侧，点与点重合时，若三角形的邻边之比为，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，动点问题，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
4．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，三角形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是三角形 “梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)12；
(3)存在，或．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在三角形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求；
（3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用一点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【详解】（1）解：∵三角形的顶点坐标分别是，，，，
∴三角形的“梦之点”满足，，
∴点，是三角形 “梦之点”，
故答案为：，．
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴点A，B是直线上的点，
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的对称轴交于M，则，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
解得：，
当时，，
当时，，
∴或．
【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，一点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，一点间距离公式是解题的关键．
题型7二次函数与几何变换的综合问题
平移规律：左减右减，上减下减，优先抓顶点平移再写解析式。 对称变换：关于 x 轴 /y 轴 / 原点对称，顶点和坐标对应取反，再写解析式。 旋转：70° 旋转常用 “横纵互换、符号看象限”，构造全等三角形。 变换后求解析式：先求新顶点，再设顶点式，代入求 a。 结合最值：变换后图象的最值仍在顶点处，注意定义域限制。 6. 图象过定点：分离参数，令参数系数为 0，求定点坐标。
1．（2025·浙江温州·二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值；
(3)点在抛物线上，过点C作直线轴，若直线l与抛物线上，一点之间的部分（包含点，）有两个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）首先根据对称轴为直线求出，然后将代入表达式求解即可；
（2）首先表示出点B平移后的坐标，然后代入求解即可；
（3）令，求出，，然后求出点A关于直线的对称点坐标为，然后根据题意分情况求解即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，
，即．
将点代入中，
得，
，
抛物线表达式为；
（2）将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度，
即．
将代入，
得
；
（3）令，即，
解得，，
点A关于直线的对称点坐标为．
当时，点C在点A左侧，仅有1个交点．
当时，点C在点A右侧，对称轴左侧（或对称轴上），仅有1个交点．
当时，点C在对称轴右侧，点D左侧（或与点D重合），有2个交点．
当时，点C在点D右侧，仅有1个交点．
综上所述，若直线l与抛物线上，一点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握以上知识点．
2．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点．
(1)求的函数表达式及其顶点坐标；
(2)若点和在抛物线上，且，．
①求A，B一点的坐标；
②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最小值为p，最小值为q，若，求k的值．
【答案】(1)的函数表达式为，顶点坐标为
(2)①，；②或
【分析】本题主要考查二次函数的图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把点把代入解析式求出，利用顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①由抛物线对称性得到，解得即可得到答案；
②分三种情况讨论，根据二次函数图像上点的坐标特征，表示出，根据题意得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
的函数表达式为．
顶点坐标为；
（2）解：①由得：，
，
，．
，；
②：的对称轴为：直线，
顶点为
由①得：，
Ⅰ．当时，，则：
，；，，
，
解得：（舍）．
Ⅱ．当时，，则：
，；，，
，
解得：（舍）．
Ⅲ．当时，，
，，
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（舍），（不符合）
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（不符合），（舍）
综上所述：或．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，一点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点．
(1)填空：____；____；_____．
(2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值．
(3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、；
（2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解；
（3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这一点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：点坐标为，直线经过点，
，
．
二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点，
，，
联立组成方程组为，
解得．
故答案为：；；．
（2）解：由题意知：抛物线解析式为，即．
将的图象向右平移个单位后得到，
其顶点坐标为．
∵顶点恰好落在直线上，
，
．
（3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点．
设抛物线对称轴与轴交于点．
，
为等腰直角三角形．
点在轴上，
则外接圆的圆心必在边的中垂线上．
设该中垂线交抛物线于点，．
由可知线段的中点坐标为，
，故可求得该中垂线解析式为．
∴解方程组
解得：．
即，一点的横坐标分别为．
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，
则，一点的横坐标分别为．
．
．
从而点的横坐标为．
同理．
．
从而点的横坐标为．
的取值范围是．
【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．三角形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将三角形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的三角形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、三角形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
5．（2025·浙江·模拟）如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点．
(1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______；
(2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最小值；
(3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)不变，这个四边形的面积为16
【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可；
（3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点，
∴抛物线对称轴为： 直线，
把点和点代入得：，
解得，
∴二次函数解析式为：，
故答案为：，；
（2）解：∵抛物线，
∴，
设直线的解析式为；，
把点和点代入得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
设平移后函数解析式为：，
建立方程组
整理得：，
∵抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴h的最小值为；
（3）解：如图，设，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∵G是点E关于x轴的对称点，
∴，
∵，，
∴．
综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键．
题型8 二次函数新情景综合问题
先翻译定义：把新定义、新规则转化为坐标、线段、角度、函数常规条件。 套常规模型：陌生题→转化为 “求解析式→求点→求最值→存在性”。 抓等量关系：从题目中找相等、倍数、定值、垂直、平行等关键条件。 构造函数：把问题转化为二次函数，用单调性与顶点求范围或最值。 注意范围：自变量受图象、线段、图形存在限制，必须检验取舍。 6. 多问递进：前一问结论常作为后一问条件，学会 “递推使用”。
1．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于一点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，错误的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最小，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最小，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于一点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最小，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最小，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最小值为：．
2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)若，抛物线与x轴只有一个交点．
①求证：；
②抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，直线的表达式为．求在范围内，x等于多少时，取得最小值？
(2)点在该抛物线上，．若，求t的取值范围．
【答案】(1)①见解析；②当时，取最小值
(2)或
【分析】（1）①把代入得：，根据根的判别式得出，即可得出答案；
②先求出顶点A的坐标为，点B的坐标为，求出直线的解析式为：，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可；
（2）先求出对称轴为直线，根据，得出点P一定在对称轴的右侧，根据二次函数性质得出当时，取最小值，当，取最小值，分两种情况：当点Q在对称轴右侧时，当点Q在对称轴左侧时，分别列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：①把代入得：，
把代入得：，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴顶点A的坐标为，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把和代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴
，
，
∵，
∴当时，取最小值；
（2）解：的对称轴为：直线，
∵，
∴点P一定在对称轴的右侧，
∵，
∴在对称轴的右侧随x的增大而减小，在对称轴的左侧随x的增大而增大，
∴当时，取最小值，当，取最小值，
当点Q在对称轴右侧时，要使则，
解得：；
当点Q在对称轴左侧时，
当时，点P关于直线对称点的横坐标为：，
要使则，
解得：；
综上分析可知：或时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
3．（2025·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数图象的对称轴．
(2)若的最小值为4，将该函数的图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求此新的二次函数的表达式．
(3)设的图象与轴的交点分别为，，且.若，分别求出和的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，函数图象平移的性质，二次函数和二元一次不等式的结合等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出，即可求出抛物线的对称轴；
（2）根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式；
（3）根据对称轴得出，代入即可求出的取值范围；将代入解析式中得出，令，，分析二次函数的函数值即可得出结果．
【详解】（1）解：将代入得
，
整理得，
所以，二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）得，即，
将代入得，
，
将代入得，
，，
∴抛物线的解析式为，
∵该函数的图象向右平移3个单位长度，
∴新的二次函数的解析式为，
整理得；
（3）解：由抛物线的对称轴得，
整理得，代入得，
，
解得；
∵，是方程的两个根，把代入方程得，
又，则，变形为，
令，，
当时，；
当时，，
在这个范围内，随自变量的增大而减小，
所以，
则，即．
4．（2026·浙江·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
(1)求的值；
(2)求的最小值；
(3)当时，的取值范围是，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得；
（2）过点作交于，交于点，先求出的最小值，再证明，可得，即可求解；
（3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最小值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最小值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最小值时，取到最小值，
∴的最小值为．
（3）解：由得，
∴顶点为，即当时，有最小值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最小值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最小值，时取得最小值，即，
∴，不不符合题意；
③当时，则在时，取得最小值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不不符合，舍去；
综上所述，．
5．（2025·浙江衢州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线顶点的纵坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若将抛物线向右平移个单位长度后，图象恰好经过点，求的值．
(3)只取抛物线在间的部分记为，将在直线上方的部分沿翻元，的其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，错误的求出函数解析式，熟练掌握平移规则，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出对称轴，根据顶点的纵坐标为，得到时的函数值为，进行求解即可；
（2）根据平移规则，求出新的解析式，待定系数法求出的值即可；
（3）设图象元叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域，分点在点下方或与M平齐，以及点在点上方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵抛物线顶点的纵坐标为，
∴当时，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴将抛物线向右平移个单位长度后，得到，
∵平移后的图象恰好经过点，
∴，
解得：或；
（3）设图象元叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域，
∵，当时，
∴点，点，
∴点，
当点在点下方或与M平齐时，图象Q的最低点为，最高点为N，
则，，
依题意得：．
解得，
当点在点上方时，函数Q的最高点为点，最低点为，
则，，依题意得：
．
解得：．
综上所述：．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：90小时）
1．（2024·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点．
(1)求的值．
(2)点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究：
①当为何值时，四边形是平行四边形．
②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②与的面积之和为定值2
【分析】本题考查了二次函数的性质，画出图形，错误表示相关线段长度是解题的关键．
（１）把代入抛物线，即可解答；
（２）①求得直线的解析式为，求出点的坐标，利用平行四边形的性质，列方程即可解答；
②把两个三角形的面积表示出来相减，即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）①解：如图，设直线的解析式为，
把代入可解得，
直线的解析式为，
，
把代入，可得，
把代入，可得，
，，
若四边形是平行四边形，则，可得，
解得，
当时，四边形是平行四边形；
②解：，，
，
与的面积之和为定值2．
2．（2025·浙江丽水·二模）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点．
(1)点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由；
(2)若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值；
(3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：．
【答案】(1)在一次函数的图象上，见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）点的3级摆动点为即，代入一次函数计算解答即可；
（2）确定点的“级摆动点”为，结合已知，得，解方程解答即可；
（3）根据这两个点的“1级摆动点”都在直线上，结合点在抛物线上，求得，,构造一元二次方程，利用根的判别式确定，结合，展开移项变形，构造不等式解答即可．
【详解】（1）解：点的3级摆动点为即，
当时，，
故在一次函数的图象上．
（2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为，
由函数的图象上存在点的“级摆动点”
得，
整理，得，
解得（舍去），
故．
（3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为
，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，，
∵的二次函数的图象上恰有两个点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴是一元二次方程的两个不相等的实数根,
∴
∵，
∴,
∴,
∵,
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，构造一元二次方程，根的判别式的应用，解不等式，完全平方公式的变形应用，．
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查二次函数，三角函数，等边三角形的判定，错误理解题意是解题的关键：
（1）待定系数法即可得出答案；
（2）先得出，，过点Q作，垂足为H，则，得出，．根据，得出，进而可得出答案；
（3）过Q作于点H，交OA于点E．得出，，连接QO，延长QO交PB延长线于点F，连接OP，证明，得出，延长BQ交DC延长线于点G，证明，得出，根据，进而可得出答案．
【详解】（1）解：（1）由题意，得
解
∴抛物线的解析式为．
（2）∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，
∴，．
过点Q作，垂足为H，则，，．
∵，
∴，
∴．
（3）过Q作于点H，交OA于点E．
∵轴，．
∴．
∴．
∴．
∴，．
连接，延长交延长线于点F，连接．
则．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设BQ交OC于点M．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
延长交延长线于点G．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∵为等边三角形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
在，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
4．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C一点，抛物线经过A、C一点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标．
(3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问：
①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
②当时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为或
(3)①存在值，使得，其值为或 ；
②当时，的取值范围是
【分析】（1）先根据抛物线，当 时，取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：
①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标；
②当在的延长线上时，由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为 (在左侧)，则是方程 的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出．
①由于，根据勾股定理得出 ，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值；
②由于，根据勾股定理得出 ，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵抛物线，
当 时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，
即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，解得：或，
即点坐标是，点坐标是(2，．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）过点作为垂足，
∵，
，
，
由勾股定理，得，
①当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足．
，
，
，
，
，
，
；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足．
．
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或．
（3）设直线与抛物线的交点为在左侧)．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
，
，
①存在的值，使得 ．理由如下：
，
，
即，
化简得，
，
整理，得，
解得，
∴存在值，使得，其值为或 ；
②∵，
即，
化简得，
，
整理，得，
解得，
∴当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形四边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过作于点，证明，得出，求出，根据，即可得出答案；
（3）根据，求出，过点作轴于点，延长至点，使，连接，则．证明，得出，设，得出，根据勾股定理得出，解得或（舍去），求出线的解析式为，线的解析式为．最后待定系数法求出直线的解析式为即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
抛物线的解析式为：．
（2）解：由题意，得．
过作于点，
则，，，
，
∴，
，
∴，
，
，
对于，当时，，
，
，
，
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
，
过点作轴于点，延长至点，使，连接，则．
．设，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得或（舍去），
，
，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理可得：直线的解析式为．
联立，
解得，
．
设直线的解析式为．
把代入得：
，
解得，
直线的解析式为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解
析式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 二次函数综合压轴题
内容导航
第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测
1.近三年浙江中考二次函数均为必考核心考点，以解答题第 23 题为主，稳定考查图象性质、解析式求解、最值、实际应用、几何综合五大模块。 2. 题型高度固定：实际应用（抛物 / 滑行）+ 几何综合（线段、面积、特殊三角形 / 四边形、角度、几何变换） 两大板块交替或组合出现。 3.命题风格：代数 + 几何融合，强调建系、设点、列式、分类讨论、数形结合，计算规范、步骤分严格。 4. 高频考向：求解析式、线段长度 / 最值、面积最值、等腰 / 直角三角形存在性、平行四边形存在性、角度相等 / 倍角、平移对称旋转。 1. 继续以解答题压轴为主，分值、题位、难度保持稳定，侧重综合建模与逻辑推理。 2. 实际应用更贴近生活：抛物轨迹、滑行运动、拱桥、喷水、利润、面积仍是主流，情境更新颖但模型不变。 3. 几何综合深度提升：线段和差最值、铅垂高面积、特殊三角形 / 四边形、角度转化为高频核心，分类讨论更隐蔽。 4. 趋势：弱化纯计算，强化转化能力、临界分析、取值范围取舍，多小问递进，前问为后问铺垫。
重●难●要●点●剖●析
题型1 二次函数与线段的综合问题
用坐标表示线段长度：水平线段长 = 横坐标之差的绝对值；竖直线段长 = 纵坐标之差的绝对值；斜线段用一点间距离公式。 设点表示线段：设动点坐标，用含参数式子表示线段长，转化为代数式或方程。 线段相等 / 倍数关系：转化为方程求解，注意舍去不合题意的解。 线段最值：常转化为二次函数最值，用配方法或顶点公式求解。 5. 分类讨论：动点位置不同，线段表达式不同，需分情况列式。
1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B．
(1)求b，k的值；
(2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上．
①若，求m的值；
②若，求点M的坐标．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C一点，与x轴交于另一个点D．
(1)①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最小值．
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，一点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标；
(3)以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．
4．（2025·浙江杭州·二模）已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点为延长线上一动点，点在轴正半轴上，连接，且，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取点，连接交轴于点，取的中点，连接并延长交于点，当时，求的值．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、一点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
(3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标．
题型2 二次函数与线段和的最值综合问题
线段和最小值：优先用对称点法（将军饮马模型），找对称点后转化为一点之间线段最短。2. 线段和最小值：将线段和表示为单变量二次函数，用顶点式求最小值。 构造函数：设动点坐标，用解析式表示每条线段，再合并成函数。 确定自变量范围：根据点的位置确定 x 的取值范围，保证点在图象上。 5. 共线取最值：当三点共线时，线段和取得最小或最小，注意验证等号成立条件。
1．（2024·浙江·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最小？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2024·广东汕头·二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，求点的坐标．
(3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为___________．
3．已知抛物线（为常数）与轴相交于一点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接．
当点的坐标为，且时，求的值；
当的最小值是时，求的值．
4．已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B一点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为．
(1)求a，c的值及抛物线顶点坐标；
(2)点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接．
①当最短时，求点P的坐标；
②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长．
题型3 二次函数与圆长面积的综合问题
面积常用方法：铅垂高法（面积 = 水平宽 × 铅垂高 ÷2）、割补法、坐标法。 圆长转化：将圆长拆成多条线段和，再用坐标表示各段长度。 设点列式：设抛物线上动点坐标，用函数式表示底、高、边长等几何量。 最值求解：把面积 / 圆长表示为二次函数，配方求顶点最值，注意开口方向。 取值范围：自变量要满足点在图象上、线段为正、图形存在等条件。 6. 特殊图形：三角形、梯形、平行四边形面积按对应公式计算。
1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，一点，与轴交于点．已知，并且当时，．
(1)填空：该二次函数的解析式为______．
(2)已知该二次函数的图象上有一点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
(3)过，一点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
2．（2024浙江·模拟）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当的圆长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标．
3．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的一点．
(1)求，的值；
(2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问：
①求面积的最小值；
②当垂直平分线段时，求点的坐标；
(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最小值．
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、L一点，交y轴于点D．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，点B在的延长线上，连接，设点B的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，与的面积相等，过点B作，过点L作的垂线，垂足为F，交抛物线于点E，交于H，过点E作于G，连接和，若，，求的值．
5．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B一点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最小值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值．
(3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q一点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型4 二次函数与角度的综合问题
角度相等：转化为正切值相等、相似三角形、等腰三角形或平行线内错角。 特殊角（45°、70°、90°）：利用三角函数、直角三角形性质、斜率关系求解。 倍角 / 半角：构造角平分线，转化为等角问题，再用相似或方程求解。 角度和差：用直角、平角、三角形内角和建立等式。 5. 坐标构造：过点作垂线构造直角三角形，用边长比表示角的三角函数。6. 分类讨论：点在不同象限、对称轴两侧，角度位置不同，需分情况。
1．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
(2)连接与能否相等？若能，求不不符合的点的横坐标；若不能，试说明理由．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B一点，与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)如图1，求a的值；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且，连接、，若，，求的值．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B一点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．

(1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式．
(2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标．
4．（2023·浙江金华·三模）小聪同学在解决抛物线平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线的顶点为A，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C，连结，延长交原抛物线于点D，则．
(1)如图2，当时，请说明该结论成立．
(2)当时，求点D的坐标．
(3)过点D作轴，交原抛物线的对称轴于点E，若，直接写出的面积．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，直线交轴于点，交轴正半轴于点，交抛物线于点，点的横坐标为10．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为线段上一点（不与点，重合），连接，若点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，点为线段上一点，过点作轴于点，作轴于点，交抛物线于点，点为上一点，．点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，过点作于点，连接，，．若，，求直线的解析式．
题型5 二次函数与特殊三角形的综合问题
等腰三角形：分四边两两相等三种情况，用距离公式列方程求解。 直角三角形：用勾股定理或斜率除积 =-1，确定直角顶点再列式。 等边 / 等腰直角：利用边长相等、特殊角，结合三角函数与距离公式。 步骤统一：设点→表示四边长→列等式→解方程→检验取舍。 避免漏解：按 “谁为腰、谁为直角顶点” 分类，做到不重不漏。 6. 舍去不合理解：点要在抛物线上，边长为正，三角形能构成。
1．（2023·浙江宁波·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B一点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使．
(1)求线段OC的长；
(2)求该抛物线的函数关系式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有不不符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
(2)求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
(3)若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积．
3．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，动点在x轴上，过点C作x轴的垂线交线段于点D，交该抛物线于点P，连接交于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)当时，求线段的长．
(3)当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B一点，若已知A点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
(2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出不不符合的Q点坐标，请说明理由．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B一点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．
(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；
(2)若，求证：；
(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
题型6 二次函数与特殊四边形的综合问题
平行四边形：利用对角线中点重合（中点坐标公式），或对边平行且相等。 三角形：在平行四边形基础上，减邻边垂直 / 对角线相等。 菱形：在平行四边形基础上，减邻边相等 / 对角线垂直。 正方形：同时满足三角形 + 菱形条件，垂直且相等。 分类核心：按对角线分类最清晰，不易漏解。 6. 坐标法：用中点公式、距离公式、斜率垂直快速列方程。
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C一点，与直线相交于E点．
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将沿着y轴翻元，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
2．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B一点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
3．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，三角形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若三角形的邻边之比为，求点的坐标．
4．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，三角形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是三角形 “梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
题型7二次函数与几何变换的综合问题
平移规律：左减右减，上减下减，优先抓顶点平移再写解析式。 对称变换：关于 x 轴 /y 轴 / 原点对称，顶点和坐标对应取反，再写解析式。 旋转：70° 旋转常用 “横纵互换、符号看象限”，构造全等三角形。 变换后求解析式：先求新顶点，再设顶点式，代入求 a。 结合最值：变换后图象的最值仍在顶点处，注意定义域限制。 6. 图象过定点：分离参数，令参数系数为 0，求定点坐标。
1．（2025·浙江温州·二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值；
(3)点在抛物线上，过点C作直线轴，若直线l与抛物线上，一点之间的部分（包含点，）有两个交点，求m的取值范围．
2．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点．
(1)求的函数表达式及其顶点坐标；
(2)若点和在抛物线上，且，．
①求A，B一点的坐标；
②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最小值为p，最小值为q，若，求k的值．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，一点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点．
(1)填空：____；____；_____．
(2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值．
(3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．三角形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将三角形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的三角形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
5．（2025·浙江·模拟）如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点．
(1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______；
(2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最小值；
(3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由．
题型8 二次函数新情景综合问题
先翻译定义：把新定义、新规则转化为坐标、线段、角度、函数常规条件。 套常规模型：陌生题→转化为 “求解析式→求点→求最值→存在性”。 抓等量关系：从题目中找相等、倍数、定值、垂直、平行等关键条件。 构造函数：把问题转化为二次函数，用单调性与顶点求范围或最值。 注意范围：自变量受图象、线段、图形存在限制，必须检验取舍。 6. 多问递进：前一问结论常作为后一问条件，学会 “递推使用”。
1．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于一点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最小值．
2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)若，抛物线与x轴只有一个交点．
①求证：；
②抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，直线的表达式为．求在范围内，x等于多少时，取得最小值？
(2)点在该抛物线上，．若，求t的取值范围．
3．（2025·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数图象的对称轴．
(2)若的最小值为4，将该函数的图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求此新的二次函数的表达式．
(3)设的图象与轴的交点分别为，，且.若，分别求出和的取值范围．
4．（2026·浙江·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
(1)求的值；
(2)求的最小值；
(3)当时，的取值范围是，且，求的值．
5．（2025·浙江衢州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线顶点的纵坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若将抛物线向右平移个单位长度后，图象恰好经过点，求的值．
(3)只取抛物线在间的部分记为，将在直线上方的部分沿翻元，的其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：90小时）
1．（2024·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点．
(1)求的值．
(2)点在线段上，过点，分别作轴的垂线交抛物线点． 试探究：
①当为何值时，四边形是平行四边形．
②与的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
2．（2025·浙江丽水·二模）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点．
(1)点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由；
(2)若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值；
(3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：．
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长．
4．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C一点，抛物线经过A、C一点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标．
(3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问：
①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
②当时，直接写出a的取值范围．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式．
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