资源简介

专题01 二次函数的实际应用与最值问题
内容导航
第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测
二次函数实际应用与最值是浙江中考解答题必考题型，每年1道，分值6-10分，难度中等，必拿分。 1.近三年二次函数实际应用均以解答题形式考查，分值稳定，难度中等。 2.题型集中在两类：滑行运动类与抛物轨迹类，背景贴近生活（小车滑行、投球、喷水、拱桥等）。 3.高频考点：建立坐标系、求函数解析式、利用顶点求最值、判断能否越过障碍。 4.注重识图与转化能力，常结合坐标、方程求解，计算量适中，强调步骤规范。 1.仍以二次函数实际应用为主，大概率延续解答题考查形式。 2.情境更灵活，可能出现新背景（运动器材、建筑、环保装置等），但解题模型不变。 3.重点仍是：建系→设式→求参→求值→判断这一完整流程。 4.可能增减一步简单综合：如与几何长度、面积小结合，或多问递进（求解析式→求最值→判断可行性）。 5.强调实际意义取舍（舍去负根、限定自变量范围），步骤分依然是评分关键。
重●难●要●点●剖●析
题型1 二次函数的实际应用---图形问题
求图形面积最值，先定“变量→边长→面积”的逻辑，牢记“先定范围再求最值”，若顶点横坐标不在取值范围，直接代入端点计算，避免无用功；三角形、三角形可优先设较短边为x，减少计算量。
1．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛
(1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证:
(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最小的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最小，面积最小值为多少？
【答案】(1)见解析
(2)为时，风筝的面积最小，面积最小值为
【分析】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）先证，推出，根据等腰三角形三线合一即可证明；
（2）设，则，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，变形为顶点式，求出最值即可．
【详解】（1）证明： ，，
，
，
即平分，
又 ，
；
（2）解：设，则，
垂直平分，
，，
风筝的面积，
，
，
当时，取最小值1800，
即为时，风筝的面积最小，面积最小值为．
2．（2024·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)．
(1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长；
(2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最小？最小面积为多少平方米？
【答案】(1)
(2)为时，展览馆的面积最小，最小面积为平方米
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法是解题的关键．
(1) 设的长为米，根据三角形性质得米，根据题意，可得，根据三角形的面积公式列方程求解即可．
(2) 展览馆的面积为，的长为米，当点在线段延长线上，，根据三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：设的长为米，
点在线段上，
米，
，
，即，
，
故根据题意得展览馆的面积为，
解得： ， (，故舍去)，
答：为米．
（2）展览馆的面积为，的长为米，
当点在线段延长线上，，
由，得此时，
则，
上式可化为，
故当时，有最小值，即，
答：为时，展览馆的面积最小，最小面积为平方米．
3．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的三角形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上．
(1)当时，
①求曲线的函数解析式．
②当米时，求三段塑料管的长度之和．
(2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最小？请你求出三段塑料管总长度的最小值．
【答案】(1)①；100
(2)当与的差为时，三段塑料管总长度最小，最小值为
【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式；
求出点F的横坐标，代入抛物线得解析式求出点E和F的纵坐标，从而得解；
（2）设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意可知：点C的坐标是，
点C关于y轴的对称点是：，
又∵曲线与曲线关于y轴对称，
∴点A是曲线的顶点，曲线的解析式是，
当时，C坐标为，点A坐标为，
曲线的解析式为：；
∵米，由题意可知关于y轴对称，
∴点F的横坐标是，
将代入得：，
∴，即米，
∴三段塑料管的长度之和为：(米)，
答：三段塑料管的长度之和为100米；
（2）解：设，三段塑料管总长度为L，
根据题意可得：，
，
化简得：，
当时，L有最小值110，
当与的差为时，三段塑料管总长度最小，最小值为．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）

设计方案 小成 小韩 小林
（米
的长（米） （ ） （ ） （ ）
(1)用含，的代数式表示鸭圈另一边长　　米．
(2)若固定不变．
①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值．
②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱．
③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最小值．
(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？
【答案】(1)
(2)①或；②；小韩；③，；
(3)鸭圈面积不能达到24平方米，理由见详解
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式和代数式求值：
（1）（1）根据题意和图形，可以用含a的代数式表示出的长即可；
（2）①先求出，再利用三角形面积公式建立方程求解即可；②根据（1）所求代值计算即可；③先求出，再利用三角形面积计算公式用含a的式子表示出三角形面积，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）令时，则，求出a的范围和函数解析式，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：（米），
故答案为：；
（2）解：①由题意得，
∴，
解得：或；
②当时，，不合题意，
同理可得：时，不符合题意，时，，不合题意，
∴小韩的方案更为靠谱；
③由题意得：，即，
解得：，
设鸭圈面积为平方米，
则，
，故有最小值，
当时，的最小值为：；
（3）解：当时，，
∵，
∴
设鸭圈面积为平方米，
则，
，对称轴为：直线，
当时，的最小值为，
∴鸭圈面积不能达到24平方米．
题型2 二次函数的实际应用---滑行运动问题
1. 分析运动规律：根据题意确定滑行路程、速度、地址之间的二次函数关系。 2.错误设出解析式：常用一般式 y=ax2+bx+c 或根据实际情境简化表达式。 3.代入已知条件求系数：将题目给出的地址、路程等数据代入求 a、b、c。 4.利用函数性质求解：求最远滑行距离、停止地址、某时刻路程等。 5.结合实际意义判断：地址、距离均为非负数，注意取值范围。 6.停止滑行条件：速度为 0 或路程达到最小值时，运动停止。
1．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示．
(1)当时，求V关于x的函数表达式．
(2)车流量是单位地址内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最小，并求出这一最小值．
【答案】(1)
(2)时，P的最小值为4418
【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案；
（2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可．
【详解】（1）解：当时，．
当时，设，
由图象可知，，
解得：，
当时，；
（2）根据题意，得．
答：当车流密度为94辆千米时，车流量最小，为4418辆时．
2．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增减.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位地址(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最小值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过.
(1)若 辆时，求对应v的值.
(2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时三角形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最小值.
【答案】(1)
(2)9045
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将 代入求出a，b，再将代入求解；
（2）根据列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值．
【详解】（1）解：若车流密度K达到最小值270时，则，
，
将 代入，得：，
解得，
v关于K 的函数关系为，
将代入，得：
即辆时，对应v的值为；
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为，
，，
，
，
当时，Q取最小值，最小值为9045．
3．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯．
安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全．
实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于地址t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知．
解决问题：
(1)求图3中m的值．
(2)当时，求s关于t的函数表达式．
(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯地址差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
(3)小于3.9秒才能使车人不相撞，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，理解摩托车与汽车不相撞的条件，列出不等式关系式即可求解．
（1）将题干中已知坐标代入解析式求出的值，再令，即可求出的值．
（2）观察图二可发现，当时，速度始终为15 m/s，理解题意，将速度代入关系式中，即可得出s关于t的函数表达式．
（3）根据已知条件，需要求出另一侧绿灯亮时，摩托车通过路口的行驶地址， 再求出汽车到路口行驶地址，摩托车通过路口要比汽车通过线要早一些方可避免碰撞事故，所以满足摩托车通过路口的行驶地址小于汽车到路口行驶地址即可．
【详解】（1）解：（1）将代入，
，
，
即与的关系式为，
．
（2）由题意得，当时，m/s
．
（3）（米），
当绿灯亮时骑车出发到另一侧绿灯亮时，摩托车可骑行路程，
此时摩托车到线的剩余路程为（），需要骑行地址（秒）．
又汽车到路口行驶路程米＜22.5米，
当时，，解得，
汽车到路口行驶地址秒．
要保证安全，摩托车需及时通过路口，
，解得，
小于3.9秒才能使车人不相撞．
4．（2024·浙江杭州·一模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀减速运动状态，速度每秒增减；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与地址的关系如图2中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀减速运动时的路程平均速度地址，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）
(1)若时，求解下面问题．
①求的值；
②写出滚动的路程（单位：）关于滚动地址（单位：）的函数解析式．
(2)若小球滚动最小的路程，则小球在水平地面上滚动了多长地址？
【答案】(1)①，②；
(2)小球在水平地面上滚动的地址为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据给出的条件找出合适的等量关系，列出方程．
（1）①当时，小球在斜面运动的速度与地址的关系为：小球在地面滚动的速度为当时，②当时，小球在地面运动的速度即可求解；
（2）设小球在斜面的运动地址为，则小球运动的路程关于的函数为：即可求解
【详解】（1）解：①当时，小球在斜面运动的速度与地址的关系为：
当时，
由于小球在地面上滚动的每秒减少，
∴小球在地面滚动的速度为：
当时，
即：；
② 小球在斜面运动的地址范围是在斜面上的平均速度为：
∴小球在斜面的运动路程为：
当时，小球在地面运动的速度
∴，
∴小球运动的路程，
综合上述：，
（2）解：设小球在斜面的运动地址为，
∴小球在斜面运动的速度为：，
小球在斜面运动的平均速度为：，
小球在斜面运动的路程为：，
∴小球在水平面运动的速度为：，
小球在水平面运动的平均速度为：，
小球在水平面运动的路程为：，
∴小球运动路程关于的函数为：
当时，有最小值为即
解得：
∴，
∴小球在水平地面上滚动的地址为：．
5．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
背景 现代社会汽车大量增减，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段地址，这段地址叫反应地址，在这段地址里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离．
素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时）反应距离（米）
注意：千米/时米/秒 （1）已知反应地址，则驾驶员正常的反应地址为 秒．
素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时）刹车距离y（米）
素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．
任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
任务 2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶；
任务 3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最小速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）
【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为
（3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最小速度不能超过千米/小时
【分析】（1）根据反应地址=列式，注意转换单位；
（2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可；
（3）把带入解析式求解，与比较即可；
（4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值．
【详解】（1）反应地址
所以驾驶员正常的反应地址为秒
（2）解：图像如下：
由图像大致可知函数图象为二次函数，
因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入：
函数表达式为．
（3）把代入，
解得（舍）．
车速小于限速，
所以该车已超速行驶．
（4）设汽车刹车前的速度为千米/小时．
则根据停车距离反应距离制动距离，
可列：
整理得：，
取最小距离，则
解得（舍）
汽车刹车前的最小速度不能超过千米/小时．
【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键．
题型3 二次函数的实际应用--抛物轨迹问题
1.建立坐标系：通常以抛出点、落地点或对称轴为原点，简化计算。 2.设函数解析式：已知顶点用顶点式 y=a(x h)2+k；已知与 x 轴交点用交点式 y=a(x x1 )(x x2)。 3.代入关键点求系数：将抛出点、最高点、落地点等坐标代入，求出 a 的值。 4.利用解析式求解：给定水平距离求高度，或给定高度求水平距离。 5.判断能否越过障碍：将障碍位置的横坐标代入，比较函数值与障碍高度。 6.实际意义取舍：距离、高度均为非负数，舍去负根。
1．（2025·浙江·模拟）2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．
(1)建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
(2)梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？
(3)守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最小摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？
【答案】(1)
(2)足球能射进球门
(3)他至少后退，才能阻止球员甲的射门
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用．
（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当时，抛物线的函数值，与进行比较即可判断，即可得出答案；
（3）求出当时抛物线的函数值，与进行比较即可判断，即可判断守门员乙的阻止情况；当时，求出对应自变量值，求出此时守门员甲站立位置，再用2减去即可．
【详解】（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，得，
解得，
则抛物线解析式为：；
（2）当时，，
故：能射进球门；
答：足球能射进球门．
（3）当时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当时，，
解得：（舍去），
∴，
答：他至少后退，才能阻止球员甲的射门．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．
(1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最小高度，求小球达到的最小高度．
(2)若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出抛物线上的点的坐标是解决本题的关键．
（1）小球运动的水平距离为时，小球达到最小高度，那么抛物线的对称轴为：直线，即可得到，把相关数值代入可得的值；易得抛物线经过点，坐标为，那么．即可判断出抛物线的解析式，进而可得时，小球达到的最小的高度；
（2）抛物线经过点，坐标为，那么函数解析式中的．易得点和点的坐标，分别代入题中所给的函数解析式中，可得的值，即可判断出要使小球落人筐中，的取值范围．
【详解】（1）解：小球运动的水平距离为时，小球达到最小高度，
抛物线的对称轴为：直线．
．
解得：．
由题意得：抛物线上点的坐标为．
．
抛物线的解析式为：．
当时，．
答：小球达到的最小高度为；
（2）解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为．
抛物线上点的坐标为，
．
抛物线的解析式为：．
①抛物线经过点．
．
解得：．
②抛物线经过点．
．
解得：．
要使小球落人筐中，的取值范围为：．
3．（2025·浙江·二模）周末，玲玲与姐姐完成作业后去羽毛球馆进行羽毛球训练，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．以姐姐所站的位置作为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从姐姐站立点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球距离地面的高度单位：与水平距离单位：之间近似满足函数关系，
(1)姐姐在一次发球时，发现羽毛球的发球点距离地面的距离，当羽毛球距离发球点的水平距离为时羽毛球距离地面最高，为，根据上述数据解答下列问题：
①求姐姐在这一次发球时羽毛球与地面的高度单位：与水平距离单位：的函数关系式；
②在距离发球点水平距离处，放置一个高的球网，求羽毛球在发出后与的竖直距离的最小值；
(2)姐姐再次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，玲玲在两次接球的过程中，都是原地起跳后使得球拍达到最小高度时刚好接到球，若玲玲第一次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为，第二次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为高度，计算的值．
【答案】(1)①；②
(2)1
【分析】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式．
（1）①依据题意，可得顶点坐标为，从而可设抛物线为，又抛物线过，则，可得，进而可以得解；②依据题意，，又，则直线为，又设抛物线上点P为，则羽毛球在发出后与的竖直距离为：，进而可以判断得解；
（2）依据题意，把分别代入（1）解析式和，求出和即可．
【详解】（1）解：①由题意，顶点坐标为，
可设抛物线为，
又抛物线过，
，
，
抛物线的函数关系式为；
②由题意，，
又，
直线为，
设抛物线上点P为，
羽毛球在发出后与的竖直距离为：
，
∵，
∴当时，与的竖直距离取得最小值3.61，
羽毛球在发出后与的竖直距离的最小值为
（2）解：在第一次接球中，当时，
则，
解得，，
接球时球越过球网，
，
在第二次接球中，当时，
则，
解得，，
接球时球越过球网，
，
．
4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.45cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 70 130 170 230
竖直高度y/cm 28.45 33 45 64 45 33 0
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；
②求满足条件的抛物线解析式：
(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)①64，230；②
(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为4.11cm
【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时，；②待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：①观察表格数据，可知当和 时，函数值相等，
对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线开口向下，
最高点时，乒乓球与球台之间的距离是，
当时，，
乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：64；230；
②设抛物线解析式为，
将代入得，，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：∵运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变
∴可设平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：，（不合题意，舍去）．
当时．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为cm
5．（2024·浙江台州·模拟预测）如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最小高度为前一次最小高度的．（忽略小球体积）
(1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式；
(2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由；
(3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围．
【答案】(1)
(2)小球不会再次接触桌面，理由见解析
(3)当时，小球只接触桌面一次
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
（1）把，，代入，求出b即可求解；
（2）设第二段抛物线解新式为，把，，代入求出h值，得到，再把人攻求出x，然后再与80比较即可得出结论；
（3）分两种情况：①若小球第一次正好接触桌面边缘，②若小球第二次下落正好接触桌面边缘，分别求解即可．
【详解】（1）解：设
当时，，
解得
（2）解：第一段抛物线的最小高度为
则第二段抛物线的最小高度为
设第二段抛物线解新式为
当时，，
或（舍去）
当时，
解得或40
又
小球不会再次接触桌面
（3）解：①若小球第一次正好接触桌面边缘，
当时，，
则
解得
②若小球第二次下落正好接触桌面边缘
第一段：
第二段：
当时，
解得
因为正好接触边缘
当时，小球只接触桌面一次．
题型4 二次函数的实际应用---拱桥问题
拱桥问题必用“顶点式”，拱顶为原点时解析式为y=ax ，代入拱脚坐标快速求a；求限高限宽时，先找对应x（或y）值，再代入解析式计算，牢记“a<0”（开口向下），避免符号错误。
1．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在不不符合处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种不符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·浙江绍兴·一模）如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)求支柱的长度．
(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.45米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
【答案】(1)
(2)5.5米
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入求得a的值，即可得出函数关系式；
（2）将代入函数关系式求得y的值，可求出支柱的长度；
（3）将代入函数关系式求得y的值，再与进行比较即可．
【详解】（1）设抛物线的函数表达式为．
把代入得：，
解得．
抛物线的函数表达式为．·
（2）当x=5时，．，
∴（米）．
（3）不能，理由如下：
当时，．
∴这艘货船不能顺利通过拱桥．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
3．（2024·浙教·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键．
任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案；
任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值；
任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
【详解】解：任务
如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则点为原点，
由题意得，，，
则点的坐标为，
令抛物线的解析式为，
将点代入中得，
，
解得：，
则抛物线的解析式为．

任务（米），
将代入得，
，（舍），
（米，
（米），（米），
琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米．
任务3：将代入得，
，（舍），
，
该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间．
4．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．

(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
【答案】(1)
(2)米
(3)
【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可；
对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案；
对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围．
【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是．
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点O，
∴将代入得，，解得，
∴；
（2）解： 由题意可得米，
将代入，
解得，
∴6根钢柱总长
(米)；
（3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为．
∴抛物线解析式为.
∵抛物线经过点，
∴，
解得．
当时，．
∵抛物线与钢柱有交点，
∴．
将代入， 可得，，
∴，
∴．
【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键．
5．（2025·浙江·一模）
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 （2）在拱桥减固维修时，搭建的“脚手架”为三角形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的四边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
【答案】（1）；（2）；（3）米
【分析】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键．
（1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可；
（2）设点的坐标为，进而表示出，的长，由， 列方程求解可得，的长，进而根据线段之间的和差关系可求得的长；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，根据平行可设直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式，根据相切结合根的判别式列式计算，即可求得直线的解析式，进而可得点的坐标，即可求得的长，根据射灯射出的光线与地面成角，可得，解直角三角形即可求得的长．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
，
；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
即光线与抛物线之间的距离为米．
题型5 二次函数的实际应用---商品销售问题
利润题牢记“总利润=（售价-进价）×销量”，涨价设x则销量减少，降价设x则销量增减，务必写清x的取值范围（销量≥0）；求最值后，需验证对应售价、销量是否不符合实际，避免出现不合理数值。
1．（2025·浙江宁波·模拟预测） 冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜， 深受市民喜爱．上市时， 王经理按市场价格 6 元/克收购了 2000 克苹果放入冷库中． 据预测，苹果的市场价格每天每克将上涨 0.2 元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用 190 元，而且苹果在冷库中最多可以保存 50 天，同时，每天有 10 克的苹果损坏不能出售．
(1)若存放 天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数解析式；
(2)王经理想获得 3650 元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润销售总金额收购成本各种费用)
(3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最小利润？最小利润是多少？
【答案】(1)
(2)需将这批苹果存放35天后出售
(3)王经理将这批苹果存放天后出售可获得最小利润，最小利润是4050元
【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法．
（1）根据苹果的单价除以苹果的数量，可得函数关系式；
（2）根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）解：由题意y与x之间的函数关系式为：（，且x为整数）；
（2）解：由题意得：
，
解方程得：，（不合题意，舍去）
王经理想获得 3650 元的利润，需将这批苹果存放35天后出售；
（3）解：设利润为w，由题意得
，
∵，
∴抛物线开口方向向下，
∴时，，
，不符合题意，
∴王经理将这批苹果存放天后出售可获得最小利润，最小利润是4050元．
2．（2024·浙江·一模）某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据．
销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38
销售件数（单位：件） 35 30 28 22
销售成本（单位：元） 210 180 168 132
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最小？最小值是多少？
(3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为900元，求的值．
【答案】(1)
(2)当销售价格x为33元时，w最小，最小值是729元
(3)4
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键．
（1）设，将代入，求解即可；
（2）设，将代入，求得，得到，求得，即可求得w的最小值；
（3）根据得出w关于x的二次函数，把代入，可解得a的值．
【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系，
∴设其解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例，
∴设其解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴，
∴
，
∴当时，
w最小，最小值为729．
∴当销售价格x为33元时，w最小，最小值是729元；
（3）解：由题意得：
，
把代入，
得，
解得．
答：a的值是4．
3．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每克元的价格购入，再以每克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为克．
(1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到克．求月份到月份的销售量月平均增长率；
(2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每克售价上涨元，月销量将减少克， 同时运输的消耗每月按照销售量每克支出元．
设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式．
现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每克应涨价多少元．
【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为；
(2) ；每克应涨价元．
【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可；
（）由题意销售量：克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可；
当时，得，解方程并检验即可；
本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率，
由题意得：，
解得：，（舍去）；
答：月份到月份的销售量月平均增长率为；
（2）解：由题意销售量：克，售价：元，运输的消耗：元，
；
由题意得：，
解得 或，
由于要尽可能的给予顾客优惠，
答：每克应涨价元．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．
(1)两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最小？(利润销售总价总进价)
【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元
(2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台
【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解；
（）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元，
再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意错误列出分式方程和函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，不符合题意，
∴，
答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元；
（2）解：∵销售量台，
∴型电脑购进台 ，
∴型电脑购进台，
∴型电脑的利润为万元，
由图象可知，当时，与的函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∴，
设总利润为万 元，
当时，总利润，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，(万元)；
当时，总利润，
∵，对称轴为直线，
∴当时，有最小值，(万元)；
∵，
∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最小．
题型6 二次函数的实际应用---喷水问题
喷水问题与拱桥问题建模思路一致，优先以喷水起点为原点建系，解析式设为y=ax +bx（c=0，起点在原点）；最小高度看顶点纵坐标，射程看与x轴正交点，快速计算，舍去负解。
1．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为三角形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最小射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最小射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最小值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴ ，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
2．（2023·浙江金华·一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最小高度为6米．
①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最小高度．
①求改造后水柱达到的最小高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)①水柱达到的最小高度8米；②
【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解；
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．．
【详解】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为．
当时，把代入函数表达式，得．
第一象限内水柱的函数表达式为．
②把代入，得得
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为．
．
把代入，得，
．
水柱达到的最小高度8米．
②把代入，得．
要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为．
，
，解得．
．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
3．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
【建模分析】
如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为．
任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最小水平距离；
【优化设计】
小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最小水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】
如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最小高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最小水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为．
任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
【答案】任务1：，最小水平距离为；任务2：；任务3：，见解析
【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最小值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点．
任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可；
任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可；
任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为 ，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可．
【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，
设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
将代入，得，
解得，
原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
令，得，
解得（不不符合题意，舍去）．
喷泉水流到喷水管的最小水平距离为
任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，
优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，
设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
将代入，得，
解得，
优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为
当时，，
优化后喷水口的竖直高度为；
任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为
将分别代入中，
得
①，②，
，
②①，得，
解得（负值已舍去），
代入①，得，
进一步优化后抛物线的函数表达式为 ，
当时，，
解得，
，
接近黄金比0.618，
所设计的喷泉比较美观．
4．（2024·江苏泰州·一模）
制作简易水流装置
设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【答案】任务一：；任务二：不能，理由见解析；任务三：
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，错误求出二次函数解析式是解此题的关键．
任务一：由题意得出抛物线的对称轴为直线．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解；
任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案；
任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案．
【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为直线．
，
，
把点代入抛物线得：，
把代入得：．
解得：，
，
∴水流抛物线的函数表达式为：；
任务二、不能，
圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，．
，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三、
当时，，
解得：或（负值，不不符合题意，舍去），
圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，
，
即．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最小高度米．
素材 现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务 请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务 当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务 草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
【答案】任务1：见解析，；任务2：水流无法喷灌到草坡最远处,理由见解析；任务3：树可以被灌溉到，理由见解析；的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，解直角三角形的应用，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
任务1：根据题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，将点、代入求出、的值，即可得到抛物线的函数表达式；
任务2：设草坡最远处为点，过点作轴于点，结合坡度解直角三角形，求出，，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案；
任务3：延长交轴于点，结合坡度解直角三角形，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案．由题意可知，移动后的解析式为，求出，将点代入解析式求出的值，即可得到的取值范围．
【详解】解：任务1：
如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数表达式为，
由图象可知，抛物线过点、，
则，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
任务2：
水流无法喷灌到草坡最远处,理由如下：
如图，设草坡最远处为点，过点作轴于点，
由题意可知，喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米，
∴，，
设，，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
在抛物线中，当时，，
∵，
∴水流无法喷灌到草坡最远处；
任务3：
树能否被灌溉到，理由如下：
由题意可知，延长交轴于点，
由题意可知，，，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，，
在抛物线中，当时，，
∵，
∴树可以被灌溉到，
由题意可知，将喷灌架向正后方向移动米，则移动后的解析式为，
当时，，
若要使树被喷灌到，则，
解得：，（舍），
∴．
题型7 二次函数的实际应用---其它问题
1.其它实际问题，涵盖投掷、刹车距离等生活场景，侧重建模能力，题型灵活但解题逻辑统一，核心是列函数、定范围、求最值。 2.先审题圈出“等量关系”（如高度与地址、距离与速度），再设变量；解析式优先选顶点式（已知最值）或一般式（已知三点），计算后必验证解的实际意义，答题时步骤完整，不遗漏单位和答句。
1．（2025·浙江·模拟预测）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30小时用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15小时内进入食堂累计人数（人）与经过的地址小时（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的地址 /小时 0 1 2 3 4 5 … 10
累计人数 （人） 0 95 180 235 320 345 … 500
当时与之间的函数关系式，（）
已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每小时4个同学取好餐．
(1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式．
(2)排队人数最多时有多少人？
(3)若开始取餐小时后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10小时）正好完成前300位同学的取餐，求，的值．
【答案】(1)
(2)排队人数最多时有320人
(3)，
【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式，二次函数，一次函数求最值的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设排队人数为，则当时，，则当时，有最小值320（人）；当时，，则当时，有最小值300（人）；由此即可求解；
（3）若开始取餐小时后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，
则：，由，都是自然数，得到，，由此即可求解．
【详解】（1）解：当时，随着地址的变化，人数的增减较多，
∴设与之间的函数关系式为，
当时，，当时，，当时，，
∴，
解得，，
∴当时，与之间的函数关系式为；
（2）解：①设排队人数为，则：
当时，，
，
当时，有最小值320（人）；
当时，，
当时，有最小值300（人）；
，
排队人数最多时有320人．
（3）解：若开始取餐小时后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，
则：，
∴，
，都是自然数，
，．
2．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里减满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水地址t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水地址t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水地址t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取地址．
任务4 请你简要写出地址刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水地址t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应地址的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随地址变化规律，以相同地址刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最小量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水地址t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：地址刻度方案要点：
①地址刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示地址约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
3．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．

为增减棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增减的支架单价为90元/米（接口忽略不计），需要增减的经费不超过32000元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最小值．
【答案】(1)①；②米
(2)1.6米
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到a的不等式，进而得到的最小值．
【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后C与E上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
，
，，
改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
米，
∴的长度为米；
（2）解：如图，设改造后抛物线解析式为，

∵当时，，
当时，，
，，
，
由题意可列不等式：，
解得：，
，
要使最小，需a最小，
∴当时，的值最小，最小值为米．
4．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动地址（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表：
运动地址 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 12 10 8 6 4 2 …
运动距离 0 22 40 54 64 70 …
(1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式．
(2)①求黑球在水平木板上滚动的最小距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
【答案】(1)图像见解析；；；
(2)①；②能相遇，相遇点到点．
【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；
（2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最小值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离．
【详解】（1）
由图像猜测是的一次函数，
设，表中取点，代入得：
解得：，
即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立，
与的函数表达式为；
由图像猜测是的二次函数，且过原点，
设，表中取点，代入得：
解得：，，
即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立，
与的函数表达式为；
（2）①由（1）可知，，
，即，
又的对称轴为，且开口向下，
当时，取最小值为：，
黑球在水平木板上滚动的最小距离为；
②由题意可知，时，白球从处出发，
当时，设表示白球在木板上滑行的距离，
则，
，
令，即，
得：，
解得：，（不合题意，舍去）
将代入，
相遇点到点的距离为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
【答案】任务：；任务2：不会触碰到最边侧的同学；任务：方案能解决同学反映的问题
【分析】本题考查了二次函数的应用，
任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；
任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解；
任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解．
【详解】解：任务：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：．
经过点．
．
解得：．
长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：；
任务2：最右侧同学所在的横坐标为：．
当时，．
长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
最右侧同学屈膝后的身高为：．
．
绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
任务当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为．
出手高度降低至．
抛物线下降．
下移后的抛物线解析式为：．
当时，．
，
方案能解决同学反映的问题．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：90小时）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）综合与实践
背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处．
排球的购买与售卖
素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3350元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元．
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个．
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最小利润？最小利润是多少？
【答案】任务1：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元；任务2：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最小利润，最小利润是845元
【分析】（1）设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元，依据总的花费共3350元列方程求解即可；
（2）设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元，根据利润（售价进价）销量建立与之间的函数关系，最后利用函数的性质回答即可．
【详解】任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元
根据题意，可列方程：，
解得：，
所以购买一个乙品牌的排球需（元）
答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元
任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元
根据题意，得： ，
所以当，即售价为元时利润w有最小值，最小值为845．
答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最小利润，最小利润是845元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，二次函数的顶点式，二次函数的性质及二次函数的最值的应用，根据实际问题建立方程模型和二次函数模型是解题的关键．
2．（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应地址分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应地址秒之间，低于人类驾驶员秒的反应地址．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应地址，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
(2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
【答案】(1)
(2)①不能，见解析；②不成功，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，错误理解题意是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可解答；
（2）①先将单位转换，再将代入解析式即可解答；
②根据解直角三角形的应用即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的地址为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
3．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为90米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
(1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式．
(2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
(3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？
【答案】(1)
(2)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米
(3)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米
【分析】本题考查二次函数的实际应用；
（1）根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式；
（2）根据题意利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题；
（3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退 米，则经过点，的抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设经过点，，的抛物线的解析式为，
根据题意得，，将其代入得：，解得，
，
（2）经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的，
经过点，的抛物线的顶点为，
经过点，的抛物线的解析式为，
将代入，得，，
消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米．
（3）解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退 米，则经过点，的抛物线的解析式为，
将代入，
即，
解得：（舍去）或
消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点距地面米．
4．（2025·浙江·二模）利用以下素材解决问题．
莲藕定价问题
素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份．
素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份．
任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）．
任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？
任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？
【答案】[任务]，；[任务]该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；[任务]售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元．
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
[任务]根据题意列出代数式即可；
[任务]由题意得，设涨价元份，，然后解方程即可；
[任务]根据题意采取降价销售，每天的利润为，然后利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：[任务]若涨价元份，则平均每天的销售量为（份），
若设降价元份，则平均每天的销售量为（份），
故答案为：，；
[任务]由题意得，设涨价元份，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；
[任务]∵尽快减少库存，
∴采取降价销售，
∴每天的利润为，
∵，
∴当时，每天的利润有最小值为元，
答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元．
5．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．

(1)当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
(2)已知段抛物线的最小高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式；
（1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答；
（2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答．
【详解】（1）解：①当时，则．
代入，
得，
解得；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线对称的点为．
∴
∴点A，B之间的距离为；
（2）解：设点，
∵落点A和落点C重合，
∴．
根据题意，设段抛物线的解析式为，
抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为．
∴，
即，解得，
∴此时段抛物线的解析式为，
令，得，即．
∴当时，落点C恰好与落点A重合．
6．（2025·浙江·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是三角形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
【答案】任务一：；任务二：不能实现，理由见解析；任务三：
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，错误理解题意， 建立函数模型是解题的关键．
任务一：利用待定系数法即可求解；
任务二：由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，可求直线解析式为，当时，，故不能实现；
任务三：求出弹起后抛物线的表达式为：，而弹起时最小高度为，则弹起高度范围为时，当时，，解得：，即可确定取值范围．
【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：
设抛物线的解析式为，
将代入可得，解得：，
所以抛物线的解析式为；
任务二：不能实现，理由如下：
由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，
则设直线解析式为：，
则
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，
对于，
当时，
解得：或，
∴，
将代入得：，
解得：，
∴弹起后抛物线的表达式为：，
∵，
∴弹起时最小高度为，
∴弹起高度范围为，
当时，，
解得：，
∵时，，，
∴击球点与发球机水平距离的取值范围为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 二次函数的实际应用与最值问题
内容导航
第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测
二次函数实际应用与最值是浙江中考解答题必考题型，每年1道，分值6-10分，难度中等，必拿分。 1.近三年二次函数实际应用均以解答题形式考查，分值稳定，难度中等。 2.题型集中在两类：滑行运动类与抛物轨迹类，背景贴近生活（小车滑行、投球、喷水、拱桥等）。 3.高频考点：建立坐标系、求函数解析式、利用顶点求最值、判断能否越过障碍。 4.注重识图与转化能力，常结合坐标、方程求解，计算量适中，强调步骤规范。 1.仍以二次函数实际应用为主，大概率延续解答题考查形式。 2.情境更灵活，可能出现新背景（运动器材、建筑、环保装置等），但解题模型不变。 3.重点仍是：建系→设式→求参→求值→判断这一完整流程。 4.可能增减一步简单综合：如与几何长度、面积小结合，或多问递进（求解析式→求最值→判断可行性）。 5.强调实际意义取舍（舍去负根、限定自变量范围），步骤分依然是评分关键。
重●难●要●点●剖●析
题型1 二次函数的实际应用---图形问题
求图形面积最值，先定“变量→边长→面积”的逻辑，牢记“先定范围再求最值”，若顶点横坐标不在取值范围，直接代入端点计算，避免无用功；三角形、三角形可优先设较短边为x，减少计算量。
1．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛
(1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证:
(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最小的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最小，面积最小值为多少？
2．（2024·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)．
(1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长；
(2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最小？最小面积为多少平方米？
3．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的三角形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上．
(1)当时，
①求曲线的函数解析式．
②当米时，求三段塑料管的长度之和．
(2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最小？请你求出三段塑料管总长度的最小值．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）

设计方案 小成 小韩 小林
（米
的长（米） （ ） （ ） （ ）
(1)用含，的代数式表示鸭圈另一边长　　米．
(2)若固定不变．
①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值．
②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱．
③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最小值．
(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？
题型2 二次函数的实际应用---滑行运动问题
1. 分析运动规律：根据题意确定滑行路程、速度、地址之间的二次函数关系。 2.错误设出解析式：常用一般式 y=ax2+bx+c 或根据实际情境简化表达式。 3.代入已知条件求系数：将题目给出的地址、路程等数据代入求 a、b、c。 4.利用函数性质求解：求最远滑行距离、停止地址、某时刻路程等。 5.结合实际意义判断：地址、距离均为非负数，注意取值范围。 6.停止滑行条件：速度为 0 或路程达到最小值时，运动停止。
1．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示．
(1)当时，求V关于x的函数表达式．
(2)车流量是单位地址内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最小，并求出这一最小值．
2．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增减.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位地址(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最小值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过.
(1)若 辆时，求对应v的值.
(2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时三角形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最小值.
3．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯．
安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全．
实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于地址t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知．
解决问题：
(1)求图3中m的值．
(2)当时，求s关于t的函数表达式．
(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯地址差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．
4．（2024·浙江杭州·一模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀减速运动状态，速度每秒增减；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与地址的关系如图2中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀减速运动时的路程平均速度地址，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）
(1)若时，求解下面问题．
①求的值；
②写出滚动的路程（单位：）关于滚动地址（单位：）的函数解析式．
(2)若小球滚动最小的路程，则小球在水平地面上滚动了多长地址？
5．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
背景 现代社会汽车大量增减，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段地址，这段地址叫反应地址，在这段地址里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离．
素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时）反应距离（米）
注意：千米/时米/秒 （1）已知反应地址，则驾驶员正常的反应地址为 秒．
素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时）刹车距离y（米）
素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．
任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
任务 2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶；
任务 3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最小速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）
题型3 二次函数的实际应用--抛物轨迹问题
1.建立坐标系：通常以抛出点、落地点或对称轴为原点，简化计算。 2.设函数解析式：已知顶点用顶点式 y=a(x h)2+k；已知与 x 轴交点用交点式 y=a(x x1 )(x x2)。 3.代入关键点求系数：将抛出点、最高点、落地点等坐标代入，求出 a 的值。 4.利用解析式求解：给定水平距离求高度，或给定高度求水平距离。 5.判断能否越过障碍：将障碍位置的横坐标代入，比较函数值与障碍高度。 6.实际意义取舍：距离、高度均为非负数，舍去负根。
1．（2025·浙江·模拟）2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．
(1)建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
(2)梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？
(3)守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最小摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．
(1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最小高度，求小球达到的最小高度．
(2)若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围．
3．（2025·浙江·二模）周末，玲玲与姐姐完成作业后去羽毛球馆进行羽毛球训练，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．以姐姐所站的位置作为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从姐姐站立点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球距离地面的高度单位：与水平距离单位：之间近似满足函数关系，
(1)姐姐在一次发球时，发现羽毛球的发球点距离地面的距离，当羽毛球距离发球点的水平距离为时羽毛球距离地面最高，为，根据上述数据解答下列问题：
①求姐姐在这一次发球时羽毛球与地面的高度单位：与水平距离单位：的函数关系式；
②在距离发球点水平距离处，放置一个高的球网，求羽毛球在发出后与的竖直距离的最小值；
(2)姐姐再次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，玲玲在两次接球的过程中，都是原地起跳后使得球拍达到最小高度时刚好接到球，若玲玲第一次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为，第二次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为高度，计算的值．
4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.45cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 70 130 170 230
竖直高度y/cm 28.45 33 45 64 45 33 0
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；
②求满足条件的抛物线解析式：
(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
5．（2024·浙江台州·模拟预测）如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最小高度为前一次最小高度的．（忽略小球体积）
(1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式；
(2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由；
(3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围．
题型4 二次函数的实际应用---拱桥问题
拱桥问题必用“顶点式”，拱顶为原点时解析式为y=ax ，代入拱脚坐标快速求a；求限高限宽时，先找对应x（或y）值，再代入解析式计算，牢记“a<0”（开口向下），避免符号错误。
1．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在不不符合处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种不符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
2．（2023·浙江绍兴·一模）如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)求支柱的长度．
(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.45米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
3．（2024·浙教·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
4．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．

(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
5．（2025·浙江·一模）
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 （2）在拱桥减固维修时，搭建的“脚手架”为三角形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的四边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
题型5 二次函数的实际应用---商品销售问题
利润题牢记“总利润=（售价-进价）×销量”，涨价设x则销量减少，降价设x则销量增减，务必写清x的取值范围（销量≥0）；求最值后，需验证对应售价、销量是否不符合实际，避免出现不合理数值。
1．（2025·浙江宁波·模拟预测） 冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜， 深受市民喜爱．上市时， 王经理按市场价格 6 元/克收购了 2000 克苹果放入冷库中． 据预测，苹果的市场价格每天每克将上涨 0.2 元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用 190 元，而且苹果在冷库中最多可以保存 50 天，同时，每天有 10 克的苹果损坏不能出售．
(1)若存放 天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数解析式；
(2)王经理想获得 3650 元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润销售总金额收购成本各种费用)
(3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最小利润？最小利润是多少？
2．（2024·浙江·一模）某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据．
销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38
销售件数（单位：件） 35 30 28 22
销售成本（单位：元） 210 180 168 132
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最小？最小值是多少？
(3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为900元，求的值．
3．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每克元的价格购入，再以每克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为克．
(1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到克．求月份到月份的销售量月平均增长率；
(2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每克售价上涨元，月销量将减少克， 同时运输的消耗每月按照销售量每克支出元．
设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式．
现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每克应涨价多少元．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．
(1)两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最小？(利润销售总价总进价)
题型6 二次函数的实际应用---喷水问题
喷水问题与拱桥问题建模思路一致，优先以喷水起点为原点建系，解析式设为y=ax +bx（c=0，起点在原点）；最小高度看顶点纵坐标，射程看与x轴正交点，快速计算，舍去负解。
1．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为三角形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最小射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
2．（2023·浙江金华·一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最小高度为6米．
①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最小高度．
①求改造后水柱达到的最小高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
3．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
【建模分析】
如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为．
任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最小水平距离；
【优化设计】
小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最小水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】
如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最小高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最小水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为．
任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
4．（2024·江苏泰州·一模）
制作简易水流装置
设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
5．（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最小高度米．
素材 现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务 请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务 当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务 草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
题型7 二次函数的实际应用---其它问题
1.其它实际问题，涵盖投掷、刹车距离等生活场景，侧重建模能力，题型灵活但解题逻辑统一，核心是列函数、定范围、求最值。 2.先审题圈出“等量关系”（如高度与地址、距离与速度），再设变量；解析式优先选顶点式（已知最值）或一般式（已知三点），计算后必验证解的实际意义，答题时步骤完整，不遗漏单位和答句。
1．（2025·浙江·模拟预测）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30小时用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15小时内进入食堂累计人数（人）与经过的地址小时（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的地址 /小时 0 1 2 3 4 5 … 10
累计人数 （人） 0 95 180 235 320 345 … 500
当时与之间的函数关系式，（）
已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每小时4个同学取好餐．
(1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式．
(2)排队人数最多时有多少人？
(3)若开始取餐小时后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10小时）正好完成前300位同学的取餐，求，的值．
2．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里减满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水地址t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水地址t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水地址t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取地址．
任务4 请你简要写出地址刻度的设计方案．
3．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．

为增减棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增减的支架单价为90元/米（接口忽略不计），需要增减的经费不超过32000元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最小值．
4．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动地址（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表：
运动地址 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 12 10 8 6 4 2 …
运动距离 0 22 40 54 64 70 …
(1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式．
(2)①求黑球在水平木板上滚动的最小距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
5．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：90小时）
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）综合与实践
背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处．
排球的购买与售卖
素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3350元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元．
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个．
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最小利润？最小利润是多少？
2．（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应地址分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应地址秒之间，低于人类驾驶员秒的反应地址．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应地址，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
(2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
3．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为90米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
(1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式．
(2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
(3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？
4．（2025·浙江·二模）利用以下素材解决问题．
莲藕定价问题
素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份．
素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份．
任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）．
任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？
任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？
5．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．

(1)当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
(2)已知段抛物线的最小高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
6．（2025·浙江·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是三角形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑