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专题03 中考几何压轴---三角形与四边形综合
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测
近三年浙江中考几何压轴高频考点，常以动点、元叠、旋转为背景。 重点考查特殊三角形与特殊四边形的判定、性质，相似三角形为核心计算工具。 题型以存在性、最值、线段与面积计算为主，高频使用A 字、8 字、母子相似。 4. 综合性强，常结合相似、勾股、三角函数联用，步骤分要求严谨。 1. 仍作为几何压轴重点考查，题位与难度稳定。 2. 以动点探究为主，相似三角形的分类讨论成为必考难点。 3. 强化模型：将军饮马、胡不归、元叠 + 旋转 + 相似组合。 4. 更隐蔽的相似构造，强调识图、平行导角、比例转化能力。
重●难●要●点●剖●析
题型1 特殊三角形综合问题
熟练运用等腰、等边、直角三角形的边、角、三线合一性质。 角度计算常用：内角和、外角、互余、等腰等边对等角。 求线段优先用：相似三角形、勾股定理、面积法、锐角三角函数。 直角三角形中常用：母子相似、射影定理、斜高模型。 5. 等腰三角形必分类：按腰 / 底、顶角 / 底角分三种情况。6. 复杂比例问题：优先构造A 字、8 字相似快速列比例式。
1．（2026·浙江·模拟预测）如图1，中，，为中点，点在上（不与重合），过点作，垂足为，连结，过的中点．作，垂足为．
(1)若，当为中点时，求的长．
(2)求的值．
(3)如图2，连结，过点作交于点，连结，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可；
（2）设，求出，即可求出答案；
（3）根据全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质进行证明即可．
【详解】（1）解：连结，如图．
因为为中点，
所以．
因为为中点，
所以，
所以．
（2）连结，由（1）知，
同理得．
设，
则，，
所以，
所以．
（3）证明：连结，延长至点，使，连结，分别过点作于点，于点，在上取点，使．
因为，
所以．
因为为中点，，
所以，
所以，，
所以．
由，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
则，
所以，
所以，
所以，
所以．
2．（2026·浙江·一模）如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求．
(3)如图，过点作的垂线交延长线于点，作，垂足为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练应用相关性质定理．
（1）根据等边对等角结合角平分线的性质证明，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）过点作交于点，通过证明，根据等腰三角形三线合一得到，进而求得，根据勾股定理依次求得和的长即可.
（3）过点作的平行线交于点，作，通过证明，得到，根据等角对等边证得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而得解．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
（2）解：如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，，
，
，
，
.
（3）解：过点作的平行线交于点，作，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
3．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接．
(1)直接判断与的位置关系
(2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)1
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断；
（2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）解：；
理由如下：设与交于O，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：，
证明：过点B作交于点M，
∵，
∴，，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
解得，，经检验不符合题意；
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是错误构造全等三角形解决问题．
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．
【基础巩固】（1）如图1，在中，为钝角，相似分割线是边上的中线，，求的长．
【证明体验】（2）如图2，在中，是的全相似分割线，求证：．
【拓展延伸】（3）如图3，在中，是的全相似分割线，将绕点顺时针旋转到，当三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【分析】（1）根据是相似分割线，得出与中有一个与相似．又因为是钝角，且，故，再结合为中线，整理得，即可作答．
（2）根据是全相似分割线，得，即，结合三角形内角和性质，得，即，运用等面积法进行整理得，即可作答．
（3）由（2）知为直角三角形，得，再结合旋转性质得，，运用勾股定理得，代入数值得，则，，即可作答．
【详解】解：（1）是相似分割线，
与中有一个与相似．
是钝角，且，
与不可能相似，
，
．
为中线，
，
∴
，
即，
的长为．
（2）是全相似分割线，
，
．
则
，
，
则，
为直角三角形．
，
∴
，
．
（3）由（2）知为直角三角形，
．
∵将绕点顺时针旋转到，
∴，
∵在中，是的全相似分割线，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴．
，
．
【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，三角形内角和性质，错误掌握相关性质内容是解题的关键．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，．
(1)如图1，求的面积．
(2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合．
①连接．求的面积．
②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①15；②
【分析】（1）过点作于点，则：设，则，结合勾股定理可得：，进一步求解即可．
（2）①如图2，连结，证明四边形是平行四边形，求解的面积的面积，可得的面积．
②如图3，过点作于点，求解，过点作于点，则的面积为：求解，结合只需最小，则最小，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
6．（2025·浙江杭州·二模）综合与实践
我们已经学过，在中，若，则三角形四边满足勾股定理：．
【知识应用】
（）如图，在中，于点D，若，则，请说明理由．
【拓展探究】
（）如图，在中，于点，点是的中点，连接．
求证：．
【拓展应用】
（）如图，在中，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），连接，，点为的外心，连接，求证：．
【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）证明见解析
【分析】（）利用勾股定理可得，，进而相减即可求证；
（）过点作于点，由勾股定理得，，又由点是的中点得，进而相减可得，再根据平行线等分线段定理可得，进而即可求证；
（）连接，延长交于点，由三角形外心可得，即可得，得到，利用补角性质可得，即得，即得到，再利用勾股定理解答即可求证．
【详解】（）证明：∵，
∴，
∴，，
∴
；
（）证明：如图，过点作于点，则，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴；
（）证明：如图，连接，延长交于点，
∵点为的外心，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外心，补角性质，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质，错误作出辅助线是解题的关键．
题型2 平行四边形综合问题
核心性质：对边平行且相等，对角线互相平分。 由平行直接构造A 字、8 字相似，是解题关键突破口。 判定常用：一组对边平行且相等；两组对边分别相等；对角线互相平分。 计算常用：相似比例、勾股定理、面积法、中点坐标公式。 5. 动点问题常结合存在性，用对角线中点重合快速列方程。
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】
（1）如图（1），在和中，点在上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长．
【拓展提高】
（3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）20
【分析】（1）根据平行可得，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据可得的长，再直角中，根据勾股定理即可求解；
（3）如图3，延长交于点P，证明，得，设，则，证明和，可得和的值，最后由平行四边形的面积公式可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍），
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在中，．
(1)求的长，
(2)把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）作延长线于H，由平行四边形性质得，，进而通过勾股定理进行求解即可；
（2）①由旋转得，，作，利用、设，列方程求m，算出，再由得面积；②先求，得，，将转化为，利用旋转性质得，当时AP最小，代入求得最小值．
【详解】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最小化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中， ，
∴，
∴．
【点睛】本题以平行四边形旋转为载体，通过构造直角三角形结合三角函数与勾股定理求解线段长，将面积与最值问题转化为方程与函数思想，体现了“化斜为直”“转化化归”的几何解题策略．
3．（2025·浙江·模拟）在中，，，点，为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转．

(1)如图1，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
(2)如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求线段的长；
(3)如图3，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)4
【分析】（1）可得出，，，根据含度角的直角三角形的性质，求得结果；
（2）可得出，，，勾股定理解直角三角形求得，进而求得；
（3）将绕点顺时针旋转至，连接，可得出，，， ，从而得出是等边三角形，于是可求得 ，，从而得出，从而求得，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
（2）如图1，

作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
（3）如图2，

将绕点顺时针旋转至，连接，
，， ，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识，解题关键是利用旋转作辅助线．
题型3三角形综合问题
核心性质：四个角为直角，对角线相等且互相平分。 三角形中出现平行、直角，极易构造相似三角形。 元叠问题必考：对应边相等、对应角相等，结合勾股定理计算。 判定思路：先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等。 5. 线段、面积计算常用：相似比例、射影模型、铅垂高法。
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在三角形中，，，点是边上的动点，连结，以为边作三角形（点在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点在的中点时，点在同一直线上，求的长；
(2)如图2，当时，求证：线段被平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由勾股定理求出，求出，则可得出答案；
（2）过点作于点，与交于点，证明，得出，则可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点作于点，与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即线段被平分．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，三角形中，．

(1)点E是边上一点，将沿直线翻元，得到．
①如图1，当平分时，求的长；
②如图2，连接，当时，求的面积；
(2)点E为射线上一动点，将三角形沿直线进行翻元，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长．
【答案】(1)① ；②的面积
(2)的长为或
【分析】（1）①根据元叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据元叠的性质以及三角形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：①∵四边形是三角形，
∴，
∵将沿直线翻元，得到，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴；
②如图所示，延长交的延长线于点G，

∵四边形是三角形，
∴，
∴，
∵将沿直线翻元，得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，，
设中边上的高为h，则，
∴，
∴的面积；
（2）当点E、、D三点共线时，分两种情况：
①当E在的延长线上时，

∵四边形是三角形，
∴，
∴，
由元叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当E在线段上时，

由元叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了三角形的性质、元叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形的性质和元叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（2023·浙江温州·一模）如图1，在三角形中，，．，分别是，上的动点，且满足，是射线上一点，，设，．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当中有一条边与垂直时，求的长．
(3)如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结，以，为边作平行四边形．
①当所在直线经过点D时，求平行四边形的面积；
②当点G在的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)或2
(3)①；②
【分析】（1）利用，得到，求出，代入比例即可得到函数解析式；
（2）分情况：当时，当时，由，得不可能垂直于，依次分析求解；
（3）①由，得到，得，．过点作，则．利用求出答案；②当点落在边上时，证明，得，即，求得．当点落在边上时，作交于点，作于点，得，即，求得，即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：在三角形中，．
，，
．
，
．
，
．
．
（2）当时，
，，
，．
，
，
由（1）得，
解得，即．
当时，
延长交于点．
，
，．
，
，
是等边三角形．
，
．
在中，，
在中，，
，即，
解得，即．
，
，
综上，的值为或2；
不可能垂直于．
（3）当时，，即，
．
①在平行四边形中，，
，即，
解得，
，．
过点作，则．
．
②．
提示：当点落在边上时，
，
，
．
，
．
，
．
，即，
解得．
当点落在边上时，
作交于点，作于点，
则，，
，．，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，即，
解得，
．
【点睛】此题考查了三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，求函数解析式，综合掌握各知识点是解题的关键．
4．（2025·浙江·二模）综合与实践
【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张三角形纸片，，．先将三角形ABCD对元，使BC与AD重合，元痕为MN，沿MN剪开得到两个三角形．三角形AMND保持不动，将三角形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为．
【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个三角形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；
（2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个三角形重叠部分四边形的面积；
【引申探究】（3）当点落在三角形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．
【答案】（1）菱形，（2）（3）
【分析】（1）先证△BFM≌△NFD，可得MF=FD，同理可证ME=ED，再证△BFM≌△AEM，可得ME=MF，即有ME=ED=DF=MF，则可知四边形MEDF是菱形；由AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，即ED=5-AE=ME，在Rt△AEM中，，即可得，解得：，进而求出ED，则菱形的面积可求；
（2）先求出，进而求出，再证明即可求解；
（3）分两种情况讨论，第一种当点在线段MD上时，第二种情况当点在DM的延长线上时，两种情况均是先先利用勾股定理求出MD，进而求出，再证明即可求解．
【详解】（1）根据题意有AM=BM=AB=DC=DN=NC=3，
∵在三角形AMND和三角形MBCN′中，∠B=∠N=70°=∠A，
∵∠BFM=∠NFD，
∴△BFM≌△NFD，
∴MF=FD，
同理可证ME=ED，
∵∠AME+∠EMF=∠AMN=70°=∠EMB=∠EMF+∠BMF，
∴∠AME=∠BMF，
∴结合∠B=∠A，AM=MB可得△BFM≌△AEM，
∴ME=MF，
∴ME=ED=DF=MF，
∴四边形MEDF是菱形，
∵AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，
即ED=5-AE=ME，
∴在Rt△AEM中，，
∴，解得：，
∴ED=5-AE=，
∴菱形MEDF的面积为，
故答案为：菱形，；
（2）由元叠得，，
∴在中，．
∴．
由题知，
∴，，
∴，
∴．
∴，即，解得．
∴ ．
（3）如图，
第一种当点在线段MD上时
∵AD=5，AM=3，
∴在Rt△ADM中，，
∵BC=AD==5，
∴，
根据三角形的性质可知∠AMD=∠MDG，∠A==∠70°，
∴，
∴，即：，
第二种情况当点在DM的延长线上时，
如图：
同理可求得，
综上所述：DG为．
【点睛】本题考查了三角形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
题型4 菱形综合问题
核心性质：四边相等，对角线互相垂直平分，平分内角。 对角线垂直→构造直角三角形 + 相似联用解题。 面积公式：面积 = 对角线除积的一半，常结合相似比例。 判定思路：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。 5. 角度、线段计算：三角函数、相似、勾股定理三者结合。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，AC平分，．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若，在不添减任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条与线段AG相等的线段（线段AG除外）．
【答案】(1)见解析
(2)AE，ED，EC，FC
【分析】（1）根据先证明，推出，易证四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义结合，推出，推出，即可证明；
（2）根据，结合四边形是菱形，推出，易证都是等边三角形，得到，再根据，利用等腰三角形三线合一，可推出是的垂直平分线，得到，，利用菱形的性质得到，，求出，结合，易证是等腰直角三角形，推出，再利用三角形内角和定理求出，进而求出，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）证明： ，四边形是菱形，
，
都是等边三角形，
，
，
是的垂直平分线，是的角平分线，
，，
四边形是菱形，
，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中，
(1)如图1，求的长．
(2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转．
当时，求的值．
如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值．
【答案】(1)5
(2) ，
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理解答即可．
（2）延长交于点，根据菱形的性质，旋转的性质，三角函数的定义解答即可．
根据勾股定理，三角函数的定义，菱形的性质解答即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键．
【详解】（1）解：在菱形中，
∴，
∴．
（2）①如图1，延长交于点，
由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，．在菱形中，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
②解 ：如图2，．
∵，
∴最小时，也最小，要想最小，只需最小．
∵为定角，
∴当时，有最小值为，
此时，
∴的最小值为
3．（2025·浙江·模拟预测）已知菱形，，，点E为射线上的一个动点，连结，
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，点F为上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连结，（i）的大小是否为定值？如果是定值，请求出定值，否则说明理由，（ⅱ）求的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)（i）的大小为定值；（ii）
【分析】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．
（1）根据菱形的性质得到，，，根据平行线到现在得到，求得，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到结论；
（3）（i）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（ii）根据相似三角形的性质得到，当最小时，有最小值，如图，作的外接圆，交BD于，当F与重合时，DF最小，此时，，，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
；
（3）解：（i），
，
，
∽，
，
的大小为定值；
（ii），
，
是定值，
当DF最小时，有最小值，
如图，作的外接圆，交于，当F与重合时，最小，
此时，，，，
，
，
，
，
即的最小值是
4．（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，．
(1)如图1，求菱形的边长．
(2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，．
①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长．
②如图3，求的最小值．
【答案】(1)10
(2)①；②
【分析】本题考查菱形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质，错误作出辅助线是解题的关键．
（1）过点作于点，根据设，则，，利用菱形的面积列方程求解即可；
（2）①根据菱形和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长；
②过点作于点，过点作的垂线与的垂直平分线（点为垂足）相交于点，连接，，易证得，进而得到，进而求出、的长，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，即，从而得到当，，三点共线时，有最小值．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
，
设，则，，
菱形的面积为，
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
（2）解：①点关于的对称点落在线段上，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
如图2，过点作于点，则，
由（1）知，，，
，
；
②如图3，过点作于点，过点作的垂线与的垂直平分线（点为垂足）相交于点，连接，，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
当，，三点共线时，的最小值为．
题型5 正方形综合问题
核心性质：集三角形、菱形性质于一身，四边相等、四角直角、对角线垂直相等平分。 正方形是浙江压轴最爱：旋转 45°、半角模型、元叠、全等 + 相似必考。 常见模型：正方形内垂直线段相等、线段和定值、面积最值。 计算核心：相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形性质。 5. 动点、存在性、元叠旋转全覆盖，分类讨论是高频考点。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在正方形中，是上一点，于点于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作于点，连接，若点为中点，在不添减任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使得每个三角形的面积等于四边形面积的．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】该题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中线等知识点，解题的关键是证明三角形全等．
（1）证明，得出，即可证明．
（2）设正方形的边长为，根据，得出，，证明，得出，证明，得出，根据三角形中线性质得出，从而得，证明，得出，算出，即可求出 ，从而得出，设，则，从而得 ，即可得，算出，最后即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：∵点为中点，
∴．
设正方形的边长为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴，
设，则，
∴
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
则面积等于四边形面积的的三角形有．
2．（2026·浙江·二模）如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
(1)求证：；
(2)若四边形的面积为，求的长；
(3)求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据证明即可得出结论；
（2）由得，可求出，设，其中，则，，，解得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可；
（3）由得，设，则，，求出，，设，则，其中，求得，得出的最小值为，可得出的最小值．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
；
（3）解：由（1）得，
∴，
设，则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为．
3．（2026·安徽·模拟预测）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
(1)如图，连接，当时，求证：；
(2)过点作的垂线交射线于点，连接，．
（）如图，求证：；
（）如图，当时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（）证明见解析；
（）．
【分析】（1）利用正方形性质证明得，，连接，再结合勾股定理证明，最后利用垂直平分线的判定定理即可证明；
（2）（）过点作，交的延长线于点，结合正方形性质证明四边形是三角形，得，再证明，由相似三角形性质得出，即可证明；
（）由可得，，由垂直平分线性质得，结合相似三角形性质得，，设，则，建立二元一次方程，解出后可得，根据即可得解．
【详解】（1）证：连接，
是边的中点，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
为的中点，，，
中，，
，
点一定在线段的垂直平分线上，
故；
（2）（）证明：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形为正方形，是边的中点，
，，，
，
四边形是三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即；
（）解：由（1）可知，
，，
又，
，
，
，
，，
设，则，
，
又，
则有，
解得，
即，
．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质、三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二元一次方程的应用、求角的正切值，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
4．（2024·浙江·模拟）已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，．
(1)如图，如果，求线段的长
(2)过点E作，垂足为点G，与交于点H．
①求证：；
②设的中点为点O，如果，求的值．
【答案】(1)；
(2)①见解析，②或．
【分析】（1）如图，连接交于点M．易证，得垂直平分，可得，由可得，由勾股定理求出，依据，求解即可；
（2）①如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，易证，可得，易证得到，由，可证，，即，，代入即可；
②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，易证，得到，由（1）可知垂直平分，得，如图，当H在上时，，由①可知，，设,则，，可得，设，由，解得，在中，，解得，从而可求得；如图，当H在上时，，由①可知，，设,则，，，设，由，解得，在中，，解得，代入可得．
【详解】（1）解：如图，连接交于点M．
由题意可知，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
∴，
解得：，
；
（2）①如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，
在正方形中，，
，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，
，，
，
，
，
在正方形中，
易证是正方形，
，
，
，
，
由（1）可知垂直平分，
，
如图，当H在上时，
，
由①可知，
，
设,则，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
设，
，
∴，
解得，
在中，
，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴；
如图，当H在上时，
，
，
由①可知，
，
设,则，，
在与中，
，
设，
，
，
，
∴，
解得，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质的应用，相似三角形的判定和性质的应用、勾股定理和三角函数解直角三角形；解题的关键是构建相似三角形，运用相似的性质建立等量关系．
题型6 动点与存在性综合问题
统一步骤：设点→表线段→列条件→解方程→检验。 动点形成相似：按对应角不同分类讨论，最易漏解。 特殊三角形存在：结合相似比例 + 勾股定理列式。 平行四边形存在：用中点公式 + 相似比例快速求解。 5. 数形结合，先画图标位置，利用平行→相似简化计算。
1．（2023·浙江金华·三模）如图，在三角形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．

(1)当点Q在线段上时，求证：．
(2)当时，求的面积．
(3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)BP的长为或2或
【分析】（1）证明即可得到答案；
（2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．②当点Q在上时，如图2，作于点M，设，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在上时，设，则，若点F在Q的右侧，如图3，当，则，作于点H，而，
∴，则，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，，，，作于点N，于点G．，则，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案．
【详解】（1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．

由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）①当点Q在上时，设，则．

若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．

∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，

由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【点睛】本题考查的是动态几何问题，三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论，细心的计算是解本题的关键．
2．（2024·浙江一模）如图，在菱形中，已知，对角线长12．

(1)求菱形的圆长；
(2)动点P从点A出发，沿的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动地址为t（）
①当恰好被平分时，试求t的值；
②连接，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，恰好是一个直角三角形？
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）连接交于O，由菱形的性质得出，，，，，在中，解直角三角形得到 ，即可求出菱形的圆长；
（2）①当点Q在边上时，设交于M，则，由得到，根据题意得：，，则，得出，解方程即可；当点Q在边上时，在上取点E，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，由此列出方程，求解即可解答；
②当点Q在边上时，若，与平行线的性质得出，则，由直角三角形的性质得出，即，求出t的值即可；若，作于N，则，，由直角三角形的性质得出，得出方程，解方程即可；当点Q在边上时，证出，即恒成立． 得出当时为直角三角形；即可得出答案．
【详解】（1）解：连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴在中， ，
∴；
（2）解：①分两种情况讨论：
当点Q在边上时，设交于M，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
根据题意得：，，则，
∴，
解得： ；
当点Q在边上时，在上取点E，使得，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
此时，即点P与点Q均运动到点B，不合题意。
综上，当恰好被平分时，。
②当点Q在边上时，若，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
若，如图3所示：
作于N，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在边上时，如图4所示：
根据题意得：，，，
∴，
∴，
作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，即H与P重合，
∴，
即恒成立．
∴当时都为直角三角形．
综上可得，当或时，恰好为直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定及性质等知识，掌握分类讨论思想是解题关键．
3．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿元线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动地址为t秒．
(1)用t表示线段的长度；
(2)连接，求的值；
(3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值；
(4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．
【答案】(1)①当点E在线段上时，；②当点E在线段上时，
(2)
(3)，1，
(4)或
【分析】（1）分两种情况讨论，当点E在线段上时，；当点E在线段上时，；
（2）过点C作延长线于点G，根据平行四边形性质推出，，设，，利用勾股定理建立等式求出，进而得到，，在中，即可求出的值；
（3）根据题意分类讨论：当时，点F落在上，点F落在上时，过点D作于点H；当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；
（4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，三角形的性质，全等三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：由题知，①当点E在线段上时，即时，；
②当点E在线段上时，当时，．
（2）解：如图1，过点C作延长线于点G，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
在，由，
，
设，，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
中，．
（3）解：由旋转知，，
当时，点F落在上，如图2，
由得，，
解得：；
点F落在上时，如图3，过点D作于点H，
同（1）可求，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4，
由，得：，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得．
综上所述：t的值为，1，．
（4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线），
由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，，
，
，
设，则，，，
，
，
，
而，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线），
同理可得：，
解得：，
，
．
综上所述：或．
【点睛】本题考查了代数式表示式，平行四边形性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的性质，全等三角形的性质和判定，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，并错误添减辅助线．
题型7 元叠、旋转与几何变换综合
元叠 / 旋转核心：对应边相等、对应角相等，常构造相似三角形。 旋转后出现公共角、等角，立刻判断AA 相似。 元叠出现直角、平行线，优先用A 字、8 字、射影相似。 求线段长套路：设未知数→相似列比例→勾股定理验证。 5. 几何变换必考：全等 + 相似联用，是浙江压轴固定套路。
1．（2025·湖南邵阳·三模）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
(1)证明：．
(2)如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】题目主要考查正方形的性质及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
（1）根据正方形的性质及各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）①根据题意得： ，再由旋转的性质及各角之间的关系得出，利用圆内接四边形的判定得出点A、B、E、P四点共圆，确定，再由等腰直角三角形的性质即可得出结果；
②根据勾股定理得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，，确定，，再由勾股定理及求解．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①根据题意得： ，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·浙江·模拟）在三角形中，，．
(1)如图，为边上一点，将沿直线翻元至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为 ．
(2)如图，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻元得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长；
(3)如图，点是射线上的一个动点，将沿翻元，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（）由翻元可得，再利用勾股定理解答即可；
（）分和两种情况，分别画出图形，利用翻元的性质和勾股定理解答即可求解；
（）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻元的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是三角形，
∴，，
由翻元可得，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图中，当，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
由翻元得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图中，当时，
∵，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
（3）解：如图中，当点在线段上时，
∵四边形是三角形，
∴，
∴，
由翻元得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图中，当点在的延长线上时，同理可得，
∵，，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的的长为或．
【点睛】本题考查了三角形的性质，翻元的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
3．（2025·浙江·二模）如图1，正方形中，点是边上一点，连接，取中点，连接并延长交延长线于点．
(1)求证：．
(2)将绕点逆时针旋转至（如图2），连结，，，
①求的度数；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）由正方形的性质可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证；
（2）①连接，则，由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，推出，由正方形的性质可得，，证明，得出，求出，即可得解；②证明，得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∴，
在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵，且相似比为，由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．（2023·浙江嘉兴·一模）如图1，在正方形纸片中，点E是的中点．将沿元叠，使点A落在点F处，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，延长交于点G，求的值．
(3)如图3，将沿元叠，此时点C的对应点H恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图：连接，由元叠可得，再证明可得，再根据平行线性质即可得到；
（2）设，则正方形长为，再证，然后根据相似三角形对应边成比例计算出的长度，由、，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后代入计算即可；
（3）先证可得，故，进而得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故，从而可知四边形是平行四边形，又根据元叠可知，所以四边形是三角形，设，则，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出，进而计算出，最后求比即可．
【详解】（1）解：如图：连接，
根据元叠可知：，
∵E是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即.，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，则正方形长为，
∴，
由元叠可知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形平行四边形，
∴，
∴．
（3）解：设与于点M，与于点N，
由(2)可知四边形平行四边形，
∴，
∵E是中点，，
∴G是中点，
∴，
由元叠可知：，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由元叠可知： ，
∴四边形是三角形，
设，则，
由（2）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、元叠的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．
5．（2023·浙江嘉兴·二模）如图1，正方形中，点为边上的点，若，点为中点，连结．

(1)探索并证明与有怎样的位置和数量关系；
(2)转动至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)若，绕着点旋转过程中，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)仍然成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）延长交于，通过证明可得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，由可得，即；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，通过证明，得到，通过证明，可得，由，可得，从而即可得证；
（3）连接相交于点，根据点的轨迹得到点的轨迹，点的轨迹与交于点、，当点在点时，最小，当点在点时，最小，由正方形的性质可得，由可得，求出，由，，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
证明：如图所示，延长交于，
，四边形为正方形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，即，
，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
证明：延长至，使，连接，
，四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接相交于点，点G为BE中点，根据点的轨迹得到点的轨迹，点的轨迹与交于点、，当点在点时，最小，当点在点时，最小，如图所示，
，
令点所在圆的半径为，点所在圆的半径为，则，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题与圆的综合，熟练掌握正方形的性质、三角形的判定与性质，添减适当的辅助线是解题的关键．
题型8 几何新定义与阅读理解综合问题
1.先精读新定义，圈出关键词（边、角、位置关系、特殊条件），严格按定义翻译几何语言。2.从特殊到一般：先代入简单图形、特殊点验证定义，再推广到一般情况。 3.常结合特殊三角形、四边形、相似、平行、垂直等知识，把新定义转化为旧模型。 4.分类讨论是高频考点：按点的位置、图形形状、相似对应关系分情况画图分析。 5. 计算常用：勾股定理、相似比例、三角函数、面积法，注意取值范围与结果取舍。
1．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可元四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可元四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
(1)在平行四边形、三角形、菱形、正方形中，一定是“可元四边形”的有：__________．
(2)在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
【答案】(1)菱形、正方形；
(2)①的最小值是4；②；③或．
【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案；
（2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解；
②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解；
③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵平行四边形、三角形的对角线不一定平分平行四边形、三角形的角，
∴平行四边形、三角形不一定是“可元四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可元四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
（2）解：①当，时，与最小，
∴此时最小；
∵，对角线平分．
∴
∴，
∴
答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分
，
②
①×2－②得
∵，，，
又平分，平分
∴，
平分
∴
③如图2
过作，，
又∵平分
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
．
当时，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解．
2．（2024·浙江·模拟）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”．
概念理解
如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”；
A．是 B．不是
问题探究
(1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是______；
(2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由；
拓展探究：
(3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．

【答案】(1)；
(2)四边形为菱形，理由见解析；
(3)或．
【分析】（）根据定义及三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解；
（）先证四边形为平行四边形，再证为菱形即可；
（）分情况讨论，在由面积和差计算即可；
本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）根据定义可得：四边形是“等对邻直角四边形”，
∵“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（2）四边形为菱形，理由如下：
由（）得，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵等对邻直角四边形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形；
（3）∵，是的中点，
∴，，
∵为中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
如图，

∴以为顶点的四边形的面积为；
如图，
以为顶点的四边形的面积为．
3．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③三角形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：．
（3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰；
①如图2，当，连接，求的长；
②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积．
【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）①；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，错误理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形，菱形，正方形和三角形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即可；
（2）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论；
（3）①如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得 ，得出，，运用勾股定理即可求得答案．②分别过点A、D作于点M，于点N，连接，证明，得到，设，勾股定理求出的值，利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：②④；
（2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形，
，垂足为，如图，
，，，，
，，
．
（3）解：①解：如图，过点作，交的延长线于点，则，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，．
②如图3，，分别过点A、D作于点M，于点N，连接，
又∵等腰和等腰，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵点G、H分别是中点，连接，
∴，
在和中，由勾股定理得：
，
∴，即，
解得：，即，
∴．
4．（2023·浙江宁波·一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
(1)如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______；
(2)如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；
(3)如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．
【答案】(1)
(2)边的等级垂分线段的长度为
(3)四边形的一条等积垂分线段的长为
【分析】（1）过点A作，根据等边三角形性质求解即可．
（2）线段EF是垂直于BC边的等积垂分线段，设，作，构建方程即可得到答案．
（3）分两种情况，作，设或作，设，构建方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示为垂直于边的等积垂分线，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
（2）解：如图2中，线段是垂直于边的等级垂分线段，设．作于．
在中，∵，，，
∴，，
∵，
∴，
由题意：，
∴，
解得或（舍弃），
∴边的等积垂分线段的长度为．
（3）①如图3-1中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设．
在中，∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵，
∴，
由，可得，，
∴，
∵四边形的面积＝四边形的面积，的面积＝的面积，
∴的面积＝的面积，
∴，
解法（负根已经舍弃），
∴．
②如图3-2中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设，则，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴
由的面积＝的面积，
∴，
解得（负根已经舍弃），
∴．
综上所述，四边形的一条等积垂分线段的长为．
【点睛】本题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题是关键．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：90小时）
1．（2025·浙江杭州·一模）如图，中，D是上一点，于点E，F是的中点，于点G，与交于点H，若，平分，连接，．
(1)求证：；
(2)小亮同学经过探究发现：．请你帮助小亮同学证明这一结论．
(3)若，判定四边形是否为菱形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形AEGF是菱形，理由见解析
【分析】（1）依据条件得出，，依据F是的中点，，即可得到是线段的垂直平分线，进而得到，，利用即可判定；
（2）过点G作于P，判定，可得，由（1）可得，即可得到，依据，即可得出；
（3）依据，可得，进而得到，故，再根据四边形是平行四边形，即可得到四边形是菱形．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是的中点，，
，
，
是的中点，
是线段的垂直平分线，
，，
，
（）；
（2）证明：过点G作于P，
，
，
，
，
由（1）可得，
，
，
；
（3）解：四边形是菱形，
理由如下：，，
，
，
，
，
由（1）得，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的特征，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定及性质，菱形的判定及性质等；掌握全等三角形的判定及性质，菱形的判定方法，能添减恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2025·浙江温州·三模）如图1，在中，，点，，分别在边，，上，，．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，当点与点重合时，求证：是的中点．
(3)如图3，作交边于点（点在点的左侧），猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先利用等边对等角，得出，结合，可得，再利用三角形外角的性质，得出，结合，求出；
（2）当点与点重合时，先根据等角对等边证得，再证明，然后利用等角对等边证得，从而可得，即有是的中点；
（3）作的中点J，先利用直角三角形斜边上的中线的性质证得，再利用等边对等角，得出，结合已知可证得，再证明，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再证明，利用全等三角形的性质可得，从而可得，这样就有，从而可得，于是可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
又是的一个外角，
，
，，
，
，
；
（2）当点与点重合时，
∵，
∴，
又，
，，
，
，
，
即是的中点；
（3）作的中点J，
，，
，，
，
，
，
作，则，
，
，
又，
，
，
，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握上述知识点，并能运用这些知识点求解．
3．（2024·浙江衢州·一模）已知三角形纸片，
第①步：将纸片沿元叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结与相交于点O（如图1）．
第②步：将纸片继续沿元叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连结，与交于点H（如图2）．
(1)请猜想和的数量关系并证明你的结论．
(2)已知 ，求的值和的长．
【答案】(1)，见解答；
(2) ， ．
【分析】本题考查翻元变换，三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由第①步元叠知：，则有．由第②步元叠知：，即．又所以．得出．
（2）连结．根据勾股定理得出，则．由勾股定理求出，则，再根据，，得出．则则，，则．
【详解】（1）解：．
理由如下：由第①步元叠知：，
则有．
由第②步元叠知：，
即．
又所以．
∴．
（2）连结．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴ ，
∴，，
∴．
4．（2025·浙江丽水·二模）如图，在正方形中，E是上一点，延长使，连接，，，过点A作，交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)．
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，斜边中线的性质，以及三角形的外角性质可得到；
（3）连接，证明，推出是等边三角形，设，，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
在中，，即，
解得（舍去），
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：，
【类比探究】
（2）如图2，在三角形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或
【分析】（1）利用正方形性质和垂线的定义证明，利用全等三角形性质即可证明；
（2）根据题意证明点，点E，点B，点F四点共圆，利用圆周角定理得到，进而得到，再证明，利用相似三角形性质即可得到的值；
（3）由（2）知，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，根据E为直线上的动点，当是直角三角形，分以下情况讨论，当在线段上时，当或时，点不存在，当在延长线上时，设，则，结合勾股定理建立方程求解，即可解题；
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，，
，
；
（2）解：，，
，
点，点E，点B，点F四点共圆，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（3）解：由（2）知：，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
由（2）知，
，
，
又是直角三角形，
，
，
当在线段上时，
设，则，
，，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去），
当或时，点不存在，
当在延长线上时，设，则，
，，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形性质和判定，四点共圆，圆周角定理，相似三角形性质和判定，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 中考几何压轴---三角形与四边形综合
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测
近三年浙江中考几何压轴高频考点，常以动点、元叠、旋转为背景。 重点考查特殊三角形与特殊四边形的判定、性质，相似三角形为核心计算工具。 题型以存在性、最值、线段与面积计算为主，高频使用A 字、8 字、母子相似。 4. 综合性强，常结合相似、勾股、三角函数联用，步骤分要求严谨。 1. 仍作为几何压轴重点考查，题位与难度稳定。 2. 以动点探究为主，相似三角形的分类讨论成为必考难点。 3. 强化模型：将军饮马、胡不归、元叠 + 旋转 + 相似组合。 4. 更隐蔽的相似构造，强调识图、平行导角、比例转化能力。
重●难●要●点●剖●析
题型1 特殊三角形综合问题
熟练运用等腰、等边、直角三角形的边、角、三线合一性质。 角度计算常用：内角和、外角、互余、等腰等边对等角。 求线段优先用：相似三角形、勾股定理、面积法、锐角三角函数。 直角三角形中常用：母子相似、射影定理、斜高模型。 5. 等腰三角形必分类：按腰 / 底、顶角 / 底角分三种情况。6. 复杂比例问题：优先构造A 字、8 字相似快速列比例式。
1．（2026·浙江·模拟预测）如图1，中，，为中点，点在上（不与重合），过点作，垂足为，连结，过的中点．作，垂足为．
(1)若，当为中点时，求的长．
(2)求的值．
(3)如图2，连结，过点作交于点，连结，求证：．
2．（2026·浙江·一模）如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求．
(3)如图，过点作的垂线交延长线于点，作，垂足为，求的值．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接．
(1)直接判断与的位置关系
(2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．
【基础巩固】（1）如图1，在中，为钝角，相似分割线是边上的中线，，求的长．
【证明体验】（2）如图2，在中，是的全相似分割线，求证：．
【拓展延伸】（3）如图3，在中，是的全相似分割线，将绕点顺时针旋转到，当三点共线时，求线段的长．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，．
(1)如图1，求的面积．
(2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合．
①连接．求的面积．
②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值．
6．（2025·浙江杭州·二模）综合与实践
我们已经学过，在中，若，则三角形四边满足勾股定理：．
【知识应用】
（）如图，在中，于点D，若，则，请说明理由．
【拓展探究】
（）如图，在中，于点，点是的中点，连接．
求证：．
【拓展应用】
（）如图，在中，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），连接，，点为的外心，连接，求证：．
题型2 平行四边形综合问题
核心性质：对边平行且相等，对角线互相平分。 由平行直接构造A 字、8 字相似，是解题关键突破口。 判定常用：一组对边平行且相等；两组对边分别相等；对角线互相平分。 计算常用：相似比例、勾股定理、面积法、中点坐标公式。 5. 动点问题常结合存在性，用对角线中点重合快速列方程。
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】
（1）如图（1），在和中，点在上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长．
【拓展提高】
（3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在中，．
(1)求的长，
(2)把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
3．（2025·浙江·模拟）在中，，，点，为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转．

(1)如图1，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
(2)如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求线段的长；
(3)如图3，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长．
题型3三角形综合问题
核心性质：四个角为直角，对角线相等且互相平分。 三角形中出现平行、直角，极易构造相似三角形。 元叠问题必考：对应边相等、对应角相等，结合勾股定理计算。 判定思路：先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等。 5. 线段、面积计算常用：相似比例、射影模型、铅垂高法。
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在三角形中，，，点是边上的动点，连结，以为边作三角形（点在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点在的中点时，点在同一直线上，求的长；
(2)如图2，当时，求证：线段被平分．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，三角形中，．

(1)点E是边上一点，将沿直线翻元，得到．
①如图1，当平分时，求的长；
②如图2，连接，当时，求的面积；
(2)点E为射线上一动点，将三角形沿直线进行翻元，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长．
3．（2023·浙江温州·一模）如图1，在三角形中，，．，分别是，上的动点，且满足，是射线上一点，，设，．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当中有一条边与垂直时，求的长．
(3)如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结，以，为边作平行四边形．
①当所在直线经过点D时，求平行四边形的面积；
②当点G在的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．
4．（2025·浙江·二模）综合与实践
【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张三角形纸片，，．先将三角形ABCD对元，使BC与AD重合，元痕为MN，沿MN剪开得到两个三角形．三角形AMND保持不动，将三角形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为．
【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个三角形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；
（2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个三角形重叠部分四边形的面积；
【引申探究】（3）当点落在三角形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．
题型4 菱形综合问题
核心性质：四边相等，对角线互相垂直平分，平分内角。 对角线垂直→构造直角三角形 + 相似联用解题。 面积公式：面积 = 对角线除积的一半，常结合相似比例。 判定思路：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。 5. 角度、线段计算：三角函数、相似、勾股定理三者结合。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，AC平分，．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若，在不添减任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条与线段AG相等的线段（线段AG除外）．
2．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中，
(1)如图1，求的长．
(2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转．
当时，求的值．
如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值．
3．（2025·浙江·模拟预测）已知菱形，，，点E为射线上的一个动点，连结，
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，点F为上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连结，（i）的大小是否为定值？如果是定值，请求出定值，否则说明理由，（ⅱ）求的最小值．
4．（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，．
(1)如图1，求菱形的边长．
(2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，．
①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长．
②如图3，求的最小值．
题型5 正方形综合问题
核心性质：集三角形、菱形性质于一身，四边相等、四角直角、对角线垂直相等平分。 正方形是浙江压轴最爱：旋转 45°、半角模型、元叠、全等 + 相似必考。 常见模型：正方形内垂直线段相等、线段和定值、面积最值。 计算核心：相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形性质。 5. 动点、存在性、元叠旋转全覆盖，分类讨论是高频考点。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在正方形中，是上一点，于点于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作于点，连接，若点为中点，在不添减任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使得每个三角形的面积等于四边形面积的．
2．（2026·浙江·二模）如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
(1)求证：；
(2)若四边形的面积为，求的长；
(3)求的最小值．
3．（2026·安徽·模拟预测）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
(1)如图，连接，当时，求证：；
(2)过点作的垂线交射线于点，连接，．
（）如图，求证：；
（）如图，当时，求的值．
4．（2024·浙江·模拟）已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，．
(1)如图，如果，求线段的长
(2)过点E作，垂足为点G，与交于点H．
①求证：；
②设的中点为点O，如果，求的值．
题型6 动点与存在性综合问题
统一步骤：设点→表线段→列条件→解方程→检验。 动点形成相似：按对应角不同分类讨论，最易漏解。 特殊三角形存在：结合相似比例 + 勾股定理列式。 平行四边形存在：用中点公式 + 相似比例快速求解。 5. 数形结合，先画图标位置，利用平行→相似简化计算。
1．（2023·浙江金华·三模）如图，在三角形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．

(1)当点Q在线段上时，求证：．
(2)当时，求的面积．
(3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
2．（2024·浙江一模）如图，在菱形中，已知，对角线长12．

(1)求菱形的圆长；
(2)动点P从点A出发，沿的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动地址为t（）
①当恰好被平分时，试求t的值；
②连接，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，恰好是一个直角三角形？
3．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿元线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动地址为t秒．
(1)用t表示线段的长度；
(2)连接，求的值；
(3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值；
(4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．
题型7 元叠、旋转与几何变换综合
元叠 / 旋转核心：对应边相等、对应角相等，常构造相似三角形。 旋转后出现公共角、等角，立刻判断AA 相似。 元叠出现直角、平行线，优先用A 字、8 字、射影相似。 求线段长套路：设未知数→相似列比例→勾股定理验证。 5. 几何变换必考：全等 + 相似联用，是浙江压轴固定套路。
1．（2025·湖南邵阳·三模）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
(1)证明：．
(2)如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
2．（2024·浙江·模拟）在三角形中，，．
(1)如图，为边上一点，将沿直线翻元至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为 ．
(2)如图，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻元得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长；
(3)如图，点是射线上的一个动点，将沿翻元，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长．
3．（2025·浙江·二模）如图1，正方形中，点是边上一点，连接，取中点，连接并延长交延长线于点．
(1)求证：．
(2)将绕点逆时针旋转至（如图2），连结，，，
①求的度数；
②求证：．
4．（2023·浙江嘉兴·一模）如图1，在正方形纸片中，点E是的中点．将沿元叠，使点A落在点F处，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，延长交于点G，求的值．
(3)如图3，将沿元叠，此时点C的对应点H恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，求的值．
5．（2023·浙江嘉兴·二模）如图1，正方形中，点为边上的点，若，点为中点，连结．

(1)探索并证明与有怎样的位置和数量关系；
(2)转动至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)若，绕着点旋转过程中，请直接写出的取值范围．
题型8 几何新定义与阅读理解综合问题
1.先精读新定义，圈出关键词（边、角、位置关系、特殊条件），严格按定义翻译几何语言。2.从特殊到一般：先代入简单图形、特殊点验证定义，再推广到一般情况。 3.常结合特殊三角形、四边形、相似、平行、垂直等知识，把新定义转化为旧模型。 4.分类讨论是高频考点：按点的位置、图形形状、相似对应关系分情况画图分析。 5. 计算常用：勾股定理、相似比例、三角函数、面积法，注意取值范围与结果取舍。
1．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可元四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可元四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
(1)在平行四边形、三角形、菱形、正方形中，一定是“可元四边形”的有：__________．
(2)在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
2．（2024·浙江·模拟）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”．
概念理解
如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”；
A．是 B．不是
问题探究
(1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是______；
(2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由；
拓展探究：
(3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．

3．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③三角形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：．
（3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰；
①如图2，当，连接，求的长；
②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积．
4．（2023·浙江宁波·一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
(1)如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______；
(2)如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；
(3)如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：90小时）
1．（2025·浙江杭州·一模）如图，中，D是上一点，于点E，F是的中点，于点G，与交于点H，若，平分，连接，．
(1)求证：；
(2)小亮同学经过探究发现：．请你帮助小亮同学证明这一结论．
(3)若，判定四边形是否为菱形，并说明理由．
2．（2025·浙江温州·三模）如图1，在中，，点，，分别在边，，上，，．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，当点与点重合时，求证：是的中点．
(3)如图3，作交边于点（点在点的左侧），猜想与的数量关系，并说明理由．
3．（2024·浙江衢州·一模）已知三角形纸片，
第①步：将纸片沿元叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结与相交于点O（如图1）．
第②步：将纸片继续沿元叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连结，与交于点H（如图2）．
(1)请猜想和的数量关系并证明你的结论．
(2)已知 ，求的值和的长．
4．（2025·浙江丽水·二模）如图，在正方形中，E是上一点，延长使，连接，，，过点A作，交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：，
【类比探究】
（2）如图2，在三角形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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