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2025-2026学年第二学期九年级数学第一次形成性评价试卷
满分 120分，考试用时 120分钟
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．某校九年级 5个班一学年完成数学实践作业的次数分别为 7、8、9、9、10．这组数据的众数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．如图，几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4． 月 日，西安至延安高铁迎来开通“满月”．自 年 月 日开通运营以来，西延高铁日均开行动车组列车
列，节假日及客流高峰期最多开行 列，累计发送旅客 万人次．将数据“ 万”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数 ， 满足 ，则点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图， 是等腰直角三角形 斜边 上的中线， 于点 E，则图中等腰直角三角形的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 里远的城市，所
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需时间比规定时间多 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 天，已知快马的速度是慢马的 倍，求规
定时间．设规定时间为 天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，现给出以下结论：① ；②
③ ；④ （ 为实数）；⑤ ．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在 中， ，点 E为此三角形的重心，连接 并延长交 于点 D，过
点 E作 于点 F，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，正方形 的顶点 在 轴上，点 ，点 在反比例函数 图象上．若直线 交 轴负半
轴于点 ，且 ，则直线 的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 5 小体，每小题 3 分，共 15 分）
11．若点 在抛物线 上，则 _______．
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12．方程 的解是_________．
13．如图，将 沿 方向平移得到 ， 交 于点M，若 ，则 ________
．
14．如图，直线 ，如果 ， 那么 的长是___________．
15．如图，正方形 中， ， 是 上一点，且 ， 是 上一动点，若将 沿 对折后，
点 落在点 处，则点 到点 的最短距离为______．
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分
16．解方程组： ．
17．（1）计算： ；
（2）已知一次函数 的图象经过点 与点 ，求该一次函数的表达式．
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18．某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽 与桥长 均为 米，在距离 点 米的 处，测得桥面到
桥拱的距离 为 米，以桥拱顶点 为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图 ，桥面上方有 根
高度均为 米的支柱 ，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到
桥面距离为 米．
(1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
(2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图 ），请你求出可以在竖直方向安装的
灯带中最短的灯带长度．
四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分
19．如图，射线 交一圆于点 ，射线 交该圆于点 ，且 ．
(1)求证：
(2)利用尺规作图，分别作线段 的垂直平分线与 的平分线，两线交于点 （保留作图痕迹，不写作法）求
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证： 平分
20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科
普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为 A，B，C，D
四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若该校共有 1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为 B等级的学生人数；
(3)学校在航天知识科普竞赛成绩为 A等级中的甲、乙、丙、丁这 4名同学中，随机抽取 2人担任校园航天文化节
的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
21．某商品的进价为每件 10元，售价为每件 16元，每个月可卖出 100件；如果每件商品的售价每上涨 1元，则每
个月就会少卖出 10件，但每件售价不能高于 20元，设每件商品的售价上涨 x元（x为整数），每个月的销售利润为
元．
(1)求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是 550元？
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五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14 分，共 27 分。
22．如图， 为 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ，点 在 上， 交 于点 ，且
， 于点 ，连接 ．
(1)请判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ， ，求 的半径．
23．已知一次函数 与 x 轴交于点 A， 与反比例函数 在第一、三象限分别交于 C、B 两点，其中
，点 C 的横坐标为 2．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
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(2)将直线 向左平移 个单位长度得直线 ， 与 在第一象限交于点 E、在第三象限交于点 F， 求 的
面积：
(3)当 时，请直接写出符合条件的 x 的取值范围。
答案第 1页，共 2页2025-2026学年第二学期九年级数学第一次形成性评价试卷
1-15 题每道题 3分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B A C A A A C
11．
12．
13．
14．14
15．
16．（7分）解： ，
① ②，得： ，
解得 ，
将 代入①得： ，
解得 ，
所以方程组的解为 ．
17．（7分）解：（1）
；（3分）
（2）将点 与点 代入 得， ，
解得 ，
所以一次函数的表达式为 ．（4分）
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18．（7分）（1）解：①由题意得 ， ，右边钢缆的抛物线顶点为 ，
设右边钢缆的抛物线表达式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②由题意得 ， ，左边钢缆的抛物线顶点为 ，
设左边钢缆的抛物线表达式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（3分）
（2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为 ，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
设灯带长度为 ，则 ，
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ．
答：灯带长度的最小值是 米．（4分）
19．（9分）（1）证明：如图，作 ， 于 Q，连接 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
，
．
，
，
，即 ；（4分）
（2）解：作图如下：
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证明： ，
，
，
是 的垂直平分线，
，
．
平分 ．（5分）
20．（9分）（1）解：抽取总人数为 （名），
等级 D的人数为 （名），
补全条形统计图如图所示：
（3分）
（2）解： （名）
答：竞赛成绩为 B等级的学生人数为 600名；（3分）
（3）解：树状图如下：
共有 12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有 2种，
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∴P（甲乙两人同时被选中） ．（3分）
21．（9分）（1）解：根据题意可得单件利润为 元，销量为 件，
可得函数关系式为 ，
每件售价不能高于 20元，
，即 且 为整数，
与 的函数关系式为 （ 且 为整数）；（3分）
（2）解： ，
因为 ，
所以当 时，有最大值 640，此时售价为 元，（3分）
答：每件商品的售价为 元时，每个月可获得最大利润，最大利润是 640元；
（3）解：当 时，可得 ，
解得 ，
∵ 且 为整数，
∴ 均不符合自变量的取值范围，
∴不存在符合条件的售价，
答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是 550元．（3分）
22．（13分）（1）解： ，理由如下，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ；（3分）
（2）证明：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；（4分）
（3）解：连接 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为 ．（6分）
23．（14分）（1）解：∵ ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入，得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；（3分）
（2）解：∵直线 向左平移 个单位长度得直线 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ ， ，
设直线 与 x轴交于点 G，
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当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∴
；（5分）
（3）解：联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ ，
观察图象可知：当 或 时， ；当 或 时， ，
∴当 时，x 的取值范围为 或 ．（6分）
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