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高2028届数学学科高一下4月月考
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的)
1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,B=45°，C=75°，b=√2，则边a的长为()
A.5
B.5
c.6+2
D.1
2
2.己知向量a=(2,-1),6=(-3,t),a1,则t=()
A.-6
B.2
C.1
D.0
3.如图，在△ABC中，设AB=a,AC=万，2BD=3DC,则AD=(）
A.
2
B.+a
a+36
2
C.
5
D.d
4.已知△ABC的三边满足a:b:c=5:11:13,则△ABC()
A.一定是钝角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是锐角三角形
D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5.己知O,N,P在△ABC所在平面内，满足OA=O=|OC,NA+NB+NC=0,且
PAPB=PBPC=PCPA,则点O,N,P依次是△ABC的()
A.重心，外心，垂心
B.重心，外心，内心
C.外心，重心，内心
D.外心，重心，垂心
6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.己知bc0sC+cc0sB=2 acos B,△ABC
的面积为3V
,则a2+c2的最小值为()
A.35
B.3
C.6
D.65
7.在a4BC中，AP=aB+AC,若B亚+24.A+inCP元-0，则c0sC=
A.is
n.g
c.g
D.I
8.如图，设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,√5(acosC+ccosA)=2 bsin B,且
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∠CB=号若点D是△MBC外一点，Dc=1DA=2,则四边形ABcD面积可能为（)
B
A.9
B
c.号
D.5
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.关于平面向量a,b,c,下列说法中正确的是()
A.=2,=3,则2-3≤a+≤2+3
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
c.若向量a与同向，且>，则a>i
D.若ab=ac,则i=c
10.己知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2mAB+nAC,m,n∈R,则下列说法正确的
是()
1
A.若=”2，则点P是边BC的中点
点卫是边BC上靠近B点的三等分点，则m三】
C.若点P在BC边的中线上，且2m+n=号，则点P是△1BC的重心
D.若2m+n=2'
则S,Bc=2SA5C
1已知△18C的面积为宁，角4BC的对边分别是abc,m8=平品，c-6=ab,
则()
A.A=B+月
B.C=2B
C.c=2
D.BC边的中线长为V6-3W迈
2
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量ā=（V3,1),b=1,3),则a与i的夹角为
第2页共4页参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A D C A B
8.【详解】因为 ，
所以由正弦定理，得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ， 所以 ，故
四边形 面积等于
，
又 所以 ，所以面积取值范围为
.
二、多选题
题号 9 10 11
答案 AB BC ABD
11.因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，由 可知 ，即 为钝角，
又 ，所以 ，
又 为锐角，所以 ，故 A正确；
因为 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
由和差化积公式可得 ，
即 ，即 ，
由 可得 ，所以 或 （舍去），
即 ，故 B正确；
由 AB可知， ，所以 ，故 .
因为 ，所以 .
由正弦定理， ，即 ，
解得 ，所以 ，故 C错误；
由 可知 ，
，
设 边的中线长为 ，则
，
所以 ，故 D正确.
三、填空题
12. 30° 13.1 14.
13.【详解】令 ，过 作 的垂线 ，在 上任取一点 ，则 ，过
作 的垂线 ，在 上任取一点 ，则 ，则 ．
故答案为：1
14.【详解】 ，则 ，
故 ，
由 、 、 三点共线，可得 ，解得 ；
则 ，
由 ，则 ，
故 ，
则 ，故
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
故 的最小值为 .
四、解答题
15. （1）24海里 （2） 海里
【详解】（1）在 中， ， ，由正弦定理得
． 即 A处与 D处之间的距离为 24海里．
（2）在 中，由余弦定理得 ，
解得 ．即 C处与 D处的距离为 海里。
16.（1）D（-1，-2） （2）k=2
【详解】（1）因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 ，
所以点 D的坐标为 .
（2）因为 为 的中点， ，所以 ，
由 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
17.（1） （2）
【详解】（（1）因为四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 所以 .
（2）因为 为 中点，四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 ，所以 .
设 ，
则 ，
，
因为 共线， 共线，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 .
18. (1) （2） (3)
【详解】（1） ，即 ，
由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
（2）因为 ，所以
所以周长
因为 ，所以
当 时，周长取得最大值，此时 .
（3）设 外接圆半径为 ，则 ，
且由正弦定理 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
由 为锐角三角形知， ， ，令 ，
则 ，
∵ ，
∴ ．
19.(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) ，
【详解】（1）在 中，
因为 点为布洛卡点，所以
所以
所以
（2）由 ，则 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，解得 ①，
在 中， ，
，
由正弦定理得， ，得 ②，
联立①②得 ，即 ．
在 中，由正弦定理有 ，
与 两边相乘得 ；
（3）由题意有 ，
则
，
所以 ，
又因为 ，（当且仅当 时，等号成立），解得 ，
又由三角形边的关系知 ，则 ，即 ，
，整理得 ，解得 ，即 ，
而 时， 单调递减，
，
所以 的值域为 ．

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