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1.3~1.5阶段精练卷
用时:60分钟 总分:100分 得分:
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
1.(2024·常州中考)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按如图所示摆放，直尺边缘的交点 P 在∠AOB的平分线上，则( ).
A. d 与d 一定相等 B. d 与d 一定不相等
C. l 与l 一定相等 D. l 与l 一定不相等
2.(2024·凉山州中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,DE 垂直平分AB 交BC 于点D,若△ACD 的周长为50cm,则AC+BC=( ).
A. 25cm B. 45cm C. 50cm D. 55cm
3.(2025·山西晋中介休期末)如图，三座商场分别坐落在A，B，C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在( ).
A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高所在直线的交点
C.三角形三个内角的平分线的交点 D.三角形三条边的垂直平分线的交点
4.(2025·辽宁大连金州区期中)如图,在△ABC中,∠B=35°,∠C=50°,分别以点A,C为圆心,大于 AC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交 BC于点 P，连接AP，则∠BAP 的度数是( ).
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
5.(2025·安徽阜阳颍州区期末)如图,在△ABC中,∠ABC和∠BAC的平分线交于点O,AB=6cm,BC=9cm,△ABO 的面积为9cm ,则△BOC 的面积为( ).
A. B. C. D.
6.如图,在△ABC 中,∠ABC,∠FCA 的平分线BP,CP 交于点 P,延长BA,BC,PM⊥BE 于点M,PN⊥BF 于点N,则下列结论:①AP 平分∠EAC;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠BAC=2∠BPC; 其中正确结论的个数是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
7.(2024·镇江中考)如图,△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点D,连接 BD.若AC=8,CD=5,则BD= .
8.如图,在△ABC中,∠ABC=48°,三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E,则∠EBF= .
9.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,BD=CD. AB=6,BC=8,P 是BC上一个动点,过点 P 分别作AC 和BD 的垂线,垂足为E,F,则 PE+PF 的值是 .
10.(2025·重庆沙坪坝区期末)如图,在△ABC中,EF 垂直平分AC,交AC 于点F,交BC 于点E,AD⊥BC 于点D,且BD=DE.若AF=6,CD=10,则△ABC 的周长为 .
11.(2025·成都中考)如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧；再以点 C为圆心，以BC 的长为半径作弧，两弧在 AC 上方交于点D，连接 BD，则 BD 的长为 .
三、解答题(本大题共5 小题，共56分)
12.(10分)如图,BD 是∠ABC 的平分线,AB=BC,点 P 在BD 上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.
13.(10分)如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线MN 交AB 于点E,交AC 于点D,且AC=15cm,△BCD 的周长等于25cm.
(1)求 BC 的长;
(2)若∠A=36°,AB=AC,求证:BC=BD.
14.(10分)(2025·浙江宁波江北区期中)如图,在 中，边AB 的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E,边AC 的垂直平分线分别交AC,BC于点N,D,ME,ND 的延长线交于点O.
(1)若BC=12,求 的周长；
(2)试判断点O 是否在BC 的垂直平分线上，并说明理由；
(3)若求 的度数.
15.(12分) (2024·江苏无锡江阴期中)如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫作勾股数组.我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个.他提出:当m,n为正整数,且m>n时, 为一组勾股数，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式.
(1)除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数 ， ；
(2)若令 请你证明x，y，z为一组勾股数.
16.(14 分)图(1)是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE.
(1)如图(2)，将仪器放置在 上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF 画一条射线AP,交 BC于点P. AP 是 的平分线吗 请判断并说明理由.
(2)如图(3),在(1)的条件下,过点 P 作 于点Q，若 的面积是60,求 AB 的长.
1. A [解析]根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知当点 P 在∠AOB 的平分线上时，d 与d 一定相等.故选 A.
2. C [解析]∵DE 垂直平分AB 交BC 于点D,∴AD=DB.∵△ACD 的周长为50cm,∴AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=50cm.故选 C.
3. D [解析]∵该地铁站到三座商场的距离相等，
∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处.故选 D.
4. C [解析]在△ABC 中,∠B=35°,∠C=50°,则∠BAC=180°-∠B-∠C=95°.
根据线段垂直平分线的性质，得 PA=PC，
∴∠PAC=∠C=50°,
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=95°-50°=45°.故选 C.
5. A [解析]过点O作OD⊥BC于点D,OE⊥AB 于点 E,如图.
∵BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB,
∴OD=OE,
∴S△BOC : S△AOB=BC:AB.
∵AB=6cm,BC=9cm,△ABO 的面积为 9cm ,
故选 A.
6. D [解析]①如图,过点 P 作PD⊥AC 于点 D.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠FCA,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PN=PD,∴PM=PD.
∵PM⊥AE,PD⊥AC,∴AP平分∠EAC,故①正确;
②∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,∴∠ABC+∠MPN=180°.
在Rt△PAM和Rt△PAD 中,
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),
∴∠APM=∠APD.
同理Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),
∴∠CPD=∠CPN,
∴∠MPN=2∠APC,
∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正确；
③∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠FCA,∴∠ACF=∠ABC+∠BAC=2∠PCF,∠PCF= ∠ABC+∠BPC,∴∠BAC=2∠BPC,故③正确;
④由②可知 Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴S△APD=S△MAP,S△CPD=S△NCP,∴S△PAC=S△MAP+S△NCP,故④正确.故选 D.
7.3
8.24°[解析]过点 E 作EM⊥AB,EN⊥BC,EO⊥AC,如图所示.∵∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E,∴EM=EO,EN=EO,
∴EM=EN.
∵EM⊥AB,EN⊥BC,
∴BE平分∠ABC,
9.4.8 [解析]如图,连接DP.在 Rt△ABC中,AB=6,BC=8, 100,∴AC=10.
∵D 是AC 的中点,BD=CD,
∴△BDC 的面积=△ABD 的面积 的面积=
∵PE⊥CD,PF⊥BD,且△BDP 的面积+△CDP 的面积=△BDC 的面积,
10.32 [解析]∵EF 垂直平分AC,AF=6,CD=10,
∴AE=CE,AC=2AF=12,
∴设DE=x,则BD=x,CE=10-x.
∵AD⊥BC,BD=DE,∴AB=AE,
∴AB=CE=10-x,∴△ABC 的周长为AB+BC+AC=(10-x)+(x+10)+12=32.
11. [解析]如图,连接 AD,CD,设 AC 与 BD 交于点O,
由作图可知,AD=AB,CD=CB,
∴AC垂直平分BD,即AC⊥BD,OB=OD.
∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,
12.∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD 和△CBD 中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.
∵点 P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
13.(1)∵MN 是AB 的垂直平分线,∴AD=BD.
∵AC=15cm,△BCD 的周长等于25cm,
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25cm,
∴BC=10cm.
(2)∵∠A=36°,AB=AC,
∵BD=AD,∴∠ABD=∠A=36°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,
∴∠C=∠BDC,∴BC=BD.
14.(1)∵边AB 的垂直平分线分别交AB,BC于点M,E,边AC 的垂直平分线分别交AC,BC于点N,D,
∴AE=BE,AD=CD,∴△ADE 的周长=AD+DE+AE=CD+DE+BE=BC=12.
(2)点O在BC 的垂直平分线上.理由如下：
连接AO,BO,CO,如图所示.
∵DN,EM分别是AC,AB 的垂直平分线,
∴OA=OC,OA=OB,∴OB=OC,
∴点O在BC 的垂直平分线上.
(3)∵OM,ON 分别垂直平分AC,AB,AC,
∴∠BOM=∠AOM,∠CON=∠AON.
∵OM⊥AB,ON⊥AC,∴∠AMO=∠ANO=90°.
∵∠BAC=110°,∴∠MON=360°-90°-90°-110°=70°,∴∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2∠MON=140°.
15.(1)6,8,10 5,12,13(答案不唯一)
z是一组勾股数.
16.(1)AP 是∠BAC 的平分线.理由如下:
在△ADF 和△AEF 中,
∴△ADF≌△AEF(SSS),
∴∠DAF=∠EAF,∴AP 平分∠BAC.
(2)如图,过点 P 作PG⊥AC 于点G.
∵AP 平分∠BAC,PQ⊥AB,∴PG=PQ=6.

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