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营口市第一中学 质量检测考试
九年级 数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：120 分）2026.3 月
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．）
1．据报道，清华大学研究团队研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦
耳 次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据
“ ”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个由大小相同的 5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A．82 B．84 C．85 D．87
6．如图，点 A，B，C在 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小红想将一张矩形纸片沿 剪下后得到一个 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．不等式组 的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是
（ ）
（13）
A. B. C. D.
二、填空题：本题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11.如果不等式组 的解集是 ，那么 的取值范围是 ．
12.因式分解 ．
13.在数学实践活动中，某同学用一张如图 1 所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇
形，围成一个圆锥模型（如图 2 所示），若扇形的圆心角为 ，圆锥的底面半径为 ，则
此圆锥的母线长为 ．
14.在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成 米的地铁轨道安装工作，安装 3 天
后改进了安装技术，每天比原计划多安装 米，结果提前 6 天完成了安装任务，设施工队原
计划每天安装 米，根据题意可列方程为 ．
15.如图，在 中， ，将绕△ABC顶点 逆时针旋转一周得到 ，
是 的中点， 是 的中点，连接 ，若 ， ，在旋转的过程
中线段 的最大值是
三.简答题（本大题共 8 题，共 75 分)
16.（1）(本题 5 分）计算：
(2) (本题 5 分）先化简，再求值： ，其中 ．
17.（8 分）为了节能减排，工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买 4 盏甲型节能灯和 5 盏
乙型节能灯需要 64 元；若购买 6 盏甲型节能灯和 2 盏乙型节能灯需要 52 元．
（1）求 1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价各是多少元；
（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共 50 盏，总费用不超过 360 元，那么该工厂
最少可以购买多少盏甲型节能灯？
18.（本题 8分）.某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动
时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间 x（分钟）分
为五个小组：
A： ；B： ；C： ；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生 3000 人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于
60 分钟的学生有多少人？
(3)已知 A 组有 1 名男生和 2 名女生，从中随机抽取 2 名学生，请用列表法或画树状图的方
法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率．
19.（本题 8分）
.如图，高楼顶部有一信号发射塔（ ），在矩形建筑物 的 两点测得该塔顶
端 F 的仰角分别为 ，矩形建筑物高度 为 22 米.求该信号发射塔顶端到地面的距
离 .（精确到 1m）（参考数据： ）
20.（本题 8分）随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空
地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知 ， ，阴影部分为车位，需
要硬化，其余部分均是宽度为 的车道．已知硬化的面积为 ．
(1)求车道的宽度 的值；
(2)该停车场共有 个车位，据调查分析，当每个车位日租金为 元时，可全部停满；若每
个车位的日租金每上涨 1 元，就会少租出 2 个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场
日租金收入最高，且最高日租金是多少元？
21.（本题 8 分）如图， 为 的直径， 为 上一点，连接 ， ， 为 延
长线上一点，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ，
，求直径 的长．
22.（本题 12 分）在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=α，点 P 是平面内不与点 A，C 重合的
任意一点．连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，连接 AD，BD，
CP．
（1）如图 1，当 α=60°，点 P 在△ABC 内部时，探索 BD 与 CP 之间的数量关系，并
说明理由；
（2）如图 2，当 α=90°时，求 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数；
（3）当 α=90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，当点 C，
P，D 在同一直线上时，求 的值
23. （本题 13 分）定义：平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b），点 Q（c，d），若 c＝ka，
d＝﹣kb，其中 k 为常数，且 k≠0，则称点 Q 是点 P 的“k 级变换点”．例如，
点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2 级变换点”．
（1）函数 y 的图象上是否存在点（1，2）的“k 级变换点”？若存在，求出 k 的
值；若不存在，说明理由；
（2）动点 A（t， t﹣2）与其“k 级变换点”B 分别在直线 l1，l2上，在 l1，l2上分
别取点（m2，y1），（m2，y2）．若 k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于 x 的二次函数 y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1
级变换点”都在直线 y＝﹣x+5 上，求 n 的取值范围．
1.B2C.3.B4A.5.B6.B7.C8.B9.B10.C
11. 12. 13.18 14. 15.6
16.(1)
(2) ，
17.【小问 1 详解】
解：设 1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价分别为 元、 元，
由题意，得
，
解得 ，
答：1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯 售价分别为 6 元和 8 元．
【小问 2 详解】
解：设购买 盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯 盏，
由题意，得
解得， ，
答：该工厂最少可以购买 20 盏甲型节能灯．
18.（1）解：本次调查的样本容量是： ，
则 组的人数 ，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）解： （人），
该校学生每天校外体育活动时间不少于 60 分钟的学生约有 1200 人．
（3）解：画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为 ，
故答案为： ．
19.如图，作 ，设 m，则 m
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，（6 分）
．（8 分）
20.（1）解：由题意，阴影部分车位拼接后形成的矩形长为 米，宽为 米，
，
展开化简为： ，
因式分解得： ，
解得 或 (舍去)；
故车道的宽度 的值为 ．（4 分）
（2）解：设每个车位日租金上涨 元，停车场日租金收入为 元，
则每个车位的日租金为 元，租出的车位数量为 个，
，
，
该二次函数开口向下，
所以当 时， 有最大值， (元)．
故每个车位日租金上涨 元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为 元．（4 分）
21.（1）证明：如图，连接 ，
为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
为半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直径 ．
22.（1）解：（1）BD=CP．
（2） ；45°．
（3）2+ 或 2- ．
【解析】
解：（1）BD=CP，理由如下：
如图，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O．
∵CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC 是等边三角形．
∴CA=BA．
∵∠PAD=∠CAB=60°，
∴∠CAP=∠BAD，
∵CA=BA，PA=DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC=BD，∠ACP=∠ABD，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠BEO=∠CAO=60°，
∴ ．
∴BD=CP．
（2）如图，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E．
∴∠PAD=∠CAB=45°，
∴∠PAC=∠DAB，
∵ ，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA=∠DBA，
∴ ，
∵∠EOC=∠AOB，
∴∠CEO=∠OAB=45°，
∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45°．
（3）如图，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H，
∵CE=EA，CF=FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC=45°，
∵∠PAO=45°，
∴∠PAO=∠OFH，
∵∠POA=∠FOH，
∴∠H=∠APO，
∵∠APC=90°，EA=EC，
∴PE=EA=EC，
∴∠EPA=∠EAP=∠BAH，
∴∠H=∠BAH，
∴BH=BA，
∵∠ADP=∠BDC=45°，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA=∠DBC=22.5°，
∵∠ADB=∠ACB=90°，
∴A，D，C，B 四点共圆，
∠DAC=∠DBC=22.5°，∠DCA=∠ABD=22.5°，
∴∠DAC=∠DCA=22.5°，
∴DA=DC，
设 AD=a,则 DC=AD=a, ，
∴ ；
如图，当点 P 在线段 CD 上时，
同法可证 DA=DO，
设 AD=a,则 CD=AD=a, ，
∴ ，
∴ ．
综上， =2+ 或 2- ．
23.（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k 级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝± ；
（2）证明：由题意得，点 B 的坐标为：（kt， kt+2k），
由点 A 的坐标知，点 A 在直线 y x﹣2 上，同理可得，点 B 在直线 y x+2k，
则 y1 m2﹣2，y2 m2+2k，
则 y1﹣y2 m2﹣2 m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即 y1﹣y2≥2；
（3）解：设在二次函数上的点为点 A、B，
设点 A（s，t），则其“1 级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入 y＝﹣x+5 得：﹣t＝﹣s+5，
则 t＝s﹣5，
即点 A 在直线 y＝x﹣5 上，
同理可得，点 B 在直线 y＝x﹣5 上，
即点 A、B 所在的直线为 y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和 x 轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为 x＝2，
当 n＞0 时，
抛物线和直线 AB 的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点 A、B 必然有一个点为（5，0），设该点为点 B，另
外一个点为点 A，如图，
联立直线 AB 和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点 A 的横坐标为 x，则 x+5 ，
∵x≥0，
则 5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线 AB 和抛物线在 x≥0 时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝
（6n﹣1）2＞0，
故 n ，
即 0＜n≤1 且 n ；
当 n＜0 时，
当 x≥0 时，直线 AB 不可能和抛物线在 x≥0 时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1 且 n≠1/6．
营口市第一中学九年级质量检测
九年级数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效
17.（8 分） 19.（8 分）
班 级：
条形码粘贴处
姓 名：
准考证号：
缺考标记,考生禁填,由监考老师填涂
1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写清楚并认真核准条形码上的姓名，准考证号、
座位号及类型名称。
2.选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书
写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题区域内作答，超过答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题
卷上答题无效。
第 I部分 客观题（共 30 分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.（8 分）
20.（8 分）
第 II 部分 主观题（共 90 分）
填空题（共 15 分）
11. 12.
13. 14.
15.
解答题（共 75 分）
16. （10 分）
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21.（8 分） 22（12 分）. 23.（13 分）

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