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【原创期中临考必刷卷】
2026春人教八下数学第二十章检测卷
时间：100分钟　满分：120分
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，AC=15，则BC的长为(　　)
A． 8　　B． 9　　C． 10　　D． 11
1. B　【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，AC=15，根据勾股定理，得BC2=AC2－AB2=152－122=81，∴BC=9.
2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(　　)
A． 三角形内角和定理　　B． 三角形全等
C． 勾股定理　　D． 轴对称图形
第2题图　
2. C
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为(－2，6)，则点P到原点O的距离为(　　)
A． 　　B． 2　　C． 3　　D． 4
第3题图
3. B　【解析】由题图可得，OP==2，即点P到原点O的距离为2．
4. 在如图所示的勾股树中，所有四边形均为正方形，若正方形A，B，C的面积分别为4，10，6，则正方形D的边长为(　　)
A． 　　B． 2　　C． 2　　D． 20
第4题图　　　
4. C　【解析】根据勾股定理，得S正方形A＋S正方形B=S正方形D－S正方形C，即S正方形D=S正方形A＋S正方形B＋S正方形C=4＋10＋6=20，∴正方形D的边长为=2．
5. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为(　　)
A． 　　B． 13
C． 或13　　D． 14
5. B　【解析】分两种情况讨论：①当a为最长边时，a==13，13是正整数，符合题意；②当12为最长边时，a==，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意，∴a的值为13.
6. 某游乐场“丛林穿越”项目的示意图如图所示，项目开始前弹簧绳AB处于水平状态，当人行进到正中间位置C处时，弹簧绳总长度伸长了0.2米，已知CD=0.9米，设弹簧绳水平状态时的长度AB为x米，则可列方程为(　　)
A． x2＋0.92=(x＋0.2)2　　B． ()2＋0.92=()2
C． x2－0.92=(x＋0.2)2　　D． ()2－0.92=()2
第6题图
6. B　【解析】根据题意，得AB=x米，AC＋BC=(x＋0.2)米，易知D为AB的中点，CD⊥AB，∴AD=AB=米，AC=BC=米，在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＋CD2=AC2，∴可列方程为()2＋0.92=()2.
7. 以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是(　　)
A． 2，4，6　　B． 4，6，8　　C． 6，8，10　　D． 8，10，12
7. C　【解析】根据三角形的三边关系，三边长分别为2，4，6，无法构成三角形，故A选项不符合题意；∵42＋62≠82，82＋102≠122，∴B，D选项不符合题意；∵62＋82=102，∴能构成直角三角形，故C选项符合题意．
8. 如图，小颖和小聪同时从学校放学回家，已知小颖家距离学校6 km，小聪家距离学校8 km，且他们两家相距10 km，若小颖家在学校的北偏西60°方向，则小聪家在学校的(　　)
A． 北偏东30°　　B． 北偏东60°　　C． 南偏东30°　　D． 南偏西60°
第8题图　　
　　
第9题图
8. A　【解析】根据题意可知OA=6 km，OB=8 km，AB=10 km，∵62＋82=102，∴△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，∵小颖家在学校的北偏西60°方向，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=90°－60°=30°，∴小聪家的方位为北偏东30°．
9. 如图，在2×4的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，点A，B，C，E均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交CE所在的格线于点D，则CD的长为(　　)
A． 　　B． 　　C． 2－1　　D． 4－2
9. D　【解析】如解图，连接AD，由题意知AD=AB=4，在Rt△ADE中，根据勾股定理，得ED===2，∴CD=EC－ED=4－2．
第9题解图
10. 如图是一个放置在水平地面上的圆柱体盒子，已知该圆柱底面周长为30 cm，高为16 cm，一只蚂蚁从距盒底8 cm的点M处沿着该圆柱体盒子的表面爬行到位于正对面上部的点N处，则该蚂蚁爬行的最短路程为(　　)
A． 15 cm　　B． 17 cm　　C． 18 cm　　D． 20 cm
第10题图　
10. B　【解析】如解图所示，把圆柱体盒子的侧面沿过点M的高展开，连接MN，点M，N之间的最短距离即为线段MN的长，∵AM=16－8=8(cm)，AN=×30=15(cm)，∠MAN=90°，∴在Rt△AMN中，MN=
=17(cm)，∴该蚂蚁爬行的最短路程为17 cm．
第10题解图
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11. 设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．已知c=6，则a2＋b2＋c2的值为　　　　．
11. 72　【解析】根据勾股定理，得a2＋b2=c2，∴a2＋b2＋c2=2c2=2×62=72.
12. 如图，数轴上点A表示的数是0，点C表示的数是－2，BC⊥AC于点C，且BC=1，连接AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数为　　　　．
第12题图
12. 　【解析】由题意可知，AC=2，∠BCA=90°，BC=1，∴在Rt△ABC中，AB==，∴AD=AB=，即点D表示的数为．
13. 如图，将直角三角形纸片ABC折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为AD，已知CD=2，∠B=30°，则AC的长为　　　　．
第13题图　　　　
13. 2　【解析】根据题意可知，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，根据折叠的性质可知∠CAD=30°，∴AD=2CD=4，在Rt△ACD中，AC===2．
14. 趋势情境　　数学文化 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．如图，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3=24，则S2的值为　　　　．
第14题图
14. 8　【解析】题图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，八个直角三角形全等，设AH=x，HD=y，∴S1=(x＋y)2，S2=x2＋y2，S3=(y－x)2.∵S1＋S2＋S3=24，∴(x＋y)2＋x2＋y2＋(y－x)2=3(x2＋y2)=3S2=24，∴S2的值为8.
15. 在△ABC中，已知AB=25，AC=26，BC边上的高AD=24，则BC的长为　　　　．
15. 3或17　【解析】当△ABC为锐角三角形时，如解图①，在Rt△ABD中，BD===7，在Rt△ACD中，CD===10，∴BC=BD＋CD=17；当△ABC为钝角三角形时，如解图②，在Rt△ABD中，BD===7，在Rt△ACD中，CD===10，∴BC=CD－BD=3.综上所述，BC的长为3或17.
第15题解图
三、解答题(共8小题，共75分)
16. (8分)如图，在等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，已知AB=AC=5.2，AD=4.8，求底边BC的长．
第16题图
16. 解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD===2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BC=BD＋CD=2BD=4.(8分)
17. (8分)中考新考法 项目式学习 某实验小组想探究一款风筝在风筝线放到最大长度时距离地面的高度，经过测量得到如下信息：
课题 探究风筝高度
测量 示意图 第17题图 点B，C所在直线与地面平行，点A，C，D三点共线，且所在直线与地面垂直
测量 数据 水平距离BC长为9米；
风筝线的最大长度AB为15米；
放风筝组员的手(点B)离地面的高度为1.7米
问题 解决 通过测量数据，请帮助该实验小组计算风筝在风筝线放到最大长度时距离地面的高度AD
17. 解：根据题意，得AB=15米，BC=9米，∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2－BC2==144，
∴AC=12米，
∵放风筝组员的手离地面的高度为1.7米，即CD=1.7米，
∴风筝在风筝线放到最大长度时距离地面的高度AD=AC＋CD=13.7(米)．(8分)
18. (8分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a4－b4=a2c2＋b2c2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18. 解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a4－b4=a2c2＋b2c2，
∴(a2＋b2)(a2－b2)=c2(a2＋b2)，
∴(a2＋b2)(a2－b2－c2)=0，(4分)
又∵在△ABC中a2＋b2≠0，
∴a2－b2－c2=0，
∴b2＋c2=a2，
∴△ABC是直角三角形．(8分)
19. (8分)如图，在4×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格线的交点即为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形．
(1)画一个格点△ABC，使得AB=，BC=2，AC=5；
(2)在(1)的条件下，求AC边上的高．
第19题图
19. 解：(1)根据题意画格点△ABC如解图；(4分)
【解法提示】如解图，AB==，BC==2，AC==5．
第19题解图
(2)∵()2＋(2)2=(5)2，即AB2＋BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
设AC边上的高为h，则S△ABC=AB BC=AC h，
∴h===2，即AC边上的高为2．(8分)
20. (10分)观察下列各组勾股数的组成特点：
第1组 6=2×2＋2 8=2×4 10=2×4＋2
第2组 8=2×3＋2 15=3×5 17=3×5＋2
第3组 10=2×4＋2 24=4×6 26=4×6＋2
第4组 12=2×5＋2 35=5×7 37=5×7＋2
… … … …
(1)请写出第6组勾股数；
(2)请写出第n组勾股数，并进行证明．
20. 解：(1)由表格可知，第6组等式是16=2×7＋2，63=7×9，65=7×9＋2，即第6组勾股数为16，63，65；(4分)
(2)第n组勾股数：第一个数是2(n＋1)＋2=2n＋4，第二个数是(n＋1)(n＋3)=n2＋4n＋3，第三个数是(n＋1)(n＋3)＋2=n2＋4n＋5.证明如下：
　(2n＋4)2＋(n2＋4n＋3)2
=(2n)2＋2 2n 4＋42＋(n2)2＋2 n2 (4n＋3)＋(4n＋3)2
=4n2＋16n＋16＋n4＋8n3＋6n2＋16n2＋24n＋9
=n4＋8n3＋26n2＋40n＋25，
　(n2＋4n＋5)2
=(n2)2＋2 n2 (4n＋5)＋(4n＋5)2
=n4＋8n3＋10n2＋16n2＋40n＋25
=n4＋8n3＋26n2＋40n＋25，
∴(2n＋4)2＋(n2＋4n＋3)2=(n2＋4n＋5)2，
即第n组勾股数：第一个数是2n＋4，第二个数是n2＋4n＋3，第三个数是n2＋4n＋5.(10分)
21. (10分)将图①所示的两张全等的直角三角形纸片与一张长方形纸片拼成如图②所示的四边形ABDE，连接BE，试利用等面积法验证：a2＋b2=c2.
第21题图
21. 证明：根据题意，得△ACB≌△EFA，∠AFE=90°，
∴∠BAC=∠AEF，∠AEF＋∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠BAC＋∠EAF=∠AEF＋∠EAF=90°，
∵S四边形ABDE=S△ABC＋S△AEF＋S长方形CDEF=ab＋ab＋b(b－a)=b2，
S四边形ABDE=S△ABE＋S△BDE=c2＋(b－a)(b＋a)=c2＋b2－a2，
∴c2＋b2－a2=b2，化简得a2＋b2=c2.(10分)
22. (11分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度匀速运动，设运动的时间为t s．
(1)若点P运动到BC的中点时，t的值为　　　　；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
第22题图
22. 解：(1)1；(3分)
【解法提示】在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2=AB2－AC2=52－32=16，∴BC=4 cm，∵P为BC的中点，∴BP=2，∴t=2÷2=1.
(2)根据题意，得BP=2t cm，分两种情况讨论：
①当∠APB为直角时，如解图①，
点P与点C重合，BP=BC=4 cm，即2t=4，解得t=2；
②当∠BAP为直角时，如解图②，点P在BC的延长线上，BP=2t cm，CP=(2t－4)cm，AC=3 cm，
在Rt△ACP中，根据勾股定理，得AP2=AC2＋CP2，
在Rt△BAP中，根据勾股定理，得AB2＋AP2=BP2，
∴AP2=AC2＋CP2=BP2－AB2，
即32＋(2t－4)2=(2t)2－52，解得t=．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或．(11分)
　　　
第22题解图
23. (12分)中考新考法 综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图①，将军从山脚下的点A出发，到达河岸某点P处饮马后再回到军营B，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】如图②，取点A关于河岸线的对称点A′，连接A′B交河岸于点P，点P即为饮马的地方，连接AP，PA＋PB=A′B，此时所走的总路程PA＋PB就是最短的．
　　　　
第23题图
【解决问题】
(1)当A′，P，B三点共线时总路程最短的依据是　　　　　　　　；
【迁移应用】
(2)如图③，A，B两个村庄在河岸CD的同侧，两村到河岸CD的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且测得CD=3千米，现要在河岸CD上建一水厂P，从P处分别向村庄A，B铺设管道以输送自来水，需确定P点位置使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸CD上作出水厂P的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为20 000元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
23. 解：(1)两点之间，线段最短；(2分)
(2)①如解图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求作的水厂位置；(6分)
②如解图，过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E，连接PA，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠E=∠ECD=∠BDC=90°，
∴四边形ECDB是矩形，
∴BE=CD=3千米，CE=BD=3千米．
∵A′C=AC=1千米，
∴A′E=CE＋A′C=3＋1=4(千米)．
在Rt△A′BE中，根据勾股定理，得A′B===5(千米)，
∵点A与点A′关于CD对称，
∴PA=PA′，
∴PA＋PB=PA′＋PB=A′B=5(千米)，
∴铺设水管最节省的总费用是20 000×5=100 000(元)．(12分)
第23题解图
21世纪教育网(www.21cnjy.com)【原创期中临考必刷卷】
2026春人教八下数学第二十章检测卷
时间：100分钟　满分：120分
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，AC=15，则BC的长为(　　)
A． 8　　B． 9　　C． 10　　D． 11
2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(　　)
A． 三角形内角和定理　　B． 三角形全等
C． 勾股定理　　D． 轴对称图形
第2题图　
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为(－2，6)，则点P到原点O的距离为(　　)
A． 　　B． 2　　C． 3　　D． 4
第3题图
4. 在如图所示的勾股树中，所有四边形均为正方形，若正方形A，B，C的面积分别为4，10，6，则正方形D的边长为(　　)
A． 　　B． 2　　C． 2　　D． 20
第4题图　　　
5. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为(　　)
A． 　　B． 13
C． 或13　　D． 14
6. 某游乐场“丛林穿越”项目的示意图如图所示，项目开始前弹簧绳AB处于水平状态，当人行进到正中间位置C处时，弹簧绳总长度伸长了0.2米，已知CD=0.9米，设弹簧绳水平状态时的长度AB为x米，则可列方程为(　　)
A． x2＋0.92=(x＋0.2)2　　B． ()2＋0.92=()2
C． x2－0.92=(x＋0.2)2　　D． ()2－0.92=()2
第6题图
7. 以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是(　　)
A． 2，4，6　　B． 4，6，8　　C． 6，8，10　　D． 8，10，12
8. 如图，小颖和小聪同时从学校放学回家，已知小颖家距离学校6 km，小聪家距离学校8 km，且他们两家相距10 km，若小颖家在学校的北偏西60°方向，则小聪家在学校的(　　)
A． 北偏东30°　　B． 北偏东60°　　C． 南偏东30°　　D． 南偏西60°
第8题图　　
　　
第9题图
9. 如图，在2×4的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，点A，B，C，E均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交CE所在的格线于点D，则CD的长为(　　)
A． 　　B． 　　C． 2－1　　D． 4－2
10. 如图是一个放置在水平地面上的圆柱体盒子，已知该圆柱底面周长为30 cm，高为16 cm，一只蚂蚁从距盒底8 cm的点M处沿着该圆柱体盒子的表面爬行到位于正对面上部的点N处，则该蚂蚁爬行的最短路程为(　　)
A． 15 cm　　B． 17 cm　　C． 18 cm　　D． 20 cm
第10题图　
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11. 设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．已知c=6，则a2＋b2＋c2的值为　　　　．
12. 如图，数轴上点A表示的数是0，点C表示的数是－2，BC⊥AC于点C，且BC=1，连接AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数为　　　　．
第12题图
13. 如图，将直角三角形纸片ABC折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为AD，已知CD=2，∠B=30°，则AC的长为　　　　．
第13题图　　　　
14. 趋势情境　　数学文化 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．如图，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3=24，则S2的值为　　　　．
第14题图
15. 在△ABC中，已知AB=25，AC=26，BC边上的高AD=24，则BC的长为　　　　．
三、解答题(共8小题，共75分)
16. (8分)如图，在等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，已知AB=AC=5.2，AD=4.8，求底边BC的长．
第16题图
17. (8分)中考新考法 项目式学习 某实验小组想探究一款风筝在风筝线放到最大长度时距离地面的高度，经过测量得到如下信息：
课题 探究风筝高度
测量 示意图 第17题图 点B，C所在直线与地面平行，点A，C，D三点共线，且所在直线与地面垂直
测量 数据 水平距离BC长为9米；
风筝线的最大长度AB为15米；
放风筝组员的手(点B)离地面的高度为1.7米
问题 解决 通过测量数据，请帮助该实验小组计算风筝在风筝线放到最大长度时距离地面的高度AD
18. (8分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a4－b4=a2c2＋b2c2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19. (8分)如图，在4×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格线的交点即为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形．
(1)画一个格点△ABC，使得AB=，BC=2，AC=5；
(2)在(1)的条件下，求AC边上的高．
第19题图
20. (10分)观察下列各组勾股数的组成特点：
第1组 6=2×2＋2 8=2×4 10=2×4＋2
第2组 8=2×3＋2 15=3×5 17=3×5＋2
第3组 10=2×4＋2 24=4×6 26=4×6＋2
第4组 12=2×5＋2 35=5×7 37=5×7＋2
… … … …
(1)请写出第6组勾股数；
(2)请写出第n组勾股数，并进行证明．
21. (10分)将图①所示的两张全等的直角三角形纸片与一张长方形纸片拼成如图②所示的四边形ABDE，连接BE，试利用等面积法验证：a2＋b2=c2.
第21题图
22. (11分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度匀速运动，设运动的时间为t s．
(1)若点P运动到BC的中点时，t的值为　　　　；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
第22题图
23. (12分)中考新考法 综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图①，将军从山脚下的点A出发，到达河岸某点P处饮马后再回到军营B，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】如图②，取点A关于河岸线的对称点A′，连接A′B交河岸于点P，点P即为饮马的地方，连接AP，PA＋PB=A′B，此时所走的总路程PA＋PB就是最短的．
　　　　
第23题图
【解决问题】
(1)当A′，P，B三点共线时总路程最短的依据是　　　　　　　　；
【迁移应用】
(2)如图③，A，B两个村庄在河岸CD的同侧，两村到河岸CD的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且测得CD=3千米，现要在河岸CD上建一水厂P，从P处分别向村庄A，B铺设管道以输送自来水，需确定P点位置使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸CD上作出水厂P的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为20 000元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．

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