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2026届高三下学期一模数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．在复平面内，复数 z1对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 z1＝（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
2．2025年 5月 14日，长征二号丁运载火箭一次性将 12颗太空计算卫星成功送入预定轨道．若各卫星从
星箭分离至入轨所需时间（单位：秒）按升序排列为 82，85，87，89，91，93，95，97，99，101，103，
105，则这组数据的中位数为（ ）
A．94 B．93 C．92 D．91
3．已知集合 A＝{x|2x2﹣x≥0}， ，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣1，0] B．
C． D．
4．已知向量 （x，1）， （1，﹣2），且满足| |＝| |，则 x＝（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
5．如果“若 p，则 q”和“若 q，则 p”中有且仅有一个真命题，称 p与 q具有“U﹣关系”．已知函数 y
＝f（x）的定义域为 R，p：y＝f（x）为偶函数，则 p与下列选项中的 q具有“U﹣关系”的为（ ）
A．q：对任意 x∈R都有﹣f（x）≥f（x）
B．q：对任意 x∈R都有 f（﹣x）≥f（x）
C．q：对任意 x∈R都有 f（﹣x）＝|f（x）|
D．q：对任意 x∈R都有 f（﹣x）＝f（|x|）
1
6．在棱长为 4的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 E为棱 CC1的中点，点 F在底面 ABCD内运动，且满足
直线 EF∥平面 B1D1A，将正方体沿平面 D1B1F切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ）
A．点 F的轨迹是一条线段，且其长度为
B．过 D1，B1，F三点的截面面积为 18
C．沿平面 D1B1F切割正方体得到较大的多面体体积为
D．在棱 BB1上不存在点 P，使得 CP⊥平面 D1FB1
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在 y轴上，点 B在 C上，
，则 C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．若将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 135°可以得到另一个函数的图象，则 m的取值范
围为（ ）
A． B．[0，e] C． D．
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，
有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，M为抛物线 C上一点，MN⊥l，N为垂足，若
△MNF为等边三角形，则（ ）
A．点 M的横坐标为
B．直线 FN与 y轴交点的纵坐标的绝对值为
C．直线 NF的斜率为±
D．若△MNF的周长为 12，则 p＝2
10．已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点 C在底面圆周上，
2
且二面角 P﹣AC﹣O为 45°，则下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的表面积为
C．
D．△PAC的面积为
11．已知函数 f（x）＝|sinx|+|cosx|﹣sinxcosx，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是以π为周期的周期函数
B．f（x）在 上单调递减
C．f（x）的最大值为
D．存在 a∈R，使得 f（x+a）为奇函数
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．某学校有绘画、围棋、篮球三个兴趣小组，三个年级参加兴趣小组的学生人数如表（每名同学只参加
一个兴趣小组）：
绘画组 围棋组 篮球组
高一 50 m 40
高二 30 40 20
高三 20 10 10
学校要对这三个兴趣小组的活动效果进行抽样调查，按各组人数的比例用分层随机抽样的方法，从这些
学生中抽取 30人，若围棋组被抽出 10人，则 m的值为 ．
13． ，则用 a和 b表示 log9821的结果为 ．
14．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝3， ，则满足 的 k的最小值
为 ．
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 sin2B+3sinAcosBsinC﹣2sin2C＝0．
3
（1）若 ，c＝2，求△ABC的外接圆的半径；
（2）若 ，b＝2，求△ABC的面积．
16．（15分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，底面 ABCD是梯形，AB＝BC＝
CD＝1，AD＝AA1＝2．
（1）求证：平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1；
（2）E是底面 A1B1C1D1所在平面上一个动点，是否存在点 E使得 DE与平面 C1BD夹角的正弦值为
？若存在，求点 E到平面 C1BD距离的最小值；若不存在，请说明理由．
17．（15分）科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素 24小时后体内抗生素残留率 y与注射剂量 x之间的关
系，测得一组实验数据（xi，yi）（i＝1，2， ，8）如表：
剂量 x/mg 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
残留率 y 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45
（1）根据以上数据计算得样本相关系数 r≈0.99，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度
较高，请建立 y关于 x的经验回归方程；
（2）当数据（xi，yi）对应的残差的绝对值|yi |＜0.01时，称该数据为“正常数据”．现从这 8个实
验数据中随机抽取 4个，用 X表示抽到“正常数据”的个数，求 X的分布列及均值．
参考公式：经验回归方程 x 中斜率和截距的最小二乘估计分别为：
， ；参考数据： ， ．
4
18．（17分）已知椭圆 的焦点是 F1，F2，且|F1F2|＝2，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点 F2的直线 l交椭圆于 A，B两点，求|AF1|+|BF2|的取值范围．
19．（17分）已知函数 f（x）＝ex+ax2﹣x．
（1）当 a＝0时，求 ；
（2）当 a＝1时，讨论 f（x）的单调性；
（3）当 x≥0时，不等式 恒成立，求实数 a的取值范围．
5
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D A C C D A
二．多选题
题号 9 10 11
答案 ACD ABC AC
三．填空题
12．35．
13． ．
14．49．
四．解答题
15．解：（1）在△ABC中，因为 sin2B+3sinAcosBsinC﹣2sin2C＝0，
所以由正弦定理和余弦定理
得 ，
所以 b2＝3a2﹣c2，
因为 ，所以 b2＝2，
故 a2+b2＝c2，△ABC为直角三角形，
所以△ABC的外接圆的半径为 1．
（2）因为 ，又 A∈（0，π），
所以 ，
因为 ，
所以 3b2+3c2﹣3a2＝4bc，又 b2＝3a2﹣c2，且 b＝2，
所以 c2﹣4c+4＝0，
6
所以 c＝2，
故 ．
16．解：（1）证明：ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，
底面 ABCD是梯形，AB＝BC＝CD＝1，AD＝AA1＝2．
取 AD中点 F，连接 BF，则 AB＝BC＝CD＝AF＝DF＝1，
∴四边形 BCDF是菱形，△ABF是正三角形，
∴∠ABF＝∠AFB＝60°，∠FBD＝∠FDB，
∵∠FBD+∠FDB＝∠AFB＝60°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝90°，所以 AB⊥BD，
∵AA1⊥底面 ABCD，BD 平面 ABCD，
∴AA1⊥BD，∵AA1 平面 ABB1A1，AB 平面 ABB1A1，AA1∩AB＝A，
∴BD⊥平面 ABB1A1，∵BD 平面 BDD1B1，
∴平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1
（2）以 B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B（0，0，0）， ， ，设 E（x，y，2），
∴ ， ， ，
设平面 C1BD的一个法向量为 ，
则 ，取 c＝1，得 ，
∴ ，
7
cos ， ，
∵DE与平面 C1BD夹角的正弦值为 ，
∴|cos ， | ，
∴ ，
∴
由点到平面的距离公式得点 E到平面 C1BD距离为： ，
∴当 时，点 E到平面 C1BD距离的最小，最小值为 ．
17． 解 ： （ 1） 由 表 知 ， （ 1+2+3+4+5+6+7+8） ＝ 4.5， （ 0.07
+0.12+0.18+0.25+0.28+0.3+0.35+0.45）＝0.25，
所以 ，
0.25﹣0.05×4.5＝0.025，
故 y关于 x的经验回归方程为 0.05x+0.025．
（ 2） |y1 |＝ |0.07﹣ 0.075|＝ 0.005＜ 0.01， |y2 |＝ |0.12﹣ 0.125|＝ 0.005＜ 0.01，
，|y4 |＝|0.25﹣0.225|＝0.025，
|y5 |＝|0.28﹣0.275|＝0.005＜0.01， ，|y7 |＝|0.35﹣0.375|＝
0.025，|y8 |＝|0.45﹣0.425|＝0.025，
即有 4组数据为“正常数据”，
所以 X的可能取值为 0，1，2，3，4，
，
，
，
8
，
，
所以 X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故数学期望 ．
18．解：（1）因为|F1F2|＝2，离心率为 ，
所以 ，
解得 a＝2，b ，
则椭圆的方程为 ；
（2）由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|＝4，
所以|AF1|+|BF2|＝4﹣|AF2|+|BF2|，
当直线 l的斜率不存在时，|AF1|+|BF2|＝4；
当直线 l的斜率存在时，
设直线 l的方程为 y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，消去 y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
此时Δ＝144k2+144＞0，
由韦达定理得 ， ，
此时 ，
同理得 ，
所以|AF1|+|BF2|＝4﹣|AF2|+|BF2|，
9
因为
，
令 t ，t≥1，
此时 2，
当且仅当 k＝0时，等号成立，
所以 0＜|﹣|AF2|+|BF2||≤2，|AF1|+|BF2|∈[2，4）∪（4，6]．
综上所述，|AF1|+|BF2|的取值范围为[2，6]．
19．解：（1）当 a＝0时，f（x）＝ex﹣x，所以
，
所以 ；
（2）当 a＝1时，f（x）＝ex+x2﹣x，所以 f′（x）＝ex+2x﹣1，令 F（x）＝ex+2x﹣1，
所以 F′（x）＝ex+2＞0，所以 F（x）＝ex+2x﹣1在 R上单调递增，所以当 x＝0时，F（0）＝0，
所以在（0，+∞）上 F（x）＞0，即 f′（x）＞0，在（﹣∞，0）上 F（x）＜0，即 f′（x）＜0，
所以 f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减；
（3）由题意可得 在[0，+∞）上恒成立，
当 x＝0时，a∈R，
当 x≠0时，原不等式变为 ，令 ，x∈（0，+∞），
则 ，
令 h（x）＝﹣2（x﹣2）ex+x3﹣2x﹣4，x∈（0，+∞），所以 h′（x）＝﹣2（x﹣1）ex+3x2﹣2，
所以 h″（x）＝﹣2xex+6x＝2x（3﹣ex），所以在 x∈（ln3，+∞）上，h″（x）＜0，在 x∈（0，ln3）时，
h″（x）＞0；
所以函数 h′（x）在（ln3，+∞）上单调递减，在（0，ln3）上单调递增，因为 h′（0）＝0，所以当
x∈（0，ln3）时，h′（x）＞h′（0）＝0，
因为 h′（2）＝﹣2e2+10＜0，h′（ln3）＞h′（0）＝0且 h′（x）在（ln3，+∞）上单调递减，
10
所以 x0∈（ln3，2），使得 h′（x0）＝0，且当 x∈（x0，+∞）时，h′（x）＜0，当 x∈（0，x0）时，h
′（x）＞0，
所以函数 h（x）在（x0，+∞）上单调递减，在（0，x0）上单调递增，因为 h（0）＝0，所以当 x∈（0，
x0）时，h（x）＞h（0）＝0，
且函数 h（x）在（x0，+∞）上单调递减，所以当 x∈（x0，2）时，h（x）＞0；
当 x∈（2，+∞）时，h（x）＜0，所以当 x∈（2，+∞）时，h（x）＜0，当 x∈（0，2）时，h（x）＞0；
所以当 x∈（2，+∞）时， ，当 x∈（0，2）时， ；
所以函数 g（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
所以 ，所以 ，即
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