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陕西榆林市定边县2026年九年级第一次模拟训练数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：（ ）
A. 2 B. C. D. 5
2.竹编是以竹材为原料编织器物的传统手工艺，是国家级非物质文化遗产之一．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列竹编物品形状最为接近的是（）
A. B. C. D.
3.如图，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.计算：（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（ ）
A. 5 B. C. D. 3
6.已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8.已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（ ）
A. 图象与轴的交点可能在轴负半轴上
B. 该二次函数的最小值为
C. 图象与轴有一个交点
D. 若点，在该函数图象上，则
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.在0，，，，中，无理数有 个．
10.如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为 ．
11.创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．创客工坊有 把工具需要放进箱子．
12.如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为 ．
13.如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接AC．若，，则k的值为 ．
14.如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点N，M是的中点，连接，则的长为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
15.计算：．
16.解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
17.解方程：．
四、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法）
19.(本小题6分)
如图，在平行四边形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且．求证：．
20.(本小题8分)
随着2026年第31个世界读书日的临近，实验中学开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动．同学们可以从以下四个主题“A．好书推荐、B．科普读书会、C．阅读马拉松、D．AI数字阅读互动”中任意选择一个参加．
(1) 若小颖在这4个主题中随机选择一个参加，则选中“B．科普读书会”的概率是 ；
(2) 九年级的小贤和小艺也报名参加了该读书活动，请用画树状图或列表的方法，求他们随机选择选到同一主题读书活动的概率．
21.(本小题5分)
“山水人文，大美陕西”，陕西不仅有着厚重的历史底蕴，更有着丰富的自然景观．张琪一家去波浪谷旅游时看到了连绵起伏的赤色山峦．张琪突发奇想，想要测量波浪谷一段岩壁的高度（），于是在父母的帮助下在山脚点C处测得岩壁顶端A的仰角，张琪沿坡面倾角（）为的坡面CD向上行进到达点D，此时用测角仪测得岩壁顶端A的仰角为，已知，，点C，E，B在同一水平地面上．请你通过测量的数据帮张琪计算出这段岩壁的高度．（结果保留整数；参考数据：，，，）
22.(本小题8分)
为了让AI更精准地理解用户需求并生成有价值的输出，通常要对人工智能进行训练．已知当一个AI模型的数据量超过条时，其训练时间（单位：分）与训练的数据量（条）成一次函数关系．当训练的数据量为条时，训练时间为分钟；当训练的数据量为条时，训练时间为分钟．
(1) 当时，求与之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围）
(2) 若某次训练的数据量为条，求该 AI模型的训练时间．
23.(本小题9分)
为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级学生开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级的参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分，且成绩均是整数，用表示）进行整理，分为、、、四个等级，其中分及以上为优秀．
【信息整理】信息：
等级
成绩
信息：八年级名学生的成绩分别是：，，，，，，，，，．
九年级名学生成绩不完整的条形统计图如下：（其中在组中的数据是：，，）
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 /
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 补全图中的条形统计图，表中________，________；
(2) 求八年级这名学生的平均成绩；
(3) 若参加此次竞赛的八年级学生有人，九年级学生有人，估计竞赛成绩为优秀的学生有多少人？
24.(本小题6分)
如图，为的直径，的切线与的延长线交于点C，连接，，过点B作交的延长线于点E．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
25.(本小题6分)
在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面，水平地面上的点O，B之间的距离为．

(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度．
26.(本小题6分)
完成下列问题
(1) 如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值；
(2) 问题解决
如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元，郁金香的种植成本为元，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】2
10.【答案】
11.【答案】40
12.【答案】
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】解：原式
．

16.【答案】解：去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
解集在数轴上表示为：

17.【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
解得．
检验，当时，，
∴是原方程的根．

18.【答案】解：根据题意，作图如下：
．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．

20.【答案】【小题1】

【小题2】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们随机选择选到同一主题读书活动的情况有4种，
他们随机选择选到同一主题读书活动的概率．

21.【答案】解：在中，，，
∴，
．
如图，过点D作于点H．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
设，则．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
即，解得．
故这段岩壁的高度约为．

22.【答案】【小题1】
解：当时，设与之间的函数表达式为，
将，代入，
得，
解得，
与之间的函数表达式为；
【小题2】
解：将代入，
得．
该 AI模型的训练时间为分钟．

23.【答案】【小题1】
解：如图，八年级中分数为的学生最多，故，九年级中分数在中间的为，故；
【小题2】
解：（分），
答：八年级这名学生的平均成绩为分；
【小题3】
解：（人），
答：估计竞赛成绩为优秀的学生有人．

24.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵是的切线，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：设的半径为r，且，
则，．
在中，，，
∴，
解得：，
∴，，．
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，即，
解得．

25.【答案】【小题1】
解：，点A为抛物线的顶点，且距离地面，
，,
设该抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
【小题2】
解：由（1）知，抛物线的函数表达式为，
当时，得，
解得，，
，
活动区域在水平方向上的最大宽度为．

26.【答案】【小题1】
解：如图1，连接，过点作，垂足为．
∵是等腰直角三角形，且，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴的最小值为；
【小题2】
∵，且，
∴．
如图2，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接，
∴，
∴．
∵，
∴点在以点为圆心，半径为的上运动，
∴．
∵，
∴．
设种植太阳花和郁金香所需成本为，
则．
∵，，
∴．
如图2，连接，过点作
∵，，，
∴，
∴重合，
∴，
∴．
如图2，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
．
∴（元），
∴最低成本为元．

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